《二次函数》教学活动教案

1、第22章二次函数教学活动 教案（简案）修改稿 2014.10.24一、教学内容解析本节课是人教版新教材九年级上册第22章二次函数章末教学活动，它是在学完整个一章知识，尤其是之前体验实际问题与二次函数的基础上，安排的两个活动，一个是观察两个数乘积的式子的规律，猜想哪个积最大并验证；另一个是在平面直角坐标系中通过按要求作图操作，得到抛物线形图象，猜想并验证是二次函数的图象两个活动的安排都是新教材中新确立的，旧版教材中没有这两个活动分别从“代数”和“几何”的角度进一步阐述和发挥“二次函数”的“模型”应用，让学生加深对借助“二次函数”工具解决实际问题的认识和理解二、教学目标解析（1）能运用二次函数“最

2、值问题”模型解决活动一中“哪个积最大”的问题；能按要求作出活动二中的图，推导并理解图象上任一点P（x，y）的坐标x，y之间的关系；（2）经历观察（动手操作）、猜想、验证的活动过程，培养学生主动探究知识、自主思考和合作交流的意识，落实“基本思想、基本活动经验”的体验和收获三、教学重点重点：解决活动一中“哪个积最大”的问题；按要求作出活动二中的图，难点：活动二中推导图象上任一点P（x，y）的坐标x，y之间的关系四、教学过程设计（一）、【课前热身、知识储备】1、复习：我们知道二次函数（a0）的图象是一条_它的对称轴是_，顶点坐标是_ ，由a的取值，有如下两种函数图象，对应两种最值情况：（补充表格）a

3、的值a_0a_0图象最值情况图象的顶点是最_点，即表示：当x=_时，函数y有最大值_图象的顶点是最_点，即表示：当x=_时，函数y有最大值_AB2、回顾作图：已知线段AB，作出线段AB的垂直平分线l，在l上任取一点P，连接PA，PB，则PA与PB的数量关系是_，你的根据是什么？3、回顾与探究如图在平面直角坐标系中有一些点，请回答：点B(1,2)到x轴的距离是_点C(-2,1)到y轴的距离是_点D(-1,3)到原点的距离是_点C(-2,1)到点A(0,2)的距离是_坐标系中任一点P(x,y) 到x轴的距离可以表示为_，到y轴的距离可以表示为_，到原点的距离可以表示为_，到点A(0,2)的距离可以

4、表示为_设计意图此次活动的内容不仅仅涉及刚学的二次函数知识，还要用到以前的知识，如垂直平分线的作法及性质，平面直角坐标系中的点与坐标轴、点与点的距离表示方法，因此设置此项课前预习热身任务（二）、【教学活动1】1、短节目表演：九位学生（身高分层次）按如下示意图以一排站好，进行表演：表演学生分别出示并说出手中号码牌上的式子：19，28，82，91教师引导全体学生观察式子规律，并依据规律说出中间打省略号的式子，提问：你认为其中哪个积最大？学生进行猜想并计算，此时表演学生分别叙述自己的式子乘积的结果和特征，如19说：“我的乘积是9”64说：“我的乘积是24，与46的乘积是一样的，正如我们俩的身高是一样

5、的”教师顺势发出引导性提问：如果以他们的身高比拟他们手中式子的乘积大小，那么这些式子的乘积从前到后是一个怎样的变化趋势？哪个积最大？对应谁的身高最高？学生：先变大，后变小，55最大，对应最中间的同学身高最高设计意图此次表演让学生从“数”和“形”上对“哪个积最大”这一实际问题的解决引发了体验，尤其暗中触发了对“二次函数图象最高点”的联系，为后面的活动提供铺垫表演学生分别翻转并重新亮出手中号码牌上的式子：9199，9298，9892，9991教师引导全体学生继续观察式子规律，提问：这组式子与前一组相比，还具有类似的规律吗，你认为其中哪个积最大？学生进行猜想、讨论并试着计算此时表演学生（代表）叙述自

6、己面对新问题的感受，如9199说：“我没带计算器，暂不能迅速口算出我的乘积是多少，但我可以确定我和9991的乘积是一样的，就好比我们的身高还是一样的”9991表示赞同，9595说：“我也还算不出我的乘积是多少，但我猜想我的乘积应该是最大的，正如我的身高还是最高的，同学们你们能帮我说明我的猜想是对的吗？”节目表演结束，设计意图此次表演是第一次表演的一个升华，沿用第一组式子的规律，只是数字更大问题的提出由表演学生自己提出，学生自然而然会从“数”和“形”上沿用第一表演中的联想、猜想，进一步触发学生找到“二次函数”这一问题解决工具2、合作探究验证问：你能帮助表演学生用所学知识说明上述的猜想正确吗？师生

