最详细复利和年金计算推导

1、最详细复利和年金计算推导 复利和年金的计算推导 超级详细版 最详细复利和年金计算推导 作者寄语作者寄语 在你开始阅读这个在你开始阅读这个PPTPPT之前，我有些话要先之前，我有些话要先 对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复对读者你讲一讲，关于资金时间价值的复 利和年金的计算和推导，涉及的数学知识利和年金的计算和推导，涉及的数学知识 其实很简单，只是由于数据庞大，因此让其实很简单，只是由于数据庞大，因此让 很多人望而却步，因此一定要耐下性子进很多人望而却步，因此一定要耐下性子进 行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接行计算，这个幻灯片应该说是财务基础接 近零的人都可以看会的，关键是要静下心，近零的

2、人都可以看会的，关键是要静下心， 一个字一个字的读完，这样才能把这一部一个字一个字的读完，这样才能把这一部 分知识彻底领悟到，祝你们成功！分知识彻底领悟到，祝你们成功！ 最详细复利和年金计算推导 字母的含义 i i报酬率或利率报酬率或利率 n n期数期数 A A每期投入或支付的相同金额，在普通年金每期投入或支付的相同金额，在普通年金 中也叫偿债基金中也叫偿债基金 F FFutureFuture终终 P PPresentPresent现现 V VValueValue值值 I I系数系数 最详细复利和年金计算推导 一、复利的计算 1 1、复利的终值、复利的终值 2 2、复利的现值、复利的现值 最详

3、细复利和年金计算推导 1、复利的终值 复利的终值：就是一些复利的终值：就是一些 钱过钱过n n期之后利滚利的最后期之后利滚利的最后 所得总额。所得总额。 1、复利的终值总结 计算公式：计算公式：FVn=PVn(1+i)n 注：注：(1+i)n就是传说中的复利终值系数就是传说中的复利终值系数：FVIFi,n=(1+i)n 因此，复利终值计算公式又可以写成因此，复利终值计算公式又可以写成FVn=PVn FVIFi ,n 最详细复利和年金计算推导 2、复利的现值 复利的现值：就是利滚复利的现值：就是利滚 利过利过n n期后能拿到的一些钱期后能拿到的一些钱 在现在值多少钱。在现在值多少钱。 2、复利的

4、现值总结 计算公式：计算公式：PVn=FVn 就是传说中的复利就是传说中的复利现现值系数值系数：PVIFi,n= 因此，复利现值计算公式又可以写成因此，复利现值计算公式又可以写成PVn=FVn PVIFi ,n 1 (1+i)n 1 (1+i)n 注：注： 1 (1+i)n 最详细复利和年金计算推导 二、年金的计算 1 1、普通年金、普通年金 2 2、即付年金、即付年金 3 3、递延年金、递延年金 4 4、永续年金、永续年金 最详细复利和年金计算推导 1、普通年金 普通年金：又叫后付年金，普通年金：又叫后付年金， 是指各期期末收付的年金。是指各期期末收付的年金。 AAAAAAAAA 总共总共n

5、 n期期 最详细复利和年金计算推导 （1）普通年金终值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A在第在第n n期期末期期末 （也就是线段最右端点）的终值总和。（也就是线段最右端点）的终值总和。 推导：推导： FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 =A t=1 n (1+i)t-1 到这一步如果你看得懂，你很聪明！到这一步如果你看得懂，你很聪明！ 最详细复利和年金计算推导 （1）普通年金终值 刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式 计算公式：计算公式：FVAi,n = A t=1 n (1+i)t-1 就是传说中的就是传说中的年金年金终值

