西安交大复变函数课件5-2-1留数的计算方法幻灯片

1、 4 zzf i c C d )( 2 1 1 即即),(Res 0 zzf 的的留留数数在在 0 )(zzf 定义定义 记作记作.),(Res 0 zzf 域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)( 1 01 的系数的系数幂项幂项 zzc 为为中中心心的的圆圆环环在在即即 0 )(zzf )( 0 zfz 为函数为函数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿 Rzzz 00 0的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含 0 z的的 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 C zzfd)(的值除的值除 i 2 后所得的数称为后所得的数称为.)( 0的留数 的留数在在zzf以以

2、 如果如果 5 二、利用留数求积分二、利用留数求积分 说明说明:内内部部处处处处解解析析；上上及及在在CCzf)(. 1 2. 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求 被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数. 1.留数定理留数定理)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤 n zzz, 21 外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末 . ),(Res2d )( 1 n k k C zzfizzf 立奇点立奇点 函数函数 6 证证 n CCC zzfzzfzzfd)

3、(d)(d)( 21 zzf C d )( zzf i zzf i zzf i n CCC d )( 2 1 d)( 2 1 d )( 2 1 21 ),(Res),(Res),(Res 21n zzfzzfzzf .),(Res 1 即即可可得得 n k k zzf 证毕证毕 两边同时除以两边同时除以 且且i 2 1 z 2 z n z D C . . . 如图如图 7 2.留数的计算方法留数的计算方法 (1) 如果如果 0 z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点, . 0),(Res 0 zzf则则 ).()(lim),(Res 00 0 zfzzzzf zz 如果如果 为为 的一级极点的一

4、级极点, 那末那末 0 z)(zf规则规则1 1 成洛朗级数求成洛朗级数求. 1 c (2) 如果如果 0 z为为的本性奇点的本性奇点, )(zf (3) 如果如果 0 z为为 的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf )(zf展开展开则需将则需将 8 如果如果 为为 的的 级极点级极点, 0 z)(zfm ).()( d d lim )!1( 1 ),(Res 01 1 0 0 zfzz zm zzf m m m zz 规则规则2 2 证证 2 020 )()()(zzczzczf m m )()( 010 1 01 zzcczzc 1 01010 )()()()( m mm

5、 m zzczzcczfzz 1 0100 )()( mm zzczzc 那末那末 9 ,)!1()()( d d lim 101 1 0 cmzfzz z m m m zz 10 ),(Res czzf所所以以 +(含有含有 正幂的项正幂的项) 0 zz 1 )!1( cm ).()( d d lim )!1( 1 01 1 0 zfzz zm m m m zz )()( d d 01 1 zfzz z m m m 两边求两边求1 m阶导数阶导数, 证毕证毕 得得 10 规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,0)( 000 zQzQzP 设设, )( )( )( zQ zP zf )(z

6、P及及)(zQ在在 0 z都解析，都解析， 证证0)(,0)( 00 zQzQ因因为为 0 z所所以以的一级零点的一级零点,为为)(zQ )( 1 zQ 0 z 的一级极点的一级极点. 为为 那末那末 0 z为为 的一级极点的一级极点, )(zf. )( )( ),(Res 0 0 0 zQ zP zzf 且有且有 11 解析且解析且 0 z. 0)()( 00 zzP 在在 因此因此),( 1 )( 1 0 z zzzQ 其中其中 在在 解析且解析且 )(z 0 z, 0)( 0 z 0 z所所以以为为 的一级极点的一级极点,)(zf )()(lim),(Res 00 0 zfzzzzf z

7、z 0 0) ()( )( lim 0 zz zQzQ zP zz . )( )( 0 0 zQ zP . )()( 1 )( 0 zzP zz zf 12 三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向 1 c 1 ),(Res czf 说明说明 C zzf i d)( 2 1 记作记作 C zzf i zfd)( 2 1 ),(Res 1.1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 zR内解析，内解析， C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， 1 1 ( )d 2 C f zzC i 那末积

8、分的值与 无关， 则称此定值则称此定值 点的留数，点的留数，在在为为 )(zf 13 . . . . 1 z .2 z . k z . 证证 n k k zzfzf 1 ),(Res),(Res CC zzf i zzf i d)( 2 1 d)( 2 1 1 . 0 由留数定理有由留数定理有: (绕原点的并将绕原点的并将 k z 内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线) C 包含在包含在 2.定理二定理二 如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个 孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于

