大学物理学习资料：分子运动2

1、4-3 4-3 气体分子速度的统计分布律气体分子速度的统计分布律 l 统计规律性：统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组 成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力 学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但 是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气 体压强）体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规 律性称为律性称为统计规律性统计规律性

2、。 伽尔顿板说明统计规律的演示实验伽尔顿板说明统计规律的演示实验 伽尔顿板演示实验伽尔顿板演示实验 # 大量大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。 # 统计规律永远伴随涨落现象。统计规律永远伴随涨落现象。 一切与热现象有关的宏观量（如一切与热现象有关的宏观量（如P、T）的数值都）的数值都 是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给 定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差。定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全

3、 是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍 分布函数的概念。分布函数的概念。 l 速率分布函数速率分布函数 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N dNv表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子表示分布在此区间内的分子数占总分子 数的比率（或百分比）。数的比率（或百分比）。 $

4、dNv/N 是是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区的函数，在不同速率附近取相等的区 间，此比率一般不相等。间，此比率一般不相等。 $当速率区间足够小时（宏观小，微观大），当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dNv/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。 因此有因此有 或或 dvvf N dN v dvN dN vf 物理意义：速率在物理意义：速率在 v 附近，单位速附近，单位速 率区间的分子数占总分子数的比率。率区间的分子数占总分子数的比率。 f(v):速率分布函数速率分布函数 1 00 dvvf N dN N v 归一化条件 l 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 （一定条

5、件下，速率分布函数的具体形式）（一定条件下，速率分布函数的具体形式） 在平衡态下，当气体分子间的相互作用可在平衡态下，当气体分子间的相互作用可 以忽略时，分布在任一速率区间以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子的分子 数占总分子数的比率为数占总分子数的比率为 dvve kT m N dN kT mv v2 2 2 3 2 2 4 2 2 2 3 2 2 4ve kT m vf kT mv 麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速的小窄条面积等于分布在此速 率区间内的分子数占总分子数的比率率区间内的分子数占总分子数的比率d

6、Nv/N 。 & 麦克斯韦率度分布曲线麦克斯韦率度分布曲线 vPv v+dv 面积= dNv/N f(v) v f(vP) & 最可几速率与最可几速率与 f(v)极大值对应的速率。极大值对应的速率。 物理意义物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的：若把整个速率范围划分为许多相等的 小区间，则分布在小区间，则分布在 vP所在区间的分子数比率最大。所在区间的分子数比率最大。 令令 解得解得 当当 v = vp时时 0 dv vdf RT m kT vp 22 1 2 1 8 e kT m vf p & vp 随随 T 升高而增大，随升高而增大，随 m 增大而减小。增大而减小。 & 可讨论可讨论

7、 T 和和 m 对速率分布的影响。对速率分布的影响。 p vvv 2 讨论分布 研究碰撞 计算平动能 &平均速率平均速率 和方均根速率和方均根速率 dvvvf N dN vNvv v N i i 0 RT m kT v 88 dvvfv N dN vNvv v N i i 0 2222 m kT v 3 2 RT m kT v 33 2 dvvfvgvg 0 v 2 v l 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时， 速度分量速度分量vx在区间在区间vxvx+dvx，vy 在区间在区间vyvy+dvy，vz

8、在在 区间区间vzvz+dvz内的分子数占总分子数的比率为内的分子数占总分子数的比率为 为麦克斯韦速度分布函数。为麦克斯韦速度分布函数。 dvx、dvy、dvz为速度空间的一个体积元。为速度空间的一个体积元。 zyx kTvvvm vvv dvdvdve kT m N dN zyx zyx2 2 3 222 2 kTvvvm zyx zyx e kT m v ,v ,vf 2 2 3 222 2 速度空间的概念速度空间的概念 表示分子的速度表示分子的速度 以其分量以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空

9、间为速度空间。 麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度 空间体积元空间体积元 dvxdvydvz 中的分布情况。中的分布情况。 可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。 v 4-4 4-4 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 麦氏速度分布律为麦氏速度分布律为 其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能 zyx kTvvvm vvv dvdvdve kT m N dN zyx zyx2 2 3 222 2 Kzyx mvvvv m 2222 2 1 2 相应于分子不受外力场的影响，只考虑分子相应于分子不受外力场的影响，

10、只考虑分子 在速度空间体积元在速度空间体积元dvxdvydvz 中的分布情况中的分布情况。 对于更一般的情形，如在外力场对于更一般的情形，如在外力场 中的气体分子的分布将如何？中的气体分子的分布将如何？ 玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广 用用 代替代替 用用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构成的六维空间中的体为轴构成的六维空间中的体 积元积元 dxdydzdvxdvydvz 代替速度空间的体积元代替速度空间的体积元dvxdvydvz 分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的 分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。分布却是不均匀的，依赖于

11、分子所在力场的性质。 PK K 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 （玻尔兹曼分子按能量分布定律）（玻尔兹曼分子按能量分布定律） 当系统在力场中处于平衡态时，当系统在力场中处于平衡态时， 其中坐标介于区间其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内， 同时速度介于同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内内 的分子数为的分子数为 zyx kT dvdvdxdydzdve kT m ndN PK 2 3 0 2 0Pn0为在为在 处，单位体积处，单位体积 内具有各种速度的分子总数。内具有各种速度的分子总数。 求单位体积分子数求单位体积分子数n n 将玻尔兹曼分布率积分将玻尔兹曼分布率积分, ,有有 重力场中粒子按高度的分布（重力场中粒子按高度的分布（ ） dxdydzen dvdvdve kT m dxdydzenNd kT zyx kTkT P KP 0 2 3 0 2 kT P en dxdydz Nd n 0 mgh P RTghkTmgh enenn 00 等温大气压