第5讲 高斯光束

1、激光原理与技术激光原理与技术 第五讲第五讲 高斯光束高斯光束 2 5.0 类透镜介质中的波动方程类透镜介质中的波动方程 2 2 2 0 EE E tt 克克斯斯方方程程出出，推推出出各各向向同同性性、荷荷分分布布介介中中的的波波方方程程：从麦韦组发导无无电质动为 22 2 20 t ikkk r z 若若假假设设其其解解为为修修正正平平面面波波，且且将将类类透透镜镜介介质质折折射射率率表表达达式式带带入入其其中中可可以以得得到到： 2 0 , ,exp 2 k x y zEi p zr q z 其其中中修修正正因因子子，若若假假其其形形式式：为设为 2 2 11 0 k q zq zk i p

2、z q z 可可得得到到化化的的波波方方程程：简动 3 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 2 0k 均均匀匀介介可可以以认认为为是是透透介介的的一一种种特特例例，即即的的透透介介， 此此化化波波方方程程： 质类镜质时类镜质 时简动为 2 11 0 qq 2 2 2 1 0 S SSSz S q zS z S SS 引引入入一一中中间间函函数数 ，使使代代入入上上式式得得到到= = 0SSazabb 得得出出，该该微微分分方方程程的的解解为为、，为为复复常常数数 1a q zazb 则则 0 b q zzzq a pq由由 与与 的的关关系系得得到到 0 ii p qzq 1 0

3、 ln 1 z piC q 11 0CC 不不影影响响振振幅幅和和相相位位的的分分布布，因因此此可可以以设设。 4 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 将将上上述述结结果果代代入入到到 的的表表达达式式中中有有： 2 0 0 0 expln 1 1 2 zk Eiir qqz 00 qiz 00 0 qq q 满满足足该该表表达达式式的的有有很很多多形形式式，但但对对其其研研究究发发现现纯纯虚虚数数形形式式的的可可以以得得到到 有有物物理理意意义义的的波波，因因此此假假设设具具有有如如下下表表达达形形式式： 0 1q将将的的表表达达式式带带入入式式中中，其其指指数数的的两两项项可

4、可以以分分别别表表示示为为： 2 0000 expln 1expln 1expln 1arctg zzzz ii qzzz 2 0 0 1 exparctg 1/ z i z z z 代代表表修修正正因因子子 对对平平面面波波 轴轴向向相相位位的的修修正正 5 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 22 20 22 00 0 1 expexpexp 22 2 zizkrkrk irii zizzzqz 代代表表了了 对对平平面面波波在在径径 向向上上的的振振幅幅和和相相位位修修正正 作作为为对对平平面面波波的的修修正正因因子子，要要想想获获得得高高斯斯光光束束解解，则则其其应应该该

5、包包括括： 1、对对平平面面波波轴轴向向相相位位修修正正； 2、对对平平面面波波径径向向振振幅幅修修正正； 3、对对平平面面波波径径向向相相位位修修正正 即即 应应有有如如下下形形式式 2 2 2 1 exp k i R z ir z z 0 0 2 20 2 0 2 0 22 0 exp 2 a ctg 2 r 1/ zk z kz i z z i E r z zzz z 2 0 22 2 00 2 ex 2 p 2 kz i z z zzz k r 6 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 0 2 2 2 0 0 2 2 0 1 2 arc 2 tg 2 kzk R zz z

6、z z zz z zk z 2 2 2 0 2 2 0 0 2 1 1 zz z kz z R zz z 比比较较两两式式，可可以以得得到到： 2 20 2 0 0 2 0 1 zz z kz 20 0 2z k 22 0 2 00 0 00 2 22 k z 0 2 0 1 1/ z z z 7 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 将将上上述述参参数数带带入入到到光光场场的的表表达达式式，整整理理可可以以得得到到光光场场的的表表达达式式： , , , , ikz E x y z x y z e 2 22 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 1 1 arctg z z z

7、 z R zz z z z z z r 该该式式所所表表示示的的是是均均匀匀介介质质中中波波动动方方程程的的一一个个解解， 称称为为基基本本高高斯斯光光束束解解，其其横横向向依依赖赖关关系系只只包包含含 ， 而而与与方方位位角角无无关关。 上上面面最最后后一一个个表表达达式式中中的的两两项项，前前一一项项是是，后后一一项项是是振振幅幅项项相相位位项项。 为为什什么么是是这这个个解解？还还有有其其他他解解吗吗？ 22 0 0 2 expxp 2 e kr kzz R z Ei r zz 20 0 2 1 exp 2 k Ei kzzri zR zz 那那些些与与方方位位角角相相关关的的分分布布是

