2020版第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1. 直线与圆的位置关系(1) 三种位置关系：相交、相切、相离.(2) 两种研究方法：代数法联立方程组消去xy得一元二次方程,c 0?相交二0?相切V 0?相离几何法I71 d二8相切.(/r相离2. 圆与圆的位置关系设圆 Oi： (x ai)2 + (y bi)2= ri(ri0),圆 02： (x a2)2 + (y b2)2= r2(r20).位置关系几何法：圆心距d与ri,

2、 r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1 + r2无解外切d = r1 + r2一组实数解相交|r1 r2|dr1 + r2两组不同的实数解内切d =r1 r2(r1 工一组实数解内含o d|r1 2|(门工 r2)无解常用结论1. 圆的切线方程常用结论过圆x2 + y2 = r2上一点P(xo, yo)的圆的切线方程为xox+yoy= r2(2) 过圆(x a)2 + (y b)2= r2 上一点 P(xo, yo)的圆的切线方程为(xo a)(x a)2+ (yo b)(y b) = r .(3) 过圆x2 + y2=r2外一点M(xo, yo)作圆的两条切线，则两切

3、点所在直线方2程为 xox+yoy= r .2. 圆与圆的位置关系的常用结论(1) 两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交： 2条；外切：3条；外离：4条.(2) 当两圆相交时，两圆方程(x2, y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线 的方程.基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)“k= T是“直线x y+ k= O与圆x2 + y2= 1相交”的必要不充分条件.()(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3) 如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交.()(4) 若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项

4、后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程.()(5) 过圆0: x2 + y2 = r2上一点P(xo，yo)的圆的切线方程是xox+ yoy= r2.()答案X (2)X (3)X VV2 .直线x y+ 1 = 0与圆(x+ 1)2 +寸=1的位置关系是()A .相切B. 直线过圆心C. 直线不过圆心，但与圆相交00,D. 相离依题意知圆心为(1,0),到直线x y+ 1 = 0的距离d =所以直线过圆心.3. (教材改编)圆(x+ 2)2 + y2= 4与圆(x2)2 + (y 1)2= 9的位置关系为()A .内切B.相交 C.外切D .相离B两圆圆心分别为(2,0), (2,1),

5、半径分别为2和3,圆心距d=；42+ 1=17. : 3 2d3+ 2,二两圆相交.4. 已知直线I: y= k(x+ 3)和圆C: x2+ (y 1)2= 1,若直线I与圆C相切,则 k=()A. 0B. 3C.f 或 0D. .3或 0因为直线I与圆C相切，所以圆心C到直线I的距离d =匕+仝=11 + k2解得k= 0或k= , 3,故选D.5. 直线x + 2y = 0被圆C: x2 + y2 6x 2y 15= 0所截得的弦长等于由已知圆心C(3,1)，半径r =5.又圆心C到直线I的距离d =|3+ 2|.5,则弦长=2 ；r2 d2 = 4 5.直线与圆的位置关系1.若直线x+

6、my= 2+ m与圆X + y2-2x2y+ 1= 0相交，则实数m的取值 范围为()A. ( x,+x )B . ( x, 0)C. (0,+x)D . ( x, o)u (0,+x)D 圆的标准方程为(x 1)2+ (y 1)2= 1,圆心C(1,1),半径r = 1.|1+ m 2 m|因为直线与圆相交，所以d= 0或m0.故选D.冷1 + m22 .圆 x2 + y2 2x+4y= 0 与直线 2tx y 2 2t = 0(t R)的位置关系为()A .相离C.相交B .相切D .以上都有可能C 直线 2tx y 2 2t= 0 恒过点(1, 2), v 12+ ( 2)2 2X 1

7、+ 4X ( 2)=50, 点(1, 2)在圆 x2 + y2 2x + 4y= 0 内，直线 2tx y 2 2t = 0 与圆x2+ y2 2x+ 4y= 0 相交，故选 C.3. 圆(x 3)2 + (y 3)2 = 9上到直线3x+4y 11 = 0的距离等于1的点的个数C. 3C 如图所示，因为圆心到直线的距离为|9+ 12- 11|5=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个.规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系.2代数法：联立方程之后利用 判断.3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆 相交.

8、,上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题圆与圆的位置关系【例 1】 已知圆 C1： (xa)2 + (y+ 2)2=4 与圆 C2： (x+ b)2 + (y+ 2)2= 1 相外切，则ab的最大值为（）B2C.9 D. 2 3C 由圆Ci与圆C2相外切，可得 J a+ b2+ 2 + 22 = 2+ 1 = 3,即（a+b）2 = 9,根据基本（均值）不等式可知aba+ b 2 9 可=4,当且仅当a= b时等号成立.故选C.拓展探究把本例中的“外切”变为“内切”，求 ab的最大值.解由 Ci 与 C2 内切得-a+ b 2+ 2 + 2 2= 1.2a + b 2

9、1即（a+ b）2= 1,又ab 厂 =4,当且仅当a= b时等号成立，故ab的最1大值为玄.规律方法判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是1确定两圆的圆心坐标和半径长；2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1 + r2, |r1 r2|的值；3比较d, r1+ r2,1 切的大小，写出结论.已知两圆 C1： x2 + y2 2x 6y 1=0 和 C2： x2 + y2 10x 12y+ 45= 0.求证：圆Cl和圆C2相交；(2)求圆Ci和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解证明：圆Ci的圆心为Ci(1,3),半径ri= . 11,圆C2的圆心为C2(5,6), 半径2

