导数与泰勒公式成品12页

1、导数与泰勒公式泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式,去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 泰勒公式知识：设函数在点

2、处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少存在一点，使得：=+ +，其中称为余项，上式称为阶泰勒公式；若0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即= +.利用泰勒公式证明不等式：若函数在含有的某区间有定义,并且有直到阶的各阶导数,又在点处有阶的导数,则有公式在上述公式中若(或),则可得或常见的泰勒公式2.泰勒公式的余项 可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺(Peano）余项：这里只需要n阶导数存在2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：其中（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）13、拉格朗日（Lagran

3、ge）余项：其中（0,1）。4、柯西（Cauchy）余项：其中（0,1）。5、积分余项：以上诸多余项事实上很多是等价的。1、 证明: 证明 设 则在处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式 由以上证明可知,用泰勒公式证明不等式,首先构造函数,选取适当的点在处展开,然后判断余项的正负,从而证明不等式.对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题，要充分利用泰勒公式在时的麦克劳林展开式，选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式，对题目进行分析、取材、构造利用.2、 证明不等式：.不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 。这时我们可用在的二阶麦克劳林公式

4、表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 , 当时，的泰勒展式为：0 (0, ,01)所以0,，有 .在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.3、 证明不等式：，（0）.对于此题，若我们对不等式两边同时平方，虽可以去掉根号，但的次数却提高了次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答.证明 设，则,代入=0的二阶泰勒公式，有=1+- + (01) 0, 0 所以 （x0）.在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数

5、、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在=0时的麦克劳林表达式。当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉.高中常用的泰勒公式1.变式：(1).(2)(3)(4)1. 2013 全国卷：(2)当时，求证，。，注意取等条件。例1.2012年天津(理)(2) 恒成立，求的最小值？思路，恒成立，要使恒成立，只要成立即可，解出。变式，恒成立，求的最小值。恒成立，即要，所以。例2.2010湖北(理)(2) 在上恒成立，求的最小值。思路，恒成立，要使恒成立，只要成立即可。整理解得。例3.大一中月考卷已知函数，(2)若恒成立，证明：当时，思路，若恒成立，则解得。变形得，即证即当时，证明。2. ，例1.2010年全国文科设函数，(2)若当时都有，求实数的取值范围。思路，变形为，因为恒成立，所以即可，所以。例2. 2010年全国理科设函数，(2)若当时都有，求实数的取值范围。思路，因为恒成立，所以即可，所以。例3.2014年全国一卷设函数，曲线在点处的切线为。(1) 求，的值。(2) 证明。思路，由第一问可知，不等式，等价于不等式，借助重要不等式,变形可知，于是，因为上式等号不能同时成