医用物理学：CHAP08_振动和波

1、第八章第八章 振动和波振动和波 振动振动(vibration)：物体在某一位置附近作往复运动。：物体在某一位置附近作往复运动。 波动波动(wave motion)：振动的传播形成波动：振动的传播形成波动 分类分类 机械波机械波 电磁波电磁波 : 如水波、声波、超声波等；如水波、声波、超声波等； : 如无线电波、光波、如无线电波、光波、X射线、射线、 射线等。射线等。 广义地说，任何一个物理量在某个定值附近作往复变广义地说，任何一个物理量在某个定值附近作往复变 化，都可称为振动。化，都可称为振动。 振动状态的传播过程，振动状态的传播过程， 能量传播过程，能量传播过程， 信息传播过程。信息传播过程

2、。 8-1 振动 一、简谐振动方程 简谐振动简谐振动: 质点在弹性力质点在弹性力 (或准弹性力或准弹性力)作用下所作的振动作用下所作的振动 F = -kxF = ma x =Acos(t+) x =Asin(t+ ) : ? t+ : 相位相位 : 初相位初相位 A : 振幅振幅 弹簧振子系统的简谐振动方程弹簧振子系统的简谐振动方程 f =1/T x =Acos(t+2) =Acos(t+T)+ : 角频率角频率(或圆频率或圆频率) T=2 x m k a 2 2 d d t x a 2 m k x t x 2 2 2 d d 0 d d 2 2 2 x t x )sin( d d tA t

3、x v )cos( d d 2 2 2 tA t x a f T 2 2 二、简谐振动方程的建立 已知振动系统的已知振动系统的 k 和和 m 及初始条件，及初始条件， 初始条件：初始条件：t =0时，振子坐标时，振子坐标 x0，速度，速度v0 x =Acos(t+) x0 =Acos v0 = - Asin )sin( d d tA t x v 2 2 0 2 0 v xA )arctan( 0 0 x v m k 三、简谐振动的旋转矢量图示法 x =Acos(t+) (1) 取水平轴取水平轴Ox， (2) 由由O点引长度为点引长度为|A|的矢量的矢量A， 以匀角速以匀角速绕绕O逆时针旋转，逆

4、时针旋转， 初始与初始与Ox夹角夹角， (3) 矢量端点矢量端点P在在Ox轴上的投影轴上的投影 (4) x-t 曲线曲线 四、简谐振动的能量 振动过程中系统能量有两种形式：动能振动过程中系统能量有两种形式：动能Ek和势能和势能Ep 振子的总能量振子的总能量 E =Ek+Ep 弹簧振子系统的能量弹簧振子系统的能量 2 k 2 1 vmE )(sin 2 1 222 tAm 2 p 2 1 kxE )(cos 2 1 222 tAm 22 2 1 AmE 五、阻尼振动受迫振动共振五、阻尼振动受迫振动共振 1. 阻尼振动阻尼振动 振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动

5、。 阻尼振动应用：阻尼振动应用： 哺乳动物肢体关节摩擦力的测量哺乳动物肢体关节摩擦力的测量 脊椎动物的运动感觉：耳石的阻尼运动脊椎动物的运动感觉：耳石的阻尼运动 阻尼振动不是简谐振动，严格阻尼振动不是简谐振动，严格 地说它也不是周期性振动。地说它也不是周期性振动。 0为振动系统的固有角频率，为振动系统的固有角频率， 为阻尼因子。为阻尼因子。 22 0 2 T 振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动 2. 受迫振动受迫振动 振子同时受到三个力的作用：弹性力振子同时受到三个力的作用：弹性力(或准弹性力或准弹性力)、阻、阻 尼力、周期性外力。尼力、周期性

6、外力。 振动达到稳定状态，保持一定的振幅。振动达到稳定状态，保持一定的振幅。 式中式中Fm为外力幅值，为外力幅值，为外力角频率，为外力角频率，m是振子的质量。是振子的质量。 22222 0 m 4)( m F A 在受迫振动中，当周期性外力的在受迫振动中，当周期性外力的 角频率接近系统的固有频率时，角频率接近系统的固有频率时， 振动的振幅急剧增大，这种现象振动的振幅急剧增大，这种现象 叫做共振。叫做共振。 3. 共振共振 声音的共振声音的共振共鸣。共鸣。 (1) 发声的共鸣发声的共鸣(2) 听觉的共鸣听觉的共鸣 22222 0 m 4)( m F A 0 d d A 22 0r 2 22 0

7、m r 2 m F A 8-2 振动的合成和分解振动的合成和分解 一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成 x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2) x =x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2) x =Acos(t+) 式中式中 (1) =2-1=2k (k=0,1,2,) A=A1+A2 (2) =2-1=(2k+1) (k=0,1,2,) A=|A1-A2| 同频率简谐振动同频率简谐振动 cos2 21 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin arctan AA AA 二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同