6、系数终值系数：FVIFAi,n= 注：注： t=1 n (1+i)t-1 t=1 n (1+i)t-1 因此，年金终值计算公式又可以写成因此，年金终值计算公式又可以写成 FVAi,n=A FVIFAi,n 最详细复利和年金计算推导 （1）普通年金终值 看到这里，是不是有点晕头转向了呢？看到这里，是不是有点晕头转向了呢？ 将计算公式：将计算公式：FVAi,n = A t=1 n (1+i)t-1变形，变形， 等号两端同时乘以等号两端同时乘以(1+i)，得到下式：，得到下式： FVAi,n(1+i)= A t=1 n (1+i)t等比数列求和啊！等比数列求和啊！ =A 1-(1+i) 1-(1+i

7、)n =A i (1+i)n+1 -1 (1+i)(1+i) 最详细复利和年金计算推导 （1）普通年金终值 这样，只要在等号两端再同时除以这样，只要在等号两端再同时除以(1+i)(1+i)，就又，就又 诞生了一个变形后的公式诞生了一个变形后的公式 计算公式：计算公式：FVAi,n=A i (1+i)n+1 -1 这样，年金这样，年金终值系数终值系数就变成了就变成了：FVIFAi,n= i (1+i)n+1 -1 最后敲定普通年金终值计算公式为最后敲定普通年金终值计算公式为FVAi,n=A i (1+i)n+1 -1 （1）普通年金终值总结 我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结我们对普通年金

8、终值的计算公式进行如下总结 FVAi,n =A t=1 n (1+i)t-1=A FVIFAi,n =A i (1+i)n+1 -1 最详细复利和年金计算推导 （2）普通年金现值 说白了，就是计算让每次投入的说白了，就是计算让每次投入的A A退回到第一期退回到第一期 期初（也就是线段最左端点）的现值总和。期初（也就是线段最左端点）的现值总和。 推导：推导：PVAi,n=A 1 (1+i) +A 1 (1+i)2 + A 1 (1+i)3 + +A =A t=1 n 1 (1+i)t 1 (1+i)n 最详细复利和年金计算推导 （2）普通年金现值 刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式

9、 PVAi,n=A t=1 n 1 (1+i)t 注：注： t=1 n 1 (1+i)t 就是传说中的就是传说中的年金现年金现值系数值系数：PVIFAi,n= t=1 n 1 (1+i)t 因此，年金现值计算公式又可以写成因此，年金现值计算公式又可以写成 PVAi,n=A PVIFAi,n 最详细复利和年金计算推导 （2）普通年金现值 PVAi,n=A t=1 n 1 (1+i)t =A 1- 1+i 11+i 1 1- (1+i)n 1 =A i 1- (1+i)n 1 我们将继续利用等比数列求和公式分解我们将继续利用等比数列求和公式分解 最详细复利和年金计算推导 （2）普通年金现值 这样，

10、又诞生了一个变形后的公式这样，又诞生了一个变形后的公式 计算公式：计算公式：PVAi,n=A i 1- (1+i)n 1 这样，年金现这样，年金现值系数值系数就变成了就变成了：PVIFAi,n= i 1- (1+i)n 1 最后敲定普通年金现值计算公式为最后敲定普通年金现值计算公式为PVAi,n=A i 1- (1+i)n 1 （1）普通年金现值总结 我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结我们对普通年金终值的计算公式进行如下总结 PVAi,n=A t=1 n 1 (1+i)t =A PVIFAi,n =A i 1- (1+i)n 1 最详细复利和年金计算推导 2、即付年金 即付年金：又叫先付

11、年金，即付年金：又叫先付年金， 或预付年金，是指各期期初预或预付年金，是指各期期初预 付的年金。付的年金。 AAAAAAAAA 总共总共n n期期 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A在第在第n n期期末期期末 （也就是线段最右端点）的终值总和。（也就是线段最右端点）的终值总和。 推导：推导： XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n =A t=1 n (1+i)t 还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了还记得普通年金的终值吗？它仅仅是指数变成了t-1 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 刚才

