课程论文：弹塑性力学广义变分原理

1、课程论文：弹塑性力学广义变分原理 弹塑性力学中的广义变分原理 课程论文 题目：广义变分原理在结构力学中的应用 姓名：储迅易 专业：工程力学 学号：131310040008 老师：邵国建 河海大学力学与材料学院 2014年4月1 日 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问

2、题。 关键字：变分法 弹性力学变分原理 柱体的扭转问题 1 概述 变分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。关于变分法的一般理论是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigor提出了最小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner

3、变分原理。 我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。1964年钱伟长提出用Lagranger乘子构造广义 分原理的方法。1964年Gurtin提出了线弹性动力学变分原理。1967年意大利学者Tonti提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，-位移、应变、应力及Beltrami应力函数都是变分变量。 2 变分法 变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对

4、。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。 在函数论中，自变量x对应着另一变量 自变函数y(x)对应着另一个函数 函数的广义函数。 自变函数y(x)的变分?y(x)所引起的泛函的增量，即： y，则变量y称为自变量x的函数y(x)。假如?y(x)?，则?y(x)?称为泛函。泛函是函数的函数，是 ?y(x)?y(x)?y(x)? 类似地，其可展开为线性项和非线性项 ?L?y(x),?y(x)?y(x),?y(x)?ymax 1 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 其中L是对?y(x)的线性泛函项，而?是非线性泛函项，是?y(

5、x)的同阶或高阶微量， ?y?0，同时?也趋近于零，这时泛函的增量等于?y(x)的线性部分当?y(x)?0时max L?y(x),?y(x)?，叫做泛函的变分，用?来表示。 ?y?0?y(x)?y(x)?y(x)?L?y(x),?y(x)? 所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分?y(x)来说是线性的。 求泛函 ?F(x,y,y)dx x1x2 在边界条件y(x1)?y1, y(x2)?y2下的极值。 ?=0的条件是： ?Fd?F?()?0 ?ydx?y 这个方程称为欧拉方程，就是说，泛函极值的积分方程转换成欧拉方程微分方程。 3 弹性力学中的变分原理 3.1广义势能泛函和广

6、义余能泛函 关于位移和应变（两类变量）的广义势能泛函： TTTT?* 2?2?A?d?fud?AE(?)ud? ? ?udB?E(n)A?(u-)dBT B2B1T 在该泛函中位移和应变是独立的自变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件，从而使得与变分原理相对应的数值计算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。 关于位移和应力(包括边界B1上的约束力p)的两类变量广义势能泛函： TTTT?* 2(u,?)?2?a?d?fud?a?E(?)ud? ? ?TudB?E(n)?(u-)dB B2B1 TTTTT?E(?)u?a?fud?udB?E(n)?(u-)dB2?B2B1TT

7、2 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner）：两类变量广义变分原理）弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函取驻值。 二类变量广义余能泛函： ?2(?,u)?V(?)d?E(?)?fTud? ? ?pTB?E(n)?TudB B1B2 对于线弹性体有 TT1?* 2(?u)?a?d?E(?)?fud? ? ?pTdB?E(n)?TudB B1B2 二类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应该使得上述二类变量的广义余能取驻值。 三类变量的广义势能泛函： ?3(u,?,?)?* ?U(?)d?fTud?T?ET(?)ud?

8、? ?TudB?E(n)?(u-)dB B2B1T 也称该H-Z泛函，是由胡海昌1954年和鹫津一郎1955年分别提出来。 在三类变量的广义势能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。 三类变量的广义势能原理（胡-鹫津变分原理）：弹性力学的精确解应使上述的广义势能?3取驻值。 三类变量的广义余能原理： TT?3?U(?)d?E(?)?+fud? ?E(n)?B?E(n)?-udB B1B2TT 在三类变量的广义余能中有三类自变函数?,?,u,它们都是独立的。三类变量的广义余能原理：弹性力学的精确解应使上述的广义余能取驻值。由三类变量的广义余能原理也可以得到弹性力学的所有方程和边界条件。 3