9、零. )(zf 证毕证毕 14 说明说明: 由定理得由定理得 ,),(Res),(Res 1 zfzzf n k k n k k C zzfizzf 1 ),(Res2d )(留数定理留数定理) .),(Res2 zfi 计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.zzf C d )( 优点优点: 使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数) 15 3.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算 规则规则4 4 0 , 11 Res),(Res 2 zz fzf 说明说明: 定理二和规则定理二和规则4提供了提供了计算函

10、数沿闭曲线计算函数沿闭曲线 0 , 11 Res2d)( 2 zz fizzf C 积分的又一种方法积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单. 16 现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的 正向圆周正向圆周 : . z , 1 z令令 , ii reez 并设并设, 1 r 那末那末 于是有于是有 C zzf i zfd)( 2 1 ),(Res 2 0 d)( 2 1 ii ieef i 证证 .d 1 2 1 2 0 ii re i re f i 17 2 0 2 d )( 1 2 1 i ii re re i re f i

11、1 2 d 11 2 1 f i . ) 1 (为正向为正向 内除内除在在 1 0 外无其他奇点外无其他奇点 . .0 , 11 Res 2 zz f 证毕证毕 18 四、典型例题四、典型例题 例例1 求求 n z z e zf )(在在0 z的留数的留数. 解解阶阶极极点点，的的是是因因为为nzfz)(0 0 ,Res n z z e 所以所以 . )!1( 1 n n z n n n z z e z zn 1 1 0d d lim )!1( 1 19 例例2 求求 6 sin )( )( )( z zz zQ zP zf 在在0 z的留数的留数. 分析分析,0)0()0()0( PPP .

12、0)0( P 0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点 由规则由规则3得得 . sin d d lim )!13( 1 0),(Res 6 3 2 2 0 z zz z z zf z 的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦. 20 如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求 1 c较方便较方便: ! 5! 3 1sin 53 66 zz zz zz zz . ! 5 1 0 , sin Res 16 c z zz , !5!3 53 zz 解解 21 说明说明: 0 z 如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可

13、直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求 1 c来计算留数来计算留数 . 6 6 5 5 0 sin d d lim )!16( 1 0),(Res z zz z z zf z . ! 5 1 2. 在应用规则在应用规则2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. :6 m 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m 但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的 如上例取如上例取 22 例例4 计算积分计算积分,d )1( 2 z zz e C z C为正向圆周为正向圆周:.

14、2 z 解解 z zz e zzf z z d )1( lim0),(Res 2 0 , )1( lim 2 0 z e z z 2 2 1 )1( )1( d d lim )!12( 1 1),(Res zz e z z zf z z 0 z为一级极点为一级极点,1 z为二级极点为二级极点, 23 z e z z z d d lim 1 2 1 )1( lim z ze z z , 0 z zz e C z d )1( 2 所所以以 )01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 24 例例5 计算积分计算积分 C z z z ,d 1 4 C为正向圆周为正向圆周:.2

15、z 函数函数 1 4 z z 在在 2 z的外部的外部, 除除 点外没有点外没有 其他奇点其他奇点. C z z z d 1 4 0 , 11 Res2 2 zz fi ),(Res2zfi 0 , 1 Res2 4 z z i. 0 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4: 25 与以下解法作比较与以下解法作比较 : 被积函数被积函数 1 4 z z 有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都 在圆周在圆周2 z的内部的内部 , 所以所以 C z z z d 1 4 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3 , 4 1 4)( )( 2

16、3 zz z zQ zP 26 C z z z d 1 4 .0 4 1 4 1 4 1 4 1 2 i 可见可见, 利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单. 例例6 计算积分计算积分 C zziz z , )3)(1()( d 10 C为正向圆周为正向圆周 :.2 z 解解 除除 )3)(1()( 1 )( 10 zziz zf被积函数被积函数 点外点外, 其他奇点为其他奇点为.3,1, i 27 由于由于i 与与 1在在C的内部的内部, C zziz z )3)(1()( d 10 1),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0 )3(2 1 2 10 i i 则则),(Resizf ),(Res zf 所以所以 1),(Reszf 3),(Reszf .0 . )3(