8、是 高高阶阶高高斯斯光光束束解解。 8 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高高斯斯分分布布： 在在统统计计学学中中更更多多的的被被称称为为正正态态分分布布， 它它指指的的是是服服从从以以下下概概率率密密度度函函数数的的分分布布： Johann Carl Friedrich Gauss (1777 1855) 2 2 1 , ,exp 22 x fx 2 0 02 exp r EE zz 9 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高高斯斯光光束束基基本本特特性性 振振幅幅分分布布特特性性 由由高高斯斯光光束束的的表表达达式式可可以以得得到到： 2 0 0 2 exp

9、r EE zz z在在 截截面面上上，其其振振幅幅按按照照高高斯斯函函数数规规律律变变化化，如如图图所所示示。 1/ rz e 将将在在光光束束截截面面内内，振振幅幅下下降降到到最最大大值值的的时时， 离离光光轴轴的的距距离离定定义义为为该该处处的的光光斑斑。半半径径 z 由由的的定定义义可可以以得得到到： 2 22 0 2 0 1 z z z 2 2 22 00 1 zz z 0 0 z 即即光光束束半半径径随随传传输输距距离离的的变变化化规规律律 为为双双曲曲线线，在在时时有有最最小小值值， 这这个个位位置置被被称称为为束束高高斯斯光光束束的的腰腰位位置置。 10 5.1 均匀介质中的高斯

10、光束均匀介质中的高斯光束 等等相相位位面面特特性性 从从高高斯斯光光束束解解的的相相位位部部分分可可以以得得到到传传输输过过程程中中的的总总相相移移为为： 22 2 0 , ,arctg 22 krrz x y zkzzk z R zR z 将将上上式式同同标标准准球球面面波波的的总总相相移移表表达达式式比比较较： 22 ; 2 xy kzkzR R ( ) ( ) R z R z 可可以以得得出出结结论论，在在近近轴轴条条件件下下高高斯斯光光束束的的等等相相位位面面是是以以为为半半径径的的 球球面面，球球面面的的球球心心位位置置随随着着光光束束的的传传播播不不断断变变化化，由由的的表表达达式

11、式可可知知： ,0zR z 时时，此此时时的的等等相相位位面面是是平平面面； zR zz 时时，此此时时等等相相位位面面 也也是是平平面面； 00 2zzR zz 时时， 此此时时的的等等相相位位面面半半径径最最小小； 0, 0, R z R z 曲曲率率中中心心在在等等相相位位面面的的左左边边 曲曲率率中中心心在在等等相相位位面面的的右右边边 11 f 从从束束腰腰到到该该处处的的长长度度 称称为为高高斯斯光光束束的的，通通瑞瑞长长度度常常记记作作利利。 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 瑞瑞利利长长度度 000 2zzz 当当光光束束从从束束腰腰传传播播到到处处时时，光光束

12、束半半径径= =，即即光光斑斑面面积积 增增大大为为最最小小值值的的两两倍倍， 在在实实际际应应用用中中，一一般般认认为为基基模模高高斯斯光光束束在在瑞瑞利利长长度度范范围围内内是是近近似似平平行行的的， 因因此此也也把把瑞瑞利利距距离离长长度度称称为为准准直直距距离离。 这这个个范范围围称称为为瑞瑞利利范范围围， 2 0 0 z 大大从从瑞瑞利利长长度度表表达达式式可可以以得得出出结结论论，高高斯斯光光束束的的束束腰腰半半径径越越， 其其准准直直距距离离越越长长， = = 准准直直性性越越好好。 12 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 高高斯斯光光束束的的孔孔径径 从从基基模

13、模高高斯斯光光束束的的光光束束半半径径表表达达式式可可以以得得到到截截面面上上振振幅幅的的分分布布为为： 2 0 2 exp r A rA 2 0 2 2 exp r I rI 则则其其光光强强分分布布为为： 孔径半径孔径半径a /23/22 功率透过比功率透过比 39.3%86.5%98.89%99.99% a 考考虑虑垂垂直直于于高高斯斯光光束束传传播播方方向向上上存存在在一一无无限限大大平平面面，以以光光轴轴为为中中心心开开一一 半半径径为为 的的孔孔， 2 0 2 0 2 2 1exp 2 a a I rrdr Pa T P I rrdr 3/ 2 在在激激光光应应用用中中，高高斯斯光

14、光束束总总要要 通通过过各各种种光光学学元元件件，从从上上面面推推 导导可可知知，只只要要光光学学元元件件的的孔孔径径 大大于于，即即可可保保证证高高斯斯光光束束的的绝绝大大部部分分功功率率有有效效透透过过。 则则透透过过该该孔孔径径的的光光功功率率与与总总功功率率的的比比值值为为左左下下式式，通通过过计计 算算可可以以得得到到不不同同孔孔径径的的功功率率透透过过率率。 13 5.1 均匀介质中的高斯光束均匀介质中的高斯光束 远远场场发发散散角角 从从高高斯斯光光束束的的等等相相位位面面半半径径以以及及光光束束半半径径的的分分布布规规律律可可以以知知道道，在在瑞瑞利利 长长度度之之外外，高高斯