7、活动：教师进行问题解析，引导学生找到并确立问题解决的工具“二次函数最值问题”，再分解解决步骤，追问学生如何对此实际问题构建二次函数，即确定谁是函数y，谁是自变量x学生根据式子规律的把握，进行合作讨论、交流，确定“式子的乘积”为函数y，确立自变量x可以从不同角度，如设每个式子中第一个乘数为x，或设每个式子中第一个乘数的个位上数是x学生独立写出函数关系式，注意自变量取值范围，并进行最值讨论，最终完成问题（进行板演）设计意图这是问题解决部分，让学生回顾“实际问题与二次函数”中构建函数的方法，确立函数关系式，然后进行最值讨论在这个过程中，渗透建模思想，并培养学生思维的逻辑性、条理性、多样性三、【教学活

8、动2】教师：刚才的活动我们重在观察，下面我们进行的活动将重在动手操作，请大家拿出作图工具准备作图1、明确要求示范引领师生活动：教师朗读作图要求，并适时质疑，小老师（学生）进行示范作图板演学生理解并体会作图要求和步骤如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2）在x轴上任取一点M（教师引发思考：点M可以在哪些具体位置上取，学生回答）连接AM作线段AM的垂直平分线l1过点M作x轴的垂线l2用红笔描出l1与 l2的交点，记为P设计意图对作图要求和步骤进行解析和示范是为后面学生自主操作提供标准和参照；教师对点M的位置取法的质疑是为了提醒学生从三部分位置（x轴正半轴、原点、x轴负半轴）取点，从而使后面

9、的作图更为完整；2、动手操作合作交流师生活动：学生分小组合作进行作图比赛，在x轴上多次改变点M的位置，按照上述的步骤得到相应的点P（要求考虑到点M的不同位置），教师进行巡视指导，及时纠正不正确的作图，引导从不同为位置取点M，并挑选学生中画好的有代表性的点进行板演（如点M的横坐标取0、2、4、6）设计意图该环节考察学生对作图要求和步骤的领会以及实际动手操作能力、合作意识教师通过巡视指导学生作图发现有代表性的点（当点M的横坐标取0、2、4、6时，所得点P恰好是坐标系网格中的格点），并将之板演，让所得结果顺利朝后续发展3、反馈展示观察猜想师生活动：教师查看学生作图成果，并要求进行终极作图：把标记的所

10、有红点P用平滑的曲线连接起来学生互相展示画出的曲线L问：大家猜想它是我们学过的哪种曲线？学生：抛物线设计意图将此环节独立设计并强调是为强化反馈学生的劳动成果，让进行完动手操作的学生在展示和比较中体验成就感、数学图形的惊喜感和美感为后续的难点突破提供情感铺垫4、转换思考探究验证问：若是抛物线，它是不是对应着一个二次函数？你能不能确立它的解析式？师生活动：学生自主探究确立解析式的方法：取图象上的一些特殊点，如(0,1) 、(2,2)、(4,5)，用待定系数法设一般式，或根据所画图象特征（对称轴是y轴），假设为更简洁的形式来求得该抛物线二次函数的解析式为设计意图待定系数法求对应图象的函数解析式是学生

11、首先能想到，并容易接受的方法，不妨让学生先根据特殊点求出这条抛物线的解析式，再来验证是不是所有的点P都在求出的二次函数的图象上追问：这样是否意味着，我们所有求作的点P，包括按作图要求能作出但还未来得及作出的所有点P都在二次函数上的图象上呢，或者说它们的坐标都满足？师生活动：学生开始质疑，转换思考，体会到验证的必要性，并自主进行验证，教师结合黑板上图形引导学生从以下几个步骤完成验证过程（梳理关系并填空），最后整合整个活动问题解决过程对于曲线L上的任意一点P，它在线段AM的_线上，则线段PA与PM的数量关系是_，你的根据是_设点P的坐标是（x，y），由M在x轴上，且PMx轴，则PM可表示为_，由A

12、（0，2），PA是指点P到点A的距离，即可表示为_（用x，y的式子表示）请根据和试着得到x，y满足的关系式_根据得到的x，y之间的关系式，它与之前求得的解析式一样吗？你能由此最终确定曲线L是哪种曲线吗？所得结论与之前猜想一样吗？设计意图提出质疑，触发学生对“验证必要性”的重新认识和对验证方法的思考，这是难点，因此教师引导学生按步骤梳理关系，分散难点，最终突破难点，完成验证，让学生体验整个思维逻辑过程四、【活动小结反思提升】师生回顾本节活动课过程，并请学生回答以下问题：1、你还有哪些疑问吗？ 2、你体验到了收获吗? 有哪些？设计意图通过互相交流、点拨指正让学生解疑释惑，不留疑问在课堂；使学生总结并关注通过这堂活动课学到的知识、技能，特别是体验到的思想方法和活动经验五、目标检测设计1、观察下列表示两个数乘积的式子，猜想其中哪个积最大，并用所学知识验证你的猜想901999，902998，998902，9999012、如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象，在该抛物线上任取一点M，请按如下步骤完成作图：连接OM确定线段OM的中点，并描出，标记为点P在抛物线上多次改变点M的位置，按照的步骤得到