8、方向不同频率简谐振动的合成 拍拍 (1) 振动曲线图解法求合成振动振动曲线图解法求合成振动 (a) 2=31, 初位相差初位相差2-1=0 (b) 2=31,初位相差初位相差2-1= 不再是简谐振动，但仍然是不再是简谐振动，但仍然是 周期性的振动，其频率与各周期性的振动，其频率与各 分振动中最低频率相同，其分振动中最低频率相同，其 振动的形式由分振动的频率、振动的形式由分振动的频率、 振幅和初相位而定。振幅和初相位而定。 (2) 拍的形成拍的形成 振幅、初相位相同，频率非常接近的两个振动的合成振幅、初相位相同，频率非常接近的两个振动的合成 x1=Acos(1t+)x2=Acos(2t+) x

9、=x1+x2 合振动的角频率为合振动的角频率为 合振动的振幅为合振动的振幅为 合振动的振幅随时间作合振动的振幅随时间作 缓慢的周期性变化，从缓慢的周期性变化，从 而出现振幅时大、时小，而出现振幅时大、时小， 这种现象叫做拍。这种现象叫做拍。 = |f2-f1| 其拍频其拍频 ) 2 cos() 2 cos(2 1212 ttA 2 12 21 2 F |)/2-( |2|2/ ) 2 (|22 12 12 ffFf | )cos(2| ) 2 cos(2| 12 tAtA 2 1 1 f 2 2 2 f 三、复杂振动的分解 (1) 傅立叶级数傅立叶级数 x =F(t) (2) 频谱分析频谱分析

10、 (3) 频谱分析在医学生物信频谱分析在医学生物信 号的处理方面的应用号的处理方面的应用 心电、脑电、超声多普勒血流信号分析、心电、脑电、超声多普勒血流信号分析、核磁共振成像核磁共振成像 等方面都有着广泛的应用。等方面都有着广泛的应用。 频谱图频谱图 方波的分解方波的分解 1 0 )sincos( n nn tnBtnAA 1 0 )cos( n nn tnAA 8-3 简简 谐谐 波波 一、波的产生和传播 1. 波的产生波的产生 振动在介质中的传播现象叫做波动振动在介质中的传播现象叫做波动, 机械振动在弹性介机械振动在弹性介 质中的传播，就形成了机械波。质中的传播，就形成了机械波。 机械波产

11、生条件机械波产生条件: (1) 波源波源, (2)弹性介质。弹性介质。 横波横波: 振动方向与振动的传播振动方向与振动的传播(即波的传播即波的传播)方向互相垂直方向互相垂直 纵波纵波: 振动方向与波的传播方向互相平行振动方向与波的传播方向互相平行 简谐波简谐波: 由简谐振动所产生的波由简谐振动所产生的波 2. 波速、波长和频率的关系波速、波长和频率的关系 (1) 频率：在波的传播过程中，介质中各质点振动的频率频率：在波的传播过程中，介质中各质点振动的频率 与波源振动的频率相同，用与波源振动的频率相同，用 f 表示。表示。 (2) 周期：一个完整的波通过空间某一点所需的时间，用周期：一个完整的波

12、通过空间某一点所需的时间，用 T表示，表示，T =1/ f 。 (3) 波长：在一个周期中，任一振动状态传播的距离，用波长：在一个周期中，任一振动状态传播的距离，用 表示。表示。 (4) 波速：振动状态传播的速度，用波速：振动状态传播的速度，用 u 表示。表示。 f T u 3. 波阵面和波线波阵面和波线 波源激发的波向各个方向传播，经过一定时间后，波到波源激发的波向各个方向传播，经过一定时间后，波到 达介质中某些点，那里的质点同时以相同的相位开始振达介质中某些点，那里的质点同时以相同的相位开始振 动。由这些点所连成的面，称为波阵面或波前。动。由这些点所连成的面，称为波阵面或波前。 在各向同性

13、的均匀介质中，波动在各个方向的传播速度在各向同性的均匀介质中，波动在各个方向的传播速度 是相同的，点波源产生的波阵面是一个不断扩大的球面，是相同的，点波源产生的波阵面是一个不断扩大的球面， 这种波称为球面波。如果波阵面是平面，则称为平面波。这种波称为球面波。如果波阵面是平面，则称为平面波。 代表波传播方向的线代表波传播方向的线 称为波线。各向同性称为波线。各向同性 均匀介质中，波阵面均匀介质中，波阵面 总是和波线垂直。总是和波线垂直。 二、惠更斯原理 惠更斯原理惠更斯原理: 介质中波前上各点都可以看作是新的波源，介质中波前上各点都可以看作是新的波源， 发出子波，这些子波的包迹就是新的波前。发出

