数学向量数量积的坐标运算与量公式新人教B必修PPT学习教案

1、会计学1 数学向量数量积的坐标运算与量公式新数学向量数量积的坐标运算与量公式新 人教人教B必修必修 向量数量积的定义是什么？ 如何求向量夹角？ 向量的运算律有哪些？ 平面向量的数量积有那些性质? 答： ba ba baba cos,cos 运算律有： )()().(2bababa abba. 1 cbcacba ).(3 第1页/共29页 数量积性质: 0 cos)1( aeaae 0)2( baba 2 2 a aaaa aa (3)或 ba ba cos)4( baba )5( 0 0 设设a a与与b b都都是是非非零零向向量量， e e是是单单位位向向量量，是是a a与与e e 的的夹

2、夹角角，是是a a与与b b的的夹夹角角。 第2页/共29页 1 1 0 0 二、新课讲授 问题1： ),(),( 2211 yxbyxa 已知 怎样用 ba , 的坐标表示呢？请同学们看下 列问题. ba 设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为 请计算下列式子： i j = ii = jj = ji = ij 第3页/共29页 ），（），（已已知知两两非非零零向向量量 2211 yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，设设yxji jyixa 11 jyixb 22 ）（）（jyixjyixba 2211 2 211221 2 21 jyyi

3、jyxjiyxixx ，11 22 j i 0 ijji 2121 yyxxba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 问题2：推导出 的坐标公式. ba 第4页/共29页 问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式. （1）两向量垂直条件的坐标表示 0 baba ），（），（已已知知两两非非零零向向量量 2211 yxbyxa 0 2121 yyxxba 注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别。 （2）两平面向量共线条件的坐标表示 babba 使得使得存在唯一的存在唯一的）（0/ 1221 /0abx yx y 第5页/共29页 （3）向量的长度（模） 22 1

4、1 axy ），那那么么，），（，为为（ 点点的的坐坐标标分分别别的的有有向向线线段段的的起起点点和和终终若若表表示示向向量量 2211 yxyx a 2 12 2 12 ）（）（yyxxa （两点距离公式） （4）两向量的夹角 cos a b a b 夹角为夹角为），（），），（两非零向量两非零向量, 2211 yxbyxa 2 1 2 1 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 第6页/共29页 例例1 1( (1 1) )已已知知a a= = （5 5， - -7 7）， b b= = （- -6 6， - -4 4），求求a a b b。 解 (1)：）（）（）（4765 ba

5、2830 2 则实数 为 （2 2）已已知知a a= = （3 3，4 4）， b b= = （2 2， - -1 1），且且（ a a+ +m mb b ） （ a a- -b b ）， m m何何值值？ 则实数 为 （3 3）已已知知a a= = （1 1，2 2）， b b= = （n n，1 1），且且（ a a+ +2 2b b ） / / /（2 2a a- -b b ）， n n 何何值值？ 第7页/共29页 1例例23421ab a mba bm （）已知 （， ），（， ），且 （）（），则实数 为何值？ 解解：2（ ） ），（mmbma 423），（ 51 ba ）（）（b

6、abma 0 ）（）（babma 054123 ）（）即（即（mm 3 23 m 第8页/共29页 1例例 则实数 为 （3 3）已已知知a a= = （1 1，2 2）， b b = = （n n，1 1），且且 （ a a+ +2 2b b ）/ / /（2 2a a- -b b ），n n何何值值？ 解：解： ）（）（baba 2/2 3 21 2 4abn （）（， ） ），（322nba 024321 ）（）（nn 2 1 n 第9页/共29页 .4,3,90 , 2 ,2, (1) c (2) c (3)? abab cab dakbk dd cd 已知与 的夹角为 且问 为何值时

7、 与 的 变： 夹角为锐角 形 .0 :的的夹夹角角为为锐锐角角与与不不能能保保证证向向量量注注baba !同同向向的的情情况况与与还还要要考考虑虑向向量量ba 第10页/共29页 4 2 10 11 33 1 3 1ab a b （）若（， ），（，） 则 与 的夹角为 21231ab ab （ ）若（， ）， （ ， ） 则 与 的夹角的余弦值为 练习 第11页/共29页 65 63 .D 65 33 . B 65 33 .C 65 63 . A （3）、若 则 与 夹角的余弦值为 （ ） ),12, 5 (),4 , 3(ba a b B 第12页/共29页 2 3 （- ，- ） (4

