空间解析几何PPT学习教案

1、会计学1 空间解析几何空间解析几何 （2）向量的分解式：）向量的分解式： , zyx aaaa ., , 轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaa zyx kajaiaa zyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaia zyx , （3）向量的坐标表示式：）向量的坐标表示式： 向量的坐标：向量的坐标： zyx aaa, 2 2、向量的表示法、向量的表示法 （1）有向线段）有向线段 (模和方向模和方向余弦余弦） 第1页/共33页 (1)加法：cba 3 3、向量的线性运算、向量的线性运算 dba a b (2)减法： cba dba (3)(3)向量

2、与数的乘法：向量与数的乘法： 设设 是一个数，向量是一个数，向量a 与与 的乘积的乘积a 规定为规定为 , 0)1( a 与与a 同向，同向， |aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a 反向，反向， |aa 第2页/共33页 线性运算的坐标表达式线性运算的坐标表达式 , zyx aaaa , zyx bbbb , zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa kbajbaiba zzyyxx )()()( kbajbaiba zzyyxx )()()( kajaia zyx )()()( 第3页/共33页 222 | zyx aaaa

3、向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式 222 cos zyx x aaa a 222 cos zyx y aaa a 222 cos zyx z aaa a 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式 )1coscoscos( 222 第4页/共33页 4 4、数量积、数量积 cos|baba 其中其中 为为a 与与b 的夹角的夹角 zzyyxx babababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 ba 0 zzyyxx bababa 222222 cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 aprjbbp

4、rja ba 0ba aaa 2 第5页/共33页 (1) 交换律 (2) 结合律),(为实数 abba ba)()( ba)(ba )()(ba)(ba )(ba (3) 分配律cbcacba 第6页/共33页 定义： 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ，的夹角为设ba, c ,acbc csina b b a c 称c的与为向量ba bac ba 几何意义：右图三角形面积 a b ba 2 1 S 第7页/共33页 为非零向量, 则 aa) 1 (0 ba,)2(0ba ba 运算律运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 ab cba)(cbca ba )

5、()( ba)(ba ba) 1 ( 第8页/共33页 kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式 ba zyx zyx bbb aaa kji ba ba z z y y x x b a b a b a 0ba 第9页/共33页 例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a ，2 , 2, 1 b ，求（，求（1） ba ；（；（2）a 与与b 的夹角；（的夹角；（3）a 在在b 上的投影上的投影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222 cos)2( zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa

6、, 2 1 ajbba b Pr|)3( . 3 | Pr b ba ajb . 4 3 第10页/共33页 例例 2 2 求与求与kjia 423 ，kjib 2 都垂都垂 直的单位向量直的单位向量. 解解 zyx zyx bbb aaa kji bac 211 423 kji ,510kj 55510| 22 c | 0 c c c . 5 1 5 2 kj 第11页/共33页 22 3 4 3 cos322)2( 17 例例3. 已知向量的夹角 且 解：解： , 4 3 ba , . |ba 求 , 2|a, 3|b 2 ba)()(baba aaba2bb 22 cos2bbaa 17

7、ba 第12页/共33页 , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA 角形 ABC 的面积 解解: 如图所示, CBA S A B C 2 1 kji 222 124 )( 2 1 ,4,62 222 2)6(4 2 1 14 2 1 ACAB 求三 第13页/共33页 x 横轴横轴 y 纵纵 轴轴 z竖轴竖轴 定定 点点 o 1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系 空间的点空间的点 有序数组有序数组 ),(zyx 二、空间解析几何二、空间解析几何 第14页/共33页 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 它们距离为它们距离为 设设),( 1111 zyxM、)

8、,( 2222 zyxM为空间两点为空间两点 两点间距离公式两点间距离公式: : 点到平面的距离公式：点到平面的距离公式： 的距离为到平面点0),( 0000 DCzByAxzyxM 222 000 CBA DCzByAx d 第15页/共33页 （1 1）旋转曲面）旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面一周所成的曲面. . 这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴. . 2 2、曲面、曲面 .),(对对应应与与三三元元方方程程空空间间曲曲面面0zyxFS 第16页/共33页 方程特点方程特点: : 0),(

9、 )2( 0),( ) 1 ( 0 0),( : 22 22 yzxf yL zyxf xL z yxf L 方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线 方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线 设有平面曲线设有平面曲线 第17页/共33页 （2 2） 柱面柱面 定义：定义： 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L 所形成的曲面所形成的曲面. . 这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面 的的准线准线，动直线叫，动直线叫 柱面的柱面的母线母线. . 从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只含只含yx,而缺而

10、缺z的方程的方程0),( yxF，在，在 空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱 面，其准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C. . 第18页/共33页 z y x ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x (3) 二次曲面二次曲面 第19页/共33页 z q y p x 22 22 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 双曲抛物面（鞍形曲面） z q y p x 22 22 z y x 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 . ( p , q 同号) z yx 第20页/共33页 单叶双曲面单叶双曲面 z x y

11、 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 双叶双曲面双叶双曲面 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x z x y o 第21页/共33页 3 3、空间曲线、空间曲线 0),( 0),( zyxG zyxF （1 1） 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )( )( )( tzz tyy txx （2 2） 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 第22页/共33页 空间平面空间平面 一般式 点法式 截距式 0DCzByAx)0( 222 CBA 1 c z b y a x 三点式0 131313 121212 111 zzyyx

12、x zzyyxx zzyyxx 4. 4. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程 ),( : 000 zyx点 0)()()( 000 zzCyyBxxA ),(:CBAn 法向量 第23页/共33页 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面 ; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示 0DCzByAx)0( 222 CBA 平行于 y 轴

13、的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面 ； 平行于 zox 面 的平面. ,), 0(iCBn 第24页/共33页 解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故 设所求平面方程为 0zCyB 代入已知点) 1,3,4(得BC3 化简,得所求平面方程 03 zy 第25页/共33页 为直线的方向向量. 一般式 对称式 参数式 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 0 0 0 p zz n yy m xx 000 ),( 000 zyx ),(pnms 为直线上一点; 第26页/共33页 解解: :

14、先在直线上找一点. 0432 01 zyx zyx 63 2 zy zy 再求直线的方向向量 2,0zy 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 .)2,0, 1(故 .s , ) 1, 1, 1 ( 1 n)3, 1,2( 2 n 21 ns,ns 21 nns 第27页/共33页 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 tz ty tx 32 41 t 4 1x 1 y 3 2 z 解题思路解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. )3, 1,4( 21 nns 312 111 kji 第28页/共33页 2 4 1 3 1 2 zyx 与平

15、面 062zyx 的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 1t 从而确定交点为（1，2，2）. tz ty tx 24 3 2 t 第29页/共33页 面与面的关系面与面的关系 0 212121 CCBBAA 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: ),( , 0: 111111111 CBAnDzCyBxA ),( , 0: 222222222 CBAnDzCyBxA 0 21 nn 0 21 nn 21 21 cos nn nn 第30页/共33页 , 1 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx L ： 直线 0 212121 ppnnmm , 2 2 2 2 2 2 2 p zz