大学物理学习资料：1-4力-4

1、1 证明证明: 依题意作右图所示依题意作右图所示,由定义求得由定义求得: yx 22 222 z IIdmydmx dm)yx(dmrI 第四章第四章 刚体的运动规律刚体的运动规律 4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴的转动惯量对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交等于绕平面内与该垂直轴相交 的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即即 Iz=Ix+Iy z x y dm x y r 4-2 4-2 计算由三根质量均为计算由三根质量均为m m长为长

2、为l l的均匀细杆组成的正三角形的均匀细杆组成的正三角形 绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量. 2 解：解： OAOA相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: : 2 3 1 1 mlI OBOB相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: :2 3 1 2 mlI ABAB相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: : 222 3 ml 4 5 ) l 2 3 (mml 12 1 I 总的转动惯量为总的转动惯量为: : 2 2 3 321 mlIIII l l 2 3 O O A AB B l l 4-3 4-3 一半圆形均匀细杆，

3、其半径为一半圆形均匀细杆，其半径为R R，质量为，质量为m m，如图所示，试，如图所示，试 求细杆对过圆形圆心和端点的轴求细杆对过圆形圆心和端点的轴AAAA的转动惯量的转动惯量. . r R d A Rddl A Rd)sinR(dmrdI 2 解解: : 2 3 0 23 mR 2 1 2 R dsinRdII 3 0 R r dr FR 3 2 dMM dNrdM rdr2 R F dN R 0 2 解解： F4 mR3 MmR 2 1 t t )mR 2 1 (IM 0 0 2 0 2 又又 4-4 4-4 以垂直于盘面的力以垂直于盘面的力F F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，将一粗

4、糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 使其制动使其制动, ,如图所示如图所示. .飞轮可以看作是质量为飞轮可以看作是质量为m m、半径为、半径为R R的匀质圆的匀质圆 盘盘, ,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为盘面与粗糙平面间的摩擦系数为, ,轴的粗细可略轴的粗细可略, ,飞轮的初始飞轮的初始 角速度为角速度为 .(1).(1)求摩擦力矩求摩擦力矩.(2).(2)经过多长时间飞轮才停止转动？经过多长时间飞轮才停止转动？ 4-5 4-5 如图，两物体的质量分别为如图，两物体的质量分别为m m1 1 和和m2m2，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为I I， 半径为半径为R R。(1)(1)如果如果m m2 2

5、与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度a a 及绳中张力及绳中张力T T1 1和和T T2 2 .(2).(2)如果如果m m2 2与桌面之间的摩擦系数为与桌面之间的摩擦系数为 , ,求系求系 统的加速度和统的加速度和及绳中张力及绳中张力T T1 1和和T T2 2 . .绳子与滑轮间没有相对滑动。绳子与滑轮间没有相对滑动。 4 4-54-5解：解： (1)(1)如图所示分为三个隔离体求解。如图所示分为三个隔离体求解。 R a IR)TT( amT amTgm 21 22 111 )mm R I ()m R I (gmT )mm R I (gmmT )mm R

6、 I (gma 21 2 2 2 11 212212 2121 (2) R a IR)TT( amgmT )gmgm( amTgm 21 222 21 111 时时 m2 T2 I T1 m1 )mm R I ()mm R I ( gmT )mm R I (gm) R I mm(T )mm R I (g )mm(a 21221 2 11 2122 2 212 21221 5 4-6 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理. 解解: 刚体饶定轴转动角速度为刚体饶定轴转动角速度为 ,角加速度为角加速度为 ,转动惯量转动惯量 为为Iz ,外力

7、对定轴外力对定轴z的力矩为的力矩为Mz,转动定律数学表达式转动定律数学表达式: z dt d IIM zzz 而力矩的功而力矩的功: 2 0z 2 z zzz I 2 1 I 2 1 d Idt dt d IdMw 0 力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理. 4-7 4-7 如图所示，有一个半径为如图所示，有一个半径为R R=0.2=0.2米，质量米，质量m m1 1=2.5=2.5千克的匀质千克的匀质 圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳 上缀一个质量上缀一个质量m m2

8、2=0.51=0.51千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从 静止开始，在静止开始，在2 2秒之内所作的功和秒之内所作的功和2 2秒时物体秒时物体m m2 2的动能。的动能。 6 解解: : m2 R m1 R v MR 2 1 mRvLmgRtmgRdt 2 2 M m mgt v J2 . 8) 2 M m mgt (m 2 1 mv 2 1 E 22 m,k )J(2 .20) m2M mgt (M) R v )(MR 2 1 ( 2 1 I 2 1 WRT 2222 4-8 4-8 有一线绕圆盘半径为有一线绕圆盘半径为R R、质量为质量为m m在其重量

