29566 0029567数学分析上下册华东师范大学数学系93

1、 判别一个函数 f (x) 在a, b上是否可积,就是判别极限 是否存在. 在实际应用中，直接按定义来判定 是困难的. 我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连 续性等）来判别函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证 明有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是可积的充分 条件而非必要条件. 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 定理9.1（可积必有界） 若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界. 证证 设设 由定义由定义, 对对 于是于是 后退 前进 目录 退出 3 可积条件 数学分析 第九章

2、 定积分 高等教育出版社 于是于是 矛盾矛盾. 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 证证 若若 D(x) 在在 a, b 上可积上可积 , 则则 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 于是于是而这与而这与 所以所以=b- - a 相矛盾相矛盾, 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 定义2 称为称为 f 关于分割关于分割 T 的上和的上和, 称为称为 f 关于分割关于分割 T 的下和的下和, 对任意分割对任意分割 其中其中 其中其中 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 定理9.3（可积准则） 函数函数 f 在在a, b

3、上可积的充要上可积的充要条件是：条件是： 振幅反映了函数在区间内的变化范围振幅反映了函数在区间内的变化范围, ,是一个与连是一个与连 续性相关联的概念续性相关联的概念. . 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 定理9.4（连续必可积） 常见的有三种方法常见的有三种方法, ,下面分别作出介绍下面分别作出介绍. . 每个每个从而从而第一种方法第一种方法: : 连续，则可积连续，则可积. .若若 此定理将在本章第六节定理此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明中证明. . 在用它在用它 证明可积性问题时证明可积性问题时, ,有多种方法可使有多种方法可使 3 可积条件 数学分析

4、第九章 定积分 高等教育出版社 从而从而 因此当因此当 从而在从而在a, b上一致连续上一致连续. 证证于于 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 第二种方法第二种方法: : 定理9.5（单调必可积） 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 证证 不妨设不妨设是非常值的增函数，是非常值的增函数， 于是于是 因此因此, 若若 则对任意分割则对任意分割 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 第三种方法第三种方法: : 于是于是 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 定理9.6（有限个间断点的有界函数必可积） 若若有界有界, ,且

5、只有有限多个不连续点，且只有有限多个不连续点， 此时可用第三种方法证明此时可用第三种方法证明 f 可积可积. f 在在 a, b 上可积上可积. 只有一个间断点只有一个间断点, 且为且为 b.证证 不妨设不妨设 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 使使 则存在分割则存在分割 令令则则 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 上可积上可积, ,且且 例例2 证明黎曼函数证明黎曼函数 证证 只有有限多个只有有限多个, 分割分割 使使 的小区间至多有的小区间至多有 的有理数的有理数 设它们为设它们为 2 2k 个个, ,记为记为 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 从而从而 因此这些小区间长度之和为因此这些小区间长度之和为 3 可积条件 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 复习思考题 数学分析 第九章 定积分 高等教育出版社 1. f (x) 为为 a, b 上的有界函数上的有界函数, 其不连续点的集合其不连续点的集合 证明证明 f 在在a, b上可积上可积. 2. f (x) 在在 a, b 上