9、.2各种变分原理综述 3 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 4 待定边界泛函的变分问题 4.1 泛函为?xF(x,y,y?)dx的边界待定的变分原理 1x2 设泛函 ?F(x,y,y?)dx x1x2泛函的积分限x1及x2都可以是待定的，也可以一个x1为已给，而另一个x2为待定的。 在一般情形下，端点(y2,x2)不是独立的，它可以沿某一已给曲线如 y2?f(x2) （4-1） 而移动。于是，有y2?f?(x2)x2 极值条件 ?x1x2?Fd?F?F?F?()ydx?F?y?f?(x)x?x2x2?0 ?ydx?y?y?y? 从上式很容易看到，y(x)满足欧拉方程还不能使?达到零，除非在端

10、点x?x2上还满足补充条件 F?y? 所以，欧拉方程 ?F?F?f?(x)?0 (x?x2) （4-2） ?y?y? ?Fd?F?()?0 （4-3） ?ydx?y? 只有在始点定点条件 y1?y(x1)， （4-4） 终点待定条件（4-1）式和补充条件（4-2）式在一起时，泛函的极值问题，才有充分和必要的条件求解。在这三个条件中，有两个条件可用来决定待定积分常数c1和c2，第三个条件用来决定待定的端点坐标x2。 补充条件（4-2）式是一个函数y(x)的斜率y?(x)和已知端点曲线f(x)的斜率f?(x)之间的关系，我们称（4-2）式为交换条件（或贯截条件）。一般说来，满足定点条件（4-4）式

11、的欧拉方程（4-3）式的解中，尚有一个积分常数未定，或可以写成y?y(x,c1)。在利用了待定端点条件(4-1)式和补充条件（4-2）式之后，总能确定c1与x2这两个待定量，而在这样决定的一条曲线上，泛函必为极值。 如果边界点(x1,y1)也是待定的，也可以假定它能沿着一条曲线y1?g(x1)上移动，则在这一待定始点(x1,y1)上有下面的交接条件 4 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 F?(g?y?)?F?0 (x?x1) ?y 4.2 泛函?xF(x,y,z,y?,z?)dx的边界待定的变分原理问题 1x2 设泛函 ?F(x,y,z,y?,z?)dx x1x2 上限x2是待定的，变分为

12、?F?y? x2 x1?F?F?F?F?z?x?x2x2?|x?x2y2?|x?x2z2? ?y?z?y?z?Fd?F?Fd?F?()y?()zdx ?ydx?y?zdx?z? 按x2，y2，z2之间关系不同，有下列各种情况： （1）x2，y2，z2，y，z都是独立的 这是最一般情况，由?0给出欧拉方程 ?Fd?F?Fd?F?()?0 （4-5） ?()?0，?zdx?z?ydx?y? 同时给出x?x2处的边界条件 ?F?F?F?F|x?x2?0 （4-6） ?z?x?x2?0，|x?x2?0，?z?y?z?y? 于是可以利用欧拉方程（4-5）式，和极值曲线通过固定点(x1,y1,z1)的条件

13、和x?x2处的边界条件（4-6）式这三个边界条件，来决定本题的极值曲线和x2的待定值。 （2）边界点(x2,y2,z2)可以沿某一曲线y2?f(x2)，z2?g(x2)任意移动 ?0给出相同的欧拉方程 ?Fd?F?Fd?F?()?0 （4-7） ?()?0，?zdx?z?ydx?y? 同时给出x?x2处的补充边界条件 ?F?FF(f?y?)?(g?z?)x?x2?0 （4-8） ?y?z? 这也代表极值曲线和已给端点曲线y2?f(x2)，z2?g(x2)之间的交接条件。当从欧拉方程（4-7）式求解极值曲线时，它必须满足：在x1处通过固定点(x1,y1,z1)；在x2点满足y2?f(x2)，z2

14、?g(x2)；在x2点满足交接条件（4-8）式。 （3）边界点(x2,y2,z2)可以沿某一曲面?(x2,y2,z2)?0任意移动 由?0给出欧拉方程 ?Fd?F?Fd?F?()?0 （4-9） ?()?0，?zdx?z?ydx?y 同样，也给出了极值曲线和曲面?(x2,y2,z2)?0的交接条件 F?y? 5 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 ?F?F?x?F?(z?)x?x1?0?y?z?z?z? （4-10） ?F?y?F?x?x2?0?y?z?z? 当从（4-9）式中解出极值曲线时，其端点条件为：在x1处通过固定点(x1,y1,z1)；在x2点满足?(x2,y2,z2)?0；在x2点

