二项式定理知识点总结

1、、二项式定理：a b n Cn0an Cn1a n 1bk n k k Cn a bCnnbn （ n N ）等号右边的多项式叫做0,1,2,3 n） 叫做二项式系数。a b n 的二项展开式，其中各项的系数Cnk （k对二项式定理的理解：1）二项展开式有 n 1项（2）字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 第一项开始，次数由 0 逐项加 1 到 nn 逐项减 1 到 0；字母 b 按升幂排列，从3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a, b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 a 1，b1 x n Cn0xn C1n xk n kCn

2、xCnnxn(nN）4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a b n 展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式nab、二项展开式的通项： Tk 1 Cnk an k bkk n k k二项展开式的通项 Tk 1 Cnkan kbk （k 0,1,2,3 n） 是二项展开式的第 k 1项，它体现了 二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用 对通项 Tk 1 Cnkan kbk (k 0,1,2,3 n) 的理解：1）字母 b 的次数和组合

3、数的上标相同2）a 与 b 的次数之和为 n3）在通项公式中共含有 a,b, n,k,Tk 1这 5个元素，知道 4 个元素便可求第 5个元素例 1 Cn1 3Cn2 9Cn33n 1Cnn 等于（）例 2. （1 ）求（12x)7的展开式的第四项的系数；(2)求(x193-)9的展开式中x3的系数及二项式系数xnnA. 4 B。3 44n1 D.4n三、二项展开式系数的性质: 对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0C；,c：C n 1 Q 2 cn ，cnC：C； 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n 如果二项式的幕

4、指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn max C；n 1n 1如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即C max C/ CF 二项展开式的各系数的和等于 2n，令a 1，b 1即c： C：Cn (1 1)n 2n ；2n 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a 1，b1即Cn例题：写出(X y)11的展开式中:(1 )二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1 )求多项式(印 a2an)n的展开式，可以把其中几项结合转

5、化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式(x2 厶 2)3的展开式x(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1 X)2 (1 X)5的展开式中X3的系数n例题：如果在浓2?x的展开式中，前三项的系数成等差数列求展开式中的 有理项。(2 )求的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定727例题：已知(1 2x) a0 a1x a2x La7x ,求：(1) aia2L a7 ；(2

6、)aia?a5a? ；(3)|a。| 印 | L |a? |.六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面:(1)进行近似计算(2 )证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明：2n 2n n 3,n N取2n1 1 n的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当n不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n的近似值。例题：(1.05)6的计算结果精确到的近似值是( )A.B.C.D.(2)整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除

7、数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为 1，若k为其他数，则需对幕的底数 k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b 0)，有确定的一对整数 q和r，满足a bq r，其中b为除数，r为余数，r 0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数， 要注意转换成正数 例题：求201363除以7所得的余数cn 17被9除得的余数是（）例题：若n为奇数，则7n C：7n1 C27n 2A. 0 B 。 2 C 。 71例题：当n N且n1,求证2(1-)n 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用

8、问题，它的取舍根据题目而定综合测试-、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在x103的展开式中,x6的系数为2.27C：B.27C：oc.9C6oD 9C4。已知a b 0,b4a,a b n的展开式按a的降幕排列,其中第 n项与第n+1项相等，那么正整数n等于3.4.5.A. 4A. 10B.C.10D.11已知(、a5310被8除的余数是A. 1n的展开式的第三项与第二项的系数的比为B. 11B. 2C.1211 :D.D.6的计算结果精确到的近似值是A.B.C.D.2,则 n 是13n6.二项式 2：x 1 (nN)的

9、展开式中,v X前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是B. 2C.D. 41 17.设(3x 3+x2) n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h,若t+h=272，则展开式的x2项的系数是( )A. 1B. 12C. 2D. 3&在(1 x x2)6的展开式中x5的系数为( )A. 4B. 5C. 6D. 79.(勿1 迟)展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是A. 330B . 462C.680D.79010 . (、_X1)4(x1)5的展开式中，4x的系数为()A .40B . 10C.40D.4557,且系数最大的一项的值为-，2(

10、)11.二项式(1+sinx) n的展开式中，末尾两项的系数之和为 则x在0 , 2 n 内的值为A.或一 B636 612 .在(1 + x)5+(1 + x)6+(1 + x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列an=3 n 5 的A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果 219913 . (x2)9展开式中x9的系数是2x14 .若 2x .3 4aoa/a4X4，贝Va。a?a42 aja32的值为15 .若(x3x 2)n的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项16 .对于二项式(1-x) 1999，有

11、下列四个命题:-|-r u-t -r-1000999 展开式中000 = C1999 x 展开式中非常数项的系数和是1 ； 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;当 x=2000 时，(1-x)1999除以2000的余数是1 .其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74分.L117. （ 12分）若（6 x 6）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.Vx（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？1 n18. （12分）已知（丄2x）的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式4系数最大的项的系数.19. （

12、12 分）是否存在等差数列an，使a1C0n a2cn a3c2an Q； n 2n对任意n N * 都成立？若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由20.（ 12 分）某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩 （精确到 1 亩）？21.(12分)设f(x)=(1+x) m+(1+x) n(m、n N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11,试问：m n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小 值22. (14分)规定Cm