9、作用下滚落在其重量作用下滚落, ,显显 得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落h h高度时的转动高度时的转动 动能和质心速度动能和质心速度? ? 解解: : 质心运动定理质心运动定理 质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理 C maTmg dt d mR 2 1 TR 2 7 g 3 2 aC gh 3 4 vC m R gm T RaC dt d mgh 3 1 ) R v ( I 2 1 E 2C kC 角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点 RvC 解解法法2： ）（ 初初末末 1 )I 2 1 I

10、 2 1 ( 2 C 2 C i ikikC i iCi )EE(rdTrdF 内内初初内内末末 末末 初初 边边 末末 初初 外外 ）（ 初初末末初初末末 末末 初初 末末 初初 外外 2 )EE()mv 2 1 mv 2 1 (rdTrdF CpCp 2 C 2 CCO i COi 0rmdg)rm(dgrdgm CCiC i i i iCi 末末 初初 末末 初初 末末 初初 两式相加两式相加 2 CC 2 C I 2 1 mghmv 2 1 0 末末末末 8 gh 3 4 vC mgh 3 1 ) R v ( I 2 1 E 2C kC 2 C 22 C 2 C 22 C RvRv 末

11、末末末 在惯性系中绳张力不作功。在惯性系中绳张力不作功。 解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时, ,重力作功，有重力作功，有 22 )a2(m 3 1 2 1 mgamghW avc 细杆脱落后细杆脱落后, ,质心满足：质心满足： 2 gt 2 1 h 而棒绕质心转动而棒绕质心转动, ,角动量守恒角动量守恒, ,所以所以 不变不变 N2t 解得：解得： 2 1 ) a h3 ( 2 1 N h A BC C 4-9 4-9 长为长为2 2a a的匀质细杆的匀质细杆ABAB，以铰链固结于，以铰链固结于A A点，起初使杆在水平点，起初使杆在水平 位置，当

12、放开位置，当放开B B端，棒绕端，棒绕A A点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自 动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛 物线，而棒本身则绕质心物线，而棒本身则绕质心C C转动，试求当它的质心从转动，试求当它的质心从C C位置下位置下 降降h h距离时（如图所示），棒共转了多少转？距离时（如图所示），棒共转了多少转？ 9 A A B B 解：以知解：以知 1 1=2=2 n n接合过程中接合过程中, ,摩擦属内力摩擦属内力, ,又又 无其他外力矩，角动量守恒无其他外力矩，角动量守恒I I1 1 =

13、 (I = (I1 1+I+I2 2) ) 所以所以200n II I 2 n 1 21 1 （转（转/ /分）分） )J(1032. 1 II I nI2)II ( 2 1 I 2 1 E 4 21 22 1 2 1 2 21 2 11 4-10 4-10 两个飞轮两个飞轮A A和和B B可以接合起来，使它们以相同的转速一起转可以接合起来，使它们以相同的转速一起转 动。以知动。以知ABAB两飞轮的轴在同一直线上，两飞轮的轴在同一直线上，A A轮的转动惯量为轮的转动惯量为 I I1 1=10 =10 千克千克米米2 2 ，B B轮的转动惯量为轮的转动惯量为 I I2 2=20=20千克千克米米

14、2 2，开始时，开始时A A以转速以转速 n n1 1=600 =600 转转分分-1 -1 匀速转动， 匀速转动，B B轮静止轮静止. .求（求（1 1）两轮接合后的转速）两轮接合后的转速: : （2 2）结合过程中机械能的损耗。）结合过程中机械能的损耗。 4-11 4-11 质量为质量为m mA A和和m mB B, ,半径为半径为R RA A和和R RB B的两个圆盘同心地粘在一起的两个圆盘同心地粘在一起, ,小小 圆盘边缘绕有绳子圆盘边缘绕有绳子, ,上端固定在天花板上上端固定在天花板上, ,大圆盘也绕有绳子大圆盘也绕有绳子, ,下下 端挂以质量为端挂以质量为m m的物体的物体, ,如

15、图所示如图所示. .求求(1)(1)要使圆盘向上加速、向下要使圆盘向上加速、向下 加速加速, ,静止或匀速运动的条件静止或匀速运动的条件?(2)?(2)在静止条件下两段绳中的张力在静止条件下两段绳中的张力. . 轴处摩擦和绳的质量忽略轴处摩擦和绳的质量忽略. .绳与滑轮之间没有相对滑动发生绳与滑轮之间没有相对滑动发生. . 10 解：圆盘的运动属于纯滚动解：圆盘的运动属于纯滚动. .小圆盘与绳的切小圆盘与绳的切 点点OO为为 瞬时轴，则有：瞬时轴，则有： BBABA gR)mm()RR(T BBABA gR)mm()RR(mg (1) (1) 圆盘静止或匀速运动圆盘静止或匀速运动, ,则则m