15、满足交接条件（4-10）式。 不论那种情况，在待定端点x2上有三个独立的边界条件必须得到满足，在这个变分问题中，欧拉方程式（4-9）式有四个积分常数，其中两个由(x1,y1,z1)的固定边界条件决定，还有两个积分常数和x2值共有三个待定量由（4-10）两式与?(x2,y2,z2)?0等三个x2处F?y?的边界条件决定的。 当然，如果x1点也是可以移动的待定边界，其处理过程与上面所讨论的完全相似，这里就不再重复。 4.3 泛函?xF(x,y,y?,y?)dx的边界待定的变分原理问题 1x2 对泛函 ?F(x,y,y?,y?)dx x1x2 的极值问题，如果假定x1，x2已给不变，边界条件为待定的

16、情况，如果边界x1已给，为固定边界，且有 ? y(x1)?y1，y?(x1)?y1 而x2为待定的问题，这时?的变分可以写成 ?F?y?F?Fd?F?y?y?()x?x2x2?y?y?dx?y? ?Fd?F?F?()x?x2y2?|x?x2y2?y?dx?y?y? x2?Fd?Fd2?F?x1?y?dx(?y?)?dx2(?y?)ydx ?，y都是独立的，?0给出 如果x2，y2，y2 欧拉方程： ?Fd?Fd2?F?()?2()?0 ?ydx?y?dx?y? 补充边界条件： ?F?Fd?FF?y?y?y?()x?x2?0?y?y?dx?y?Fd?F?()x?x2?0? ?y?dx?y?F?0

17、?y?x?x2? 补充边界条件和固定边界条件加在一起，可以决定由解欧拉方程的极值曲线y?y(x,c1,c2,c3,c4,x2)中的五个待定量c1，c2，c3，c4，x2。 6 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 ?并不都是独立的，它们可能有各种各样的联系。 一般说来，x2，y2，y2 （1）点可以在曲线 （x2，y2） y2?(x2) （4-11） 上任意移动，于是有 y2?(x2)x2 ?Fd?F?F?F ? 得?F?(?y?)?()?y?x?x2x2?|x?x2y2 ?ydx?y?y?y ? x2x1 ?Fd?Fd2?F ?()?2()ydx ?ydx?y?dx?y? ?0时，给出欧拉方程

18、和有关边界条件 ?Fd?F?F F?(?y?)?()?y?|x?x2?0 （4-12） ?y?dx?y?y? ?F ?y? ?0 （4-13） x?x2 求解欧拉方程时，在x?x2端，仍有三个条件（4-11）式和（4-12）、（4-13）式。 （2）(x2，y2)点可以在曲线 y2?(x2) （4-14） ?为x2的另一函数 上任意移动，而且(x2，y2)点上的极值曲线的端点斜率y?(x2)?y2 ?(x2) （4-15） y2 这里应该注意，?(x2)并不一定等于?(x2)，也包括了?(x2)?(x2)的情况，于是有 ?(x2)x2 y2?(x2)x2，y2 ?得 消去y2，y2 ?Fd?F

19、?F ?F?(?y?)?()?(?y?)x?xx2? ?y?dx?y?y?2 ? xx1 2 ?Fd?Fd2?F?()?2()ydx ?ydx?y?dx?y? 当?0时给出欧拉方程和边界条件 ?Fd?F?F ?(?y)x?x2?0 （4-16） ?y?dx?y?y? 所以，求解欧拉方程时，在x?x2端，仍有三个条件，即（4-14）、（4-15）和（4-16）式。 ?之间的关系 （3）在(x2，y2)点上，也可以存在着某一种x2，y2，y2 ?)?0 （4-17） ?(x2,y2,y2 ?之间有关系 于是，x2，y2，y2 ?x2?y2?y?0 ?2?x2?y2?y2 ? ?0，则有 设?y2

20、?x?y ?2x2?2y2 y2 ?y2?y2 F?(?y?) 7 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 把（4-60）式代入（4-46）式中，得 ?F?y?x2?F?Fd?F?y?()?(y?)x? ?y2?x?x22?y?dx?y?y2 x2?F?y2?F?Fd?Fd?Fd2?F?()?x?x2y2?()?2()ydx x1?y?y?dx?y?y2?ydx?y?dx?y? 当?0给出欧拉方程（4-47）式和有关端点条件 ?x2?F?Fd?FF?y?y?()?(y?)?0 （4-18） ?y2?x?x2?y?dx?y?y2 ?y2?F?Fd?F?()?0 （4-19） ?y?x?x2?y?dx