15、斯光光束束迅迅速速发发散散， 0 0 22 0000 11 limlim zz z zzzzz 86.5%包包含含在在全全远远场场发发散散角角内内的的光光束束功功率率占占高高斯斯光光束束总总功功率率的的 高高斯斯光光束束在在轴轴线线附附近近可可以以看看成成一一种种，在在传传播播 过过程程中中， 非非均均匀匀高高斯斯球球面面波波 曲曲率率中中心心不不断断改改变变高高其其振振幅幅在在横横截截面面内内为为一一， 强强度度集集中中在在轴轴线线及及其其附附近近，且且 斯斯分分布布 等等相相位位面面保保持持球球面面。 1/ e z z 定定义义当当时时高高斯斯光光束束振振幅幅减减小小到到最最大大 值值处处

16、与与 轴轴夹夹角角为为高高斯斯光光束束的的远远场场发发散散角角（半半角角）： 14 5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 2 k 类类透透镜镜介介质质中中0 0，此此时时的的简简化化波波动动方方程程为为： 2 2 11 0 k q zq zk i pz q z 1 Sz S z q zS z 仍仍引引入入函函数数：，可可以以得得到到： 2 0 k SzS z k 22 2222 sincos cossin kk S zazbz kk kkkk Szazbz kkkk 其其解解为为： 15 5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 可可以以得得到到： 22 2222

17、sincos cossin kk azbz kk S z q z Sz kkkk azbz kkkk = = 0 00 =zqq 当当时时，于于是是可可以以得得到到： 22 0 2 222 0 cossin sincos kkk qzz kkk q z kkk qzz kkk 16 5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 2 0 2 2 exp exp 2 2 k kr ri Ei p zr q z q z 类类透透镜镜介介质质中中的的基基本本高高斯斯光光束束解解仍仍采采取取的的形形式式， 如如果果我我们们只只讨讨论论其其中中包包含含 的的指指数数部部分分： 22 2 2 exp

18、exp 22 rkrk iri q zR zz 要要获获得得高高斯斯光光束束解解，则则必必然然有有 2 2 q z kk i q zR zz 即即必必然然采采用用以以下下的的形形式式 2 0 0 0=qRi 束束腰腰处处等等相相位位面面为为平平面面，即即，可可得得： ( )( )zR z 其其中中是是光光斑斑半半径径，是是等等相相位位面面曲曲率率半半径径，其其物物理理意意义义同同均均匀匀介介质质 中中的的基基本本高高斯斯光光束束解解相相同同，然然而而数数学学表表达达式式比比较较复复杂杂。 17 5.2 类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中的高斯光束 ( )q z前前面面得得到到了了类类透透镜镜介

19、介质质中中高高斯斯光光束束参参数数的的复复数数表表达达形形式式： 22 0 2 222 0 cossin sincos kkk qzz kkk q z kkk qzz kkk 0 q 是是由由边边界界条条件件求求出出的的光光束束初初始始条条件件，将将上上式式同同前前面面得得到到的的光光线线矩矩阵阵比比较较： 022 020 222 000 cossin sincos kkk zz kkk AB CD kkk zz kkk 0 0 AqB q z CqD 18 5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 0 前前面面推推导导均均匀匀介介质质中中的的基基模模高高斯斯光光束束解解时时曾

20、曾假假设设振振幅幅横横向向分分布布与与方方位位角角无无关关， 如如果果考考虑虑方方位位角角的的变变化化，则则算算符符可可以以表表示示为为： 22 2 222 11 rrrrz 0 22 , , ikz xy Ex y z e 此此时时波波动动方方程程的的特特解解为为： 2 k考考虑虑均均匀匀介介质质中中的的高高阶阶高高斯斯光光束束，因因此此令令=0=0，将将上上式式代代入入波波动动方方程程， 分分离离变变量量后后解解得得： 2 2 2 2 222 210 222 210 dxdxx x dxdx dydyy x dydy 21 0,1,2,3, 21 0,1,2,3, m m n n 19 5

21、.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 其其解解为为厄厄米米多多项项式式 2 2 m n xx H yy H 0 1 2 2 3 3 1 2 42 812 Hx Hxx Hxx Hxxx , ,x y z 仍仍为为基基本本高高斯斯光光束束解解，所所以以总总的的解解为为 0 ,0 22 22 2 0 , ,22 exp1 arctg 2 m nmn xy Ex y zEHH zzz k xy xyz ikzmn R zzz mn mnxy TEM 其其中中的的、 为为 、 方方向向上上的的零零点点数数，此此时时高高阶阶高高斯斯光光束束分分布布为为厄厄米米高高斯斯 光光束束，表表示示为为模模式式。 20 5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 几几种种高高阶阶高高斯斯光光束束的的光光强强分分布布图图 21 5.3 均匀介质中的高阶高斯光束均匀介质中的高阶高斯光束 22 贝赛尔光束贝赛尔光束 , ,exp z E r z tf ri k zt 如如果果假假设设无无