椭圆的定义及方程

1、任课教师任课教师: :李小宏李小宏 2.2.1椭圆及其椭圆及其 标准方程标准方程 新课导入新课导入 想一想 在我们实际生活中，同学 们见过椭圆吗？能举出一 些实例吗？ 仙女座星系 星系中的椭圆星系中的椭圆 生生 活活 中中 的的 椭椭 圆圆 生活中的椭圆生活中的椭圆 数数 学学 实实 验验 同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无弹性的长为在图板上，将一根无弹性的长为2a的细绳的细绳 的两端（两端点距离为的两端（两端点距离为2c）用图钉固定在不）用图钉固定在不 同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得 到什么图形？到什么图形？ 绳

2、长 12 FF 绳长 12 FF 12 FF绳长 反反 思思 1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两在画出一个椭圆的过程中，细绳的两 端的位置是固定的还是运动的？端的位置是固定的还是运动的？ 2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了 没有？说明了什么？没有？说明了什么？ 3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定 点距离大小有怎样的关系？点距离大小有怎样的关系？ 归纳：归纳：椭圆的定义：椭圆的定义： 平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数 （大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆.

3、定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距叫做椭圆的焦距. 探究：探究： |MF1|+ |MF2|F1F2| 椭圆椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段线段 |MF1|+ |MF2|F1F2| 不存在不存在 说明 注意 a2|MF|MF| 21 求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤： 建系建系 列式列式 设点设点 证明证明 化简化简 方程的推导方程的推导 F1F2 M xO y 。 a2|MF|MF| 21 a2y) cx(y) cx( 2222 方程的推导方程的推导 2222 y)cx(a2y)cx( )ca(ayax)ca(

4、 22222222 22242222 xccxa2a)yccx2x(a cx4a4y) cx(a4 222 方程的推导方程的推导 整理得：整理得：)()( 22222222 caayaxca 方程的推导方程的推导 222222 bayaxb 22 ba两边除以两边除以 得得 22b a 2 2 2 2 b y a x 1().0 b a 思考：观察图形能找出图形中 a,c所表示的线段及其关系吗？ o x y F1F2 M a c ),0( 222 bbca令令 b 结论 1 b y a x 2 2 2 2 xO y F1F2 M 222 cab 方程的推导方程的推导 M F2 F1 。 )ob

5、a(1 b x a y 2 2 2 2 方程的推导方程的推导 椭圆的标准方程 xO y F1 F2 M )0ba(1 b x a y 2 2 2 2 下的分母大下的分母大 2 x下的分母大下的分母大 2 y xO y F1F2 M )0ba(1 b y a x 2 2 2 2 222 cab 最大最大中中、acba O X Y F1F2 M (-c,0) (c,0) Y X O F1 F2 M (0,-c) (0 , c) )0(1 2 2 2 2 ba b y a x )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 椭圆的标准方程的再认识： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，

6、右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。 （4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。 （2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。 例例1.(口答口答)判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明明a2、b2，写出焦点坐标，写出焦点坐标. 1 1625 22 yx 答：答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 1 1691

7、44 22 yx 答：答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5） 1 1 2 2 2 2 m y m x 答：答：在y 轴。（0，-1）和（0，1） 根据椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上的准则：根据椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上的准则： 例题讲解例题讲解 (1) (2) (3) 焦点在分母大的那个轴上焦点在分母大的那个轴上 例题讲解例题讲解 例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为两个焦点的坐标分别为(-4,0),(4,0),椭圆上一点椭圆上一点 p到两个焦点距离的和等于到两个焦点距离的和等于10. 解解: 2a=10 a=5 又又c=4

8、, b=3 所求椭圆的焦点在所求椭圆的焦点在x轴上轴上 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 1 925 22 yx 例例2(2)2(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . . 53 (,) 22 解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为 22 22 1 (0). xy ab ab 2c 22 4ab 22 53 22 22 ( )() 1 ab 又又由由已已知知 联立联立, 22 106ab解解得得， 因此因此, , 所求椭圆

9、的标准方程为所求椭圆的标准方程为 22 1 . 106 xy 用待定系数法求椭圆用待定系数法求椭圆 标准方程的解题步骤：标准方程的解题步骤： （1）定位）定位,即定焦点即定焦点,定方程定方程; （2）定量）定量,定定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程. ( 2,0),(2,0) 又又焦点的坐标为焦点的坐标为 例题讲解例题讲解 例例2 (2)2 (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . . 53 (,) 22 例题讲解例题讲解 (2)(2)还有其他解法吗？还有其他解法吗？ 1

10、、如果椭圆、如果椭圆 上的一点上的一点P到焦点到焦点F1的距的距 离等于离等于6，那么点，那么点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离是的距离是 _. 2 2 1 10036 y x 14 随堂练习随堂练习 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程： 2)a=4,c= ，焦点在，焦点在y轴上；轴上； 1)a=4,b=1，焦点在，焦点在x轴上轴上； 2 2 1 16 y x 1 16 2 2 y x 3)a+b=10, c= ； 15 2 5 随堂练习随堂练习 1 1636 22 yx 1 1636 22 xy 或 3、如果方程、如果方程 x2+ky2=2表示焦点在表示焦点在y轴上的椭轴上的椭 圆，则的圆，则的k取值范围取值范围:_. 4、已知、已知 ABC的顶点的顶点B,C在椭圆在椭圆 上，上， 顶点顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个 焦点在焦点在BC边上，则边上，则 ABC的周长是的周长是_ 随堂练习随堂练习 16 0K 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在相应哪个轴上分母哪个大，焦点就在相应哪个轴上 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点