8、)、已知向量 ， 且 的夹角为钝角，则x的取值范 围是 . )4 , 3(), 2(bxa ba , 第13页/共29页 例2：求与向量 的夹角为45o的 单位向量. ) 13, 13(a 解：设所求向量为 ,由定义知： 2 2 2 845cosxaxa ),(nmx 另一方面 nmxa) 13() 13( 待定系数法 分析：可设x=（m, n)，只需求m, n. 易知 1 22 nm 再利用 （数量积的 坐标法）即可！ xaxa )(定义 第14页/共29页 由，知 2) 13() 13(nm 1 22 nm 解得： 或 2 3 1 m 2 3 2 n 2 1 1 n 2 1 2 m ) 2

9、 1 , 2 3 (x ) 2 3 , 2 1 (x 或 第15页/共29页 例3：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）, 求证:ABC是直角三角形. 031) 3(1ACAB ABC是直角三角形 证明： ) 1 , 1 ()23 , 12(AB )3 , 3()25 , 12(AC )2 , 4() 35 , 22(BC 第16页/共29页 (2,3),(1, ),ABACk ABC ：在 ABC中，设且 是直角三角形 变形 ，求k的值。 :( 1,3) 1)90 ,0 ( 2, 3) ( 1,3)0 23(3)0 11 3 BCACABk ABC ABCBABC BA BC k

10、k k 解 又是直角三角形 即 当 K还有其他情 况吗？若有 ，算出来。 要注意 分类讨论！ 第17页/共29页 顶点别为 边为 例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2）， C C（- -3 3， - -1 1），B BC C上上的的高高A AD D，求求： ADD点点的的坐坐标标以以及及）（1 的的形形状状，并并说说明明理理由由）判判断断（ABC 2 解：解： ,Dx y设 点的坐标为 (2,1), ( 6, 3),(3,2) ADxy BCBDxy BCAD 边边上上的的高高是是BCAD 三三点点共共线线、又又CDB BDBC / A

11、 B C x y 第18页/共29页 顶点 别为 边为 例例4 4、已已知知A AB BC C的的分分A A（2 2，1 1），B B（3 3，2 2）， C C（- -3 3， - -1 1），B BC C 上上的的高高 A AD D，求求： ADD点点的的坐坐标标以以及及）（1 0)3()3()6()2( 0)3() 1()6()2( xy yx 5 7 5 9 y x 解解得得： ），（ 5 2 5 1 AD 5 5 5 2 5 1 22 ）（）（AD 5 5 5 7 5 9 ADD），点点的的坐坐标标为为（ A B C x y 第19页/共29页 4ABCA 21B 3 2 C -3-

12、1BCAD 例 、已知的顶点分别为 （， ）， （， ）， （ ，），边上的高为，求： 的的形形状状，并并说说明明理理由由）判判断断（ABC 2 A B C x y )2(解解： ABAC ABAC A cos ），（），（1125 ABAC 71215 ）（）（ABAC 261)5( 2 AC2 AB 52 7 0 为为钝钝角角A 为钝角三角形为钝角三角形ABC 第20页/共29页 例5:已知 ，且存在实 数k和t，使得 且 ，试求 的最小值. ) 2 3 , 2 1 (),1,3(ba 2 (3) ,xatb ykatb yx 2 kt Z t 第21页/共29页 解：由题意有: 13 2

13、,1,310 22 aba b a b 2 ,30 x y x ya tbka tb 又 3 3 4 tt k 2 2 2 117 432 444 kt ttt t 2 7 2. 4 kt t t 当时，有最小值 说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。 第22页/共29页 第23页/共29页 第24页/共29页 第25页/共29页 第26页/共29页 这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几何问题。 （1）两向量垂直条件的坐标表示 0 2121 yyxxba （2）两向量平行条件