10、= 4,两圆圆心距 d= |CiC2|= 5, ri + r2= 11 + 4, |ri-r2= 4- , 11, |ri r2|v dv ri+ r2,圆Ci和C2相交.(2)圆Ci和圆C2的方程左、右两边分别相减，得 4x+ 3y 23= 0, 两圆的 公共弦所在直线的方程为4x+ 3y 23= 0.|20+ 18 23|圆心C2(5,6)到直线4x+ 3y 23= 0的距离=3,彳16+ 9故公共弦长为2 ；16 9= 2.7.直线与圆的综合问题?考法1圆的切线问题【例2】(1)已知圆的方程为x2+ y2= 1,则在y轴上截距为一 2的切线方程为()A. y=x+ 2B. y= x+ 2

11、C. y=x+ 2或 y= x+ 2D. x= 1 或 y= x+ 2(2)(2019惠州第一次调研)过点A(3,4)作圆C: (x 2)2 + (y 3)2= 2的切线I, 则切线I的方程为.C(2)x + y 7= 0 (1)在y轴上截距为.2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y= kx+/2,则 能= 1,所以k= 1，故所求切线方 屮2+ 1程为 y=x+ ,2或 y= x + 2.(2)设切线I的方程为y= kx+ b,点A(3,4)在切线I上，故4 = 3k+ b.圆C: (x22|2k+ b 3| k+1|2)2 + (y 3)2= 2的圆心(2,3)到切线I的距离d

12、 = =羽，可得=寸 1 + k2p 1 + k2.2,解得k= 1,故b= 7,切线I的方程为x+y 7= 0.?考法2直线与圆相交的弦长问题【例3】(1)直线x+ 3y 2 = 0与圆x2 +=4相交于A, B两点，则弦AB的长为.(2)设圆x2 + y2 2x 2y 2 = 0的圆心为C,直线I过(0,3)与圆C交于A, B两点，若AB| = 2 ,3则直线I的方程为()A. 3x+ 4y 12 = 0 或 4x 3y+ 9= 0B. 3x+ 4y 12= 0 或 x = 0C. 4x 3y+ 9 = 0 或 x= 0D. 3x 4y+ 12 = 0 或 4x+ 3y+ 9= 0(1)

13、2 3 QB (1) 圆x2 + y2= 4的圆心为点(0,0)，半径r = 2, a圆心到直线 x+ 3y 2 = 0 的距离1, a 弦长 |AB|= 2 4 1 = 23.(2) 当直线I的斜率不存在，即直线I的方程为x= 0时，弦长为23,符合题意；当直线I的斜率存在时，可设直线I的方程为y= kx+ 3,由弦长为2 3,半径为2可知，圆心到该直线的距离为1, 从而有= 1,解得k= 3综/k2+14上，直线I的方程为x= 0或3x+ 4y 12= 0,选B.?考法3直线、圆与相关知识的交汇【例4】(2015全国卷I )已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C: (x 2)2 +

14、(y 3尸=1交于M, N两点.(1)求k的取值范围；若OM ON= 12,其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知直线I的方程为y= kx+1.|2k 3+ 1|因为直线I与圆C交于两点，所以 2 1,寸1 + k24 74+ .7解得k0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2) 几何方法：若弦心距为d,圆的半径长为r，贝U弦长I = 2 r(1)过点(3,1)作圆(x 2)2+ (y 2)2=4的弦，其中最短弦的长为.(2)若直线I: x+ y= m与曲线C: y= 1 x2有且只有两个公共点，则 m的 取值范围是. 2 2 1,2)设 P(3,1)，圆心 C(2,

15、2)，则 |PC|= 2 半径 r= 2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2；22 2 2= 2 2. 画出图象如图，当直线I经过点A，B时，m= 1,此时直线I与曲线y= 1 x2有两个公共点，当直线I与曲线相切时， m二 2, 因此当K m 2时， 直线I: x+ y= m与曲线y=- ：1 x2有且只有两个公共点. d2.1. （2018全国卷川）直线x+ y+ 2= 0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点P 在圆（x-2）2 + y2= 2上，则 ABP面积的取值范围是（）A. 2,6B . 4,8C. 2, 3 2D. 2 2，3 2A 由题意知圆心的坐标为

16、(2,0)，半径r = .2,圆心到直线x + y+ 2 = 0的距离d=弓旦 =2么，所以圆上的点到直线的最大距离是 d+ r = 3迈，最小距W+1离是 d-r = 2.易知 A( 2,0)，B(0，- 2)，所以 |AB|= 2 2,所以 2 8abpW 6.故选A.2. (2018全国卷I )直线y= x+ 1与圆x2 + y2 + 2y 3= 0交于A, B两点，则|AB| =.2 2 由题意知圆的方程为x2 + (y+ 1)2 = 4，所以圆心坐标为(0, 1),半 径为2,则圆心到直线y=x+ 1的距离d = 121|= 2 ，所以 AB|= 222 . 22 =2 2.3. (

17、2016全国卷I )设直线y=x+ 2a与圆C: x2 + y2 2ay 2= 0相交于A,B两点，若AB|= 2质，则圆C的面积为.4 n 圆 C: x2 + y2 2ay 2= 0 化为标准方程是 C: x2 + (y a)2= a2 + 2,所以圆心C(0, a)，半径r = ；a2+ 2JAB|= 2 3,点C到直线y=x+ 2a即x y+ 2a=0的距离d =|0 丁司，由勾股定理得今2+ l0譽2 + 2, 解得a2= 2,所以r = 2,所以圆C的面积为nX 22 = 4 n .4. (2017全国卷川)在直角坐标系xOy中，曲线y=x2 + mx 2与x轴交于A, B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：(1) 能否出现AC丄BC的情况？说明理由；(2) 证明过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解(1)不能出现AC丄BC的情况.理由如下：设 A(x1,0), B(x2,0)，则 x1, x2 满足 x2 + m