14、子波，这些子波的包迹就是新的波前。 利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的传播利用惠更斯原理可以解释衍射、反射、折射等波的传播 问题。问题。 三、波动方程三、波动方程 (1) 波动方程波动方程 简谐波在均匀介质中沿简谐波在均匀介质中沿 x 轴正轴正 方向无衰减地传播，波速为方向无衰减地传播，波速为u， 故故P点点 t 时刻振动方程应为时刻振动方程应为O点点 t-x/u 时刻的振动方程时刻的振动方程 振动从振动从O点传到点传到P点需时间点需时间 x/u y =Acos(t-x/u)+ 因为因为 =2f =2/T, T=1/f, u =/T =f 描述波线上任意质点在任意时刻位移的方程描述波

15、线上任意质点在任意时刻位移的方程 若沿若沿 x 轴负方向传播，轴负方向传播， 设设O点振动方程点振动方程 yO=Acos(t+) y =Acos(t+x/u)+ )(2cos)(2cos x ftA x T t Ay (2) 波动方程的意义波动方程的意义 x =x0 , y =Acos(t-x/u)+ 振动方程振动方程 设设 x0=0, =0， ) 2 cos()(cos 00 x tA u x tAy ) 2 cos( 0 x tA tAycos t = t0 , 波形方程波形方程 设设 t0=0, =0，做出波形曲线做出波形曲线 t = t0 +T/4 时时, 此时此时x+/4处的质点的振

16、动状态处的质点的振动状态 t = t0 , t = t0 +T/4, ) 2 cos()(cos 00 t x A u x tAy ) 4 ( 2 cos 0 T t x Ay 2 2 cos 0 t x A 2 )4/(2 cos 0 t x Ay ) 2 cos( 0 t x A x Ay 2 cos 2 2 cos x Ay 四、波的能量和强度 介质的密度为介质的密度为，平面简谐波，平面简谐波y =Acos(t-x/u)+ 在任意坐标在任意坐标 x 处取体积元处取体积元 V， V 在在 t 时刻的动能时刻的动能 Ek 和势能和势能 Ep 为为 介质单位体积中波的能量介质单位体积中波的能量

17、, 称为波的能量密度称为波的能量密度, 单位单位: J m-3 平均能量密度平均能量密度 1. 波的能量波的能量 )(sin)( 2 1 222 k u x tAVE p E)(sin)( 2 1 222 u x tAV )(sin)( 222 pktotal u x tAVEEE )(sin 222 total u x tA V E w 22 2 1 Aw 2. 波的强度波的强度 单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能 量，称为波的强度或能流密度，用量，称为波的强度或能流密度，用 I 表示。表示。 单位单位: Wm-2 tSuAtSu

18、ES 22 2 1 w 22 2 1 uA tS E I S 五、波的衰减 (1) 平面波平面波 -dI=Idx 初始条件初始条件 x =0 , I=I0 ，I = I0e-x 比例系数比例系数 称为介质的吸收系数称为介质的吸收系数 被介质吸收被介质吸收, 能量减少。能量减少。 平面波通过厚度为平面波通过厚度为 dx 的一层介质后，减少的强度的一层介质后，减少的强度-dI (2) 球面波球面波 波阵面随传播的距离增大而扩大，使得通过单位波阵面随传播的距离增大而扩大，使得通过单位 面积的能量与面积反比例减少，进一步引起波的面积的能量与面积反比例减少，进一步引起波的 强度减弱。强度减弱。 球面波强

19、度与离波源距离的平方成反比球面波强度与离波源距离的平方成反比, x I I d d 2 2 0 0 r r II 8 - 4 波的干涉波的干涉 一、波的叠加原理一、波的叠加原理 当几列波在同一介质中传播时，无论它们是否相遇，当几列波在同一介质中传播时，无论它们是否相遇， 都各自保持自己原有的特性都各自保持自己原有的特性(如频率、波长、振动方向如频率、波长、振动方向 等等)，按自己原来的传播方向继续前进，而不受其他波，按自己原来的传播方向继续前进，而不受其他波 的影响。在相遇处任一质点的位移是各波在该点所引的影响。在相遇处任一质点的位移是各波在该点所引 起的位移的矢量和，这种波动传播的独立性，称

20、为波起的位移的矢量和，这种波动传播的独立性，称为波 的叠加原理。的叠加原理。 二、波的干涉 两列波的频率相同、振动方向相同、相位相同或相位两列波的频率相同、振动方向相同、相位相同或相位 差恒定，则它们相遇时，使得某些点的振动始终加强，差恒定，则它们相遇时，使得某些点的振动始终加强， 而另一些点的振动始终减弱而另一些点的振动始终减弱 或完全抵消，这种现象叫或完全抵消，这种现象叫 做波的干涉。做波的干涉。 能产生干涉现象的两列波能产生干涉现象的两列波 叫做相干波，相应的波源叫做相干波，相应的波源 叫做相干波源。叫做相干波源。 (1) 波的干涉现象波的干涉现象 (2) 波的干涉条件波的干涉条件 yO1 =A1cos(t+1) yO2 =A2cos(t+2) P点相遇点相遇 y1 =A1cos(t+1-2r1/)