12、的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式 计算公式：计算公式：XFVAi,n =A t=1 n (1+i)t 我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的我们先不要急着求和，看看即付年金和普通年金的 计算公式如何转化。计算公式如何转化。 A t=1 n (1+i)t和和 A t=1 n (1+i)t-1之间的转化之间的转化即即 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 暂时把暂时把A A抛在一边，看这两个求和抛在一边，看这两个求和 t=1 n (1+i)t t=1 n (1+i)t-1 =(1+i)+(1+i)2+(1+i)n =1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1 很明显很

13、明显 t=1 n (1+i)t= t=1 n (1+i)t-1 (1+i) 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 所以，所以， XFVAi,n = FVAi,n (1+i) 这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终这一步告诉我们，即付年金终值是普通年金终 值的值的(1+i)(1+i)倍，在财务上可以理解为多计算了一期的倍，在财务上可以理解为多计算了一期的 终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化终值，因此，在计算即付年金终值时，通常是转化 为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的，为普通年金终值，并查阅年金终值系数表而确定的， 而年金终值系数表本身就是普通年金的终值系数，而年金

14、终值系数表本身就是普通年金的终值系数， 因此这里的公式就显得尤为重要。因此这里的公式就显得尤为重要。 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。现在我们来对即付年金终值进行等比数列求和。 XFVAi,n =A t=1 n (1+i)t=A 1-(1+i) 1-(1+i)n (1+i) =A i (1+i)n+1-(1+i) =A i (1+i)n+1-1 -A =A i (1+i)n+1-1 -1 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 不知道大家是否清楚我为什么要把不知道大家是否清楚我为什么要把A A后面的部分整个括后面的部分整个括 起来，

15、聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好。起来，聪明的人应该明白，要把它看成系数，恩，很好。 i (1+i)n+1-1 是什么？再次回想普通年是什么？再次回想普通年 金终值，看出来没？金终值，看出来没？ 是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是是的，我知道你看出来了！中括号里的内容就是 n+1期的普通年金终值系数期的普通年金终值系数FVIFAi,n+1 最详细复利和年金计算推导 （1）即付年金终值 我们再次把公式写出来看看我们再次把公式写出来看看 XFVAi,n = FVAi,n+1-A 可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实，可以再次从财务角度来解释一下这个公式，其实， n n期即付

16、年金的终值就是期即付年金的终值就是n+1n+1期普通年金的终值去掉一期普通年金的终值去掉一 期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值期的偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金终值 也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系也有系数，那么即付年金终值系数比普通年金终值系 数的期数多数的期数多1 1期，但是系数值少期，但是系数值少1 1。 （1）即付年金终值总结 最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结最后，我们把即付年金终值的所有公式进行总结 XFVAi,n =A t=1 n (1+i)t=A i (1+i)n+1-1 -A = FVAi,n (1+i) = FVAi,n+1-A 最

17、详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 说白了，就是计算每次投入的说白了，就是计算每次投入的A A退回到第一期期初退回到第一期期初 （也就是线段最左端点）的现值总和。（也就是线段最左端点）的现值总和。 推导：推导：XPVAi,n=A+A 1+i 1 +A (1+i)2 1 + A (1+i)n-1 1 =A t=1 n (1+i)t-1 1 还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了还记得普通年金的现值吗？同样仅仅是指数变成了t-1 最详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 刚才的结论是下面这个公式刚才的结论是下面这个公式 计算公式：计算公式：XPVAi,n 我们先不要急着求和，和计

18、算终值的时候一样，看我们先不要急着求和，和计算终值的时候一样，看 看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。看即付年金和普通年金的计算公式如何转化。 A t=1 n 和和 A t=1 n 之间吧！之间吧！即即 =A t=1 n (1+i)t-1 1 (1+i)t 1 (1+i)t-1 1 最详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 暂时把暂时把A A抛在一边，看这两个求和抛在一边，看这两个求和 t=1 n t=1 n (1+i)t 1 (1+i)t-1 1 = = (1+i) 1 (1+i)2 1 + (1+i)n 1 (1+i) 1 (1+i)2 1 + (1+i)n-1 1 很明显很明显

