简单超静定梁PPT学习教案

1、会计学1 简单超静定梁简单超静定梁 2021-8-112 从而解得“多余”未知力 qlFB 8 3 所得FB为正值表示原来假设 的指向(向上)正确。固定端 的两个约束力利用相当系统 由静力平衡条件求得为 2 8 1 8 5 qlMqlF AA ， 第1页/共23页 2021-8-113 该超静定梁的剪力图和弯 矩图亦可利用相当系统求 得，如图所示。 思考 1. 该梁的反弯点 (弯矩变换正负号的点) 距梁的左端的距离为多 少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何 求解？ 第2页/共23页 2021-8-114 例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁 和钢杆的材料相同

2、，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和 钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。 第3页/共23页 2021-8-115 解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平 面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问 题。 2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“ 多 余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。 第4页/共23页 2021-8-116 3. 物理关系(参见图c,d)为 EA lF l EI aF EI qa www DAAFAqA N 3 N 4 12 7 D， 需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中

3、 wAF为负的。 1 AA 第5页/共23页 2021-8-117 4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程： 由此求得 EA lF EI aF EI qa N 3 N 4 12 7 3 4 N 12 7 AalI Aqa F 第6页/共23页 2021-8-118 例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC ，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度 EI=5106 Nm2。 第7页/共23页 2021-8-119 解: 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支 座的数目。此梁为一次超静定梁。 第8页/共23页 2021-8-1110 2. 为便于求解，对

4、于连续梁常取中间支座截面处阻止 左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而 以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b 。 BB 此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原 超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有 等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多 余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为 第9页/共23页 2021-8-1111 3. 利用教材中的附录可得物理关系为 EI M EI B B 3 m4 24 m4N/m1020 3 3 EI M EI B B 3 m5 m56 m2m5m2m3N1030 3 应该注意，在列出转角

5、 的算式时每一项的 正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为 负)确定。 BB 和 第10页/共23页 2021-8-1112 4. 将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而 解得 这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩 与图b中所设相反，即为负弯矩。 mkN80.31 B M 5. 利用图b可得约束力： kN64.11kN66kN05.32 CBA FFF， 第11页/共23页 2021-8-1113 (c) (d) 然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。 第12页/共23页 2021-8-1114 (二) 梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安

6、装就位， 其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2， 且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。 由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3 个，故为三次超静定问题。 l (a) 第13页/共23页 2021-8-1115 现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束 ，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂 梁。 它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角Bt和挠度 wBt(见图c)以及轴向位移DBt。 l (a) (b) (c) 第14页/共23页 2021-8-1116 如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则 由上,下表面温差和“多余”未知力共同

7、引起的位移符合下 列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系 统： 0 Bx BFBtBx l 0 BMBFBtB wwww By 0 BBy BMBFBtB 第15页/共23页 2021-8-1117 式中一些符号的意义见图c,d,e。 0 Bx BFBtBx 0 BMBFBtB wwww By 0 BBy BMBFBtB (c) (d) (e) 第16页/共23页 2021-8-1118 现在先来求Bt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之 间的物理关系。 从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上 表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧 截面

8、的转角d 由图b可知为 x h tt h mmnn h nn l dd 120 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 d 为负。 第17页/共23页 2021-8-1119 将此式积分，并利用边界条件 0| 0| d d | 000 xxx w x w ， 得 2 1212 2 x h tt wx h tt ll ， 根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分 方程为 h tt xx w l12 2 2 d d d d 第18页/共23页 2021-8-1120 从而有 h ltt ww h ltt l lxBt l lxBt 2 | | 2 1212 ， 至于温差引起轴向位移D

9、Bt则为 lt tt lBt 0 21 2 第19页/共23页 2021-8-1121 位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移 所对应的物理关系显然为 EA lF Bx BFBx 3 3 EI lF w By BFBy 2 2 EI lFBy BFBy EI lM w B BMB 2 2 EI lM B BMB 第20页/共23页 2021-8-1122 EA lF Bx BFBx 3 3 EI lF w By BFBy 2 2 EI lFBy BFBy EI lM w B BMB 2 2 EI lM B BMB 12 h ltt l Bt lt tt lBt 0 21 2 h ltt w l Bt 2 2 12 0 BBy BMBFBtB wwww 0 B