16、m也匀速运动或也匀速运动或 静止静止 , ,则有则有T = mg T = mg BBABA gR)mm()RR(mg 当当 O O R RB B R RA A O O (m(mA A+m+mB B)g)gT T TT 圆盘向上加速运动圆盘向上加速运动 BBABA gR)mm()RR(mg 当当 圆盘向下加速运动圆盘向下加速运动 (2) (2) 在静止条件下将圆盘和物体在静止条件下将圆盘和物体m m视为一整体，则视为一整体，则: : T=(m+mT=(m+mA A+m+mB B) )g g 物体物体m m静止则有静止则有: T=mg: T=mg m m T T mgmg 11 )N( 3 .37

17、)ag(mT 22 amTgm 222 mafT1 r a )rm 2 1 (r )TT( 2 112 R a )mR 2 1 (fR 2 解解: m R r 1 T 1 T 2 T 1 m 2 m f gm 2 2 T 联立以上各式可解联立以上各式可解)sm(33. 2 )m 2 1 m 2 3 m( gm a 2 12 2 )N(35ma 2 3 T 1 4-12 4-12 一质量一质量m m=10=10千克千克, ,半径为半径为R R=0.20=0.20米的圆柱体，用绳子系住米的圆柱体，用绳子系住 它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量m m1 1 =2 =2千

18、克，半径千克，半径r r =0.1 =0.1米米 的定滑轮，在绳的下端悬一质量的定滑轮，在绳的下端悬一质量m m2 2=5.0=5.0千克的重物。设绳长不变千克的重物。设绳长不变 ，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮间无相对，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮间无相对 滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：( (1 1) )重物的加速度重物的加速度( (2 2) )绳绳 中张力中张力T T1 1 和和T T2. 2. 12 )amml 3 1 ( 2 1 )cos1(gam)cos1( 2 l mg 22 解：碰撞中，由于轴处有突变力，

19、系统动解：碰撞中，由于轴处有突变力，系统动 量不守恒。而角动量守恒：量不守恒。而角动量守恒： )maml 3 1 (avm 22 0 联立可解联立可解 22 22 2 0 am )amml 3 1 )(gam 2 l mg)(cos1(2 v )sm(186v 1 0 碰后绕定轴转动，机械能守恒碰后绕定轴转动，机械能守恒 4-13 4-13 一根长为一根长为 l l 、质量为、质量为m m的均匀细杆可绕其一端的水平轴的均匀细杆可绕其一端的水平轴O O 自由摆动。当被一发质量为自由摆动。当被一发质量为mm的子弹在离的子弹在离O O点的点的a a处水平方向击处水平方向击 中后，子弹埋入杆内，杆的最

20、大偏转角为中后，子弹埋入杆内，杆的最大偏转角为 ，求子弹的初速度，求子弹的初速度 。已知。已知 l l =1.0=1.0米，米，m m =2=2千克，千克，mm =20 =20千克，千克，a a=0.7=0.7米，米， = =6060o o m, v0 l a m 13 m m o l 解：下摆（定轴转动）能量守恒，解：下摆（定轴转动）能量守恒， 22 )ml 3 1 ( 2 1 2 l mg vlm)ml 3 1 ()ml 3 1 ( 22 22222 vm 2 1 )ml 3 1 ( 2 1 )ml 3 1 ( 2 1 gl3 2 1 v mm 碰时角动量守恒碰时角动量守恒 碰时能量守恒：

21、碰时能量守恒： 4-14 4-14 质量为质量为m m长为长为l l的匀质细杆，可绕端点的匀质细杆，可绕端点O O的固定水平轴转动，的固定水平轴转动， 把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平 桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且 碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度v v。 14 其它力均过质心其它力均过质心 amNfgmF 惯惯 aR dt d dt d mR 2 1 fR

22、 2 在在质质心心系系中中 mafmA 在在水水平平方方向向AmF 惯惯 相对于木板纯滚动相对于木板纯滚动, ,圆柱体边缘的线速度圆柱体边缘的线速度aa与角速度的关系与角速度的关系 解：在如图所示木板非惯性系中，圆解：在如图所示木板非惯性系中，圆 柱体质心运动方程：柱体质心运动方程： mama 2 1 mA A 3 2 a 圆柱体相对于地面的加速度圆柱体相对于地面的加速度a a为为 A 3 1 AA 3 2 a N f R x y N gm f A R 惯惯 F x y x y 4-154-15一个质量为一个质量为m m，半径为半径为R R的匀质圆柱体，在一块以加速度的匀质圆柱体，在一块以加速度A A运运 动的木板