21、?y?y2 这指出求解欧拉方程时，在x?x2端仍有三个条件，即（4-17）式、(4-18)式及（4-19）式。 5变分原理在结构力学中的应用柱体的扭转 5.1 柱体扭转的基本方程 图5.1柱体扭转 5.1.1变形假设 柱体扭转时，其横截面在原平面上的投影只有刚体转动、但允许有轴向的自由翘曲。如果取轴向为z轴，横截面为xy平面，在xOy?为单位长度的转角，?z为某个横截面的转角。平面内某一点在变形前后的位置分别为 图5.2横截面变形 x?rcos?, y?rsin? y?rsin(?) x?rcos(?),u?x?x?rcos(?)?rcos?rsin?sin?y? 8 弹塑性力学中的广义变分原

22、理课程论文 v?y?y?rsin(?)?rsin?rcos?sin?x? 其中?为该点变形前的角度，?z为该点转过的角度。因此位移场为 u?zy v?zx w?(x,y) 这里?(x,y)为自由翘曲函数，由此对应的应变为 ?x?y?z?0,?xy?0 ?xz?(?y) ?x?(?x) ?y?yz 对应的变形协调条件为 ?xz?yz?2? ?y?x 5.1.2 平衡方程 根据广义Hook定律，由于 ?x?y?z?0,?xy?0 从而有 ?x?y?z?0， ?xz?yz?0 ?x?y因此应力平衡方程只剩一个 5.1.3 边界条件 柱体两端边界上应用圣维南原理，有 T?(x?yz?y?xz)dS 其

23、中T为作用在柱体上的扭矩。 柱体两个侧面自由, 没有任何载荷, 那么应力边界条件为 ?xznx?yzny?0 其中(nx,ny)为侧面的外法线方向。 5.2 柱体扭转的应力函数解法 根据应力平衡方程 ?xz?yz?0 ?x?y 可以引进应力函数?(x,y)，也就是说假设 ?xz?G? ?y 9 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 ?yz?G? ?x 这样的?xz和?yz自动满足平衡方程。变形协调条件再结合弹性本构关系得到 ?xz?yz?2G? ?y?x 把用应力函数表示的应力代入该方程得到 ?2 也就是说, 应力函数应该满足Poisson方程。 由于柱体侧面是自由，根据应力边界条件 ?xznx

24、?yzny?0 dy,dsdx ds其中(nx,ny)为侧面边界(横截面的边界)的外法线方向 nx?ny? 图5.3外法线分量的计算 用应力函数表示的边界条件为 ?xznx?yzny?G? ?G?d?0ds?dx?dy?nx?G?ny?G?y?x?xds?yds? 由此得到沿着边界应力函数为常数 ?cons t ?0 更进一步, 如果横截面是单连通区域，可以令边界上 而不影响分析结果。 10 弹塑性力学中的广义变分原理课程论文 图5.4多连通区域 如果横截面是多连通区域，那么可以令外边界C上应力函数为零 ?0 而在内部每个边界Ci上应力函数满足 ?|C?Ki?const i 该边界条件和应力函

25、数所必须满足的泊松方程构成了微分方程的边值问题.当边界比较简单时(如圆和矩形截面), 可以直接求解。 在两个端面上的力等效边界条件为 T?(x?yz?y?xz)dS?G?(?x ?y)dS?x?y?(x?)?(y?)?G?2?dS?x?y? 应用Green公式得到 ?(x?)?(y?)?T?G?2?dS?G?dS?x?y? ?G?2?dS?G?i?1 nnCi(?y?dx?x?dy) ?G?2?dS?G?2KiAi i?1 式中Ai为内边界Ci所围成的面积（这里注意内边界的走向）。对于单连通区域情况下 T?J? 其中 J?2G?dS 我们称为扭转刚度。 5.3 柱体扭转的最小余能定理 扭转问题对应的应变余能 V?dz?0l?22Gdxdy 用应力函数表示的应变余能为 ll?2G?22 ?1?(?yz?xz)dS?2GS2S?x2)?y?2 ?)S d? 为了去除刚体位移,假设一个端面