19、t=1 n t=1 n (1+i)t 1 (1+i)t-1 1 =(1+i) 最详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 所以，所以， XPVAi,n = PVAi,n (1+i) 这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年这一步同样告诉我们，即付年金现值是普通年 金现值的金现值的(1+i)(1+i)倍，在财务上可以理解为少计算了一倍，在财务上可以理解为少计算了一 期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是期的现值，因此，在计算即付年金现值时，通常是 转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确转化为普通年金现值，并查阅年金现值系数表而确 定的，而年金现值系数表本身就是普通年金的现值定的，而

20、年金现值系数表本身就是普通年金的现值 系数，因此这里的公式就显得尤为重要。系数，因此这里的公式就显得尤为重要。 最详细复利和年金计算推导 现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。现在我们来对即付年金现值进行等比数列求和。 （2）即付年金现值 XPVAi,n t=1 n (1+i)t-1 1 =A =A 1- (1+i) 1 1- (1+i)n 1 1= A i 分子分母同乘分子分母同乘(1+i)(1+i) 1- (1+i)n-1 1 +A 最详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 如果把如果把A A提到外面来，另一边将变成什么？提到外面来，另一边将变成什么？ XPVAi,n= A i 1

21、- (1+i)n-1 1 +1 回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以回忆一下普通年金现值系数，可知，中括号里就可以 变成变成 PVIFAi,n-1+1 了。了。 最详细复利和年金计算推导 （2）即付年金现值 我们再次把公式写出来看看我们再次把公式写出来看看 XPVAi,n= PVIFAi,n-1+A 仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，仍然可以再从财务角度来解释一下这个公式，n n期期 即付年金的现值就是即付年金的现值就是n-1n-1期普通年金的现值增加一期的期普通年金的现值增加一期的 偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值偿债基金后所得。换句话说，如果即付年金也有现值

22、系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的期系数，那么即付年金的现值系数比普通年金系数的期 数少数少1 1期，但是系数值多期，但是系数值多1 1。 （2）即付年金现值 最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结最后，我们把即付年金现值的所有公式进行总结 XPVAi,n=A t=1 n (1+i)t-1 1 = A i 1- (1+i)n-1 1 +A = PVAi,n (1+i) =PVIFAi,n-1+A 最详细复利和年金计算推导 3、递延年金 递延年金：又叫延期年金，是递延年金：又叫延期年金，是 指前面指前面m m期不付，后面期不付，后面n n期每期期末期每期期末 交付，直到最后一期期末

23、的年金。交付，直到最后一期期末的年金。 AAAAAA 支付支付n n期期m m期期 最详细复利和年金计算推导 （1）递延年金终值 由于后面由于后面n n期按照普通年金的方式完成支付，那么期按照普通年金的方式完成支付，那么 递延年金的终值实际上就是递延年金的终值实际上就是n n期普通年金的终值。期普通年金的终值。 Pn =A t=1 n (1+i)t-1=A FVIFAi,n =A i (1+i)n+1 -1 这里，对于递延年金的终值就不进行总结了。这里，对于递延年金的终值就不进行总结了。 最详细复利和年金计算推导 （2）递延年金现值 首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不首先我想说，递延年金现值有两种计算方法，不 知道读者你有没有看出来？知道读者你有没有看出来？ 第一种，前面第一种，前面m m期不看，可以直接计算出后面期不看，可以直接计算出后面n n期期 在它本身的期初（不是总共在它本身的期初（不是总共m+nm+n期的期初哦！）的现值，期的期初哦！）的现值， 就是上上页线段的前就是上上页线段的前m m期最后一个端点，同时也是后期最后一个端点，同时也是后n n 期的最左边端点，然后将这个值看成前期的最左边端点，然后将这个值看成前m m期的终值，调期的终值，调 整到前整到前m m期期初，即整个线段最左端点即可。期期初，即整个线段最左端