第三章第四节2厚壁圆筒 应力

1、第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 第四节 厚壁圆筒在内压作用 下的应力 锅炉及中、低压容器中采用的各类圆筒形受压元件， 一般都是按薄壁圆筒进行应力分析和强度计算的，这样 处理通常能满足安全使用的要求。 如前所述，厚壁与薄壁是相对的，并没有一个严格 的界限。实际采用的圆筒形元件都有一定的壁厚，严格 的讲，应力沿壁厚并不是均匀分布的，把实际圆筒形元 件看做薄壁圆筒壳是一种近似处理，存在着误差。壁厚 越厚，这种误差就越大。对于高压容器及某些特定情况， 为了严格、精确地进行安全设计和安全评定，必须按厚 壁圆筒体进行应力分析，了解应力沿壁厚的分布情况。 第三章 中国地质大学（武汉

2、） 工程学院 安全工程 倪晓阳 一、圆平板在内压作用下的弯曲一、圆平板在内压作用下的弯曲 二、绕度微分方程及其求解二、绕度微分方程及其求解 三、径向应力分与环向应力分析三、径向应力分与环向应力分析 四、厚壁与薄壁圆筒应力公式的比较四、厚壁与薄壁圆筒应力公式的比较 一、厚壁壳体的应力特点一、厚壁壳体的应力特点 二、轴向应力分析二、轴向应力分析 第四节 厚壁圆筒在内压作 用下的应力 五、单层厚壁圆筒应力承载的局限性五、单层厚壁圆筒应力承载的局限性 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 对于回转薄壳，认为其承压后的变形与气对于回转薄壳，认为其承压后的变形与气 球充气时的情况相似，

3、其内力与应力是张球充气时的情况相似，其内力与应力是张 力，沿壳体厚度均匀分布，呈双向应力状力，沿壳体厚度均匀分布，呈双向应力状 态，壳壁中态，壳壁中没有弯矩及弯曲应力没有弯矩及弯曲应力。这种分。这种分 析与处理回转薄壳的理论叫析与处理回转薄壳的理论叫无力矩理论或无力矩理论或 薄膜理论。薄膜理论。 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 1、环向应力沿壁厚（、环向应力沿壁厚（径向径向）方向是不均匀的。）方向是不均匀的。 2、径向应力沿壁厚非均匀分布、径向应力沿壁厚非均匀分布 厚壁圆筒的应力特点 *里层材料的约束里层材料的约束 *外层材料的限制外层材料的限制 变形变形 各层材料变

4、形的相各层材料变形的相 互约束和限制互约束和限制 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 1、三向应力、三向应力-环向应力、轴向应力、径向应力环向应力、轴向应力、径向应力 2、应力梯度、应力梯度-环向应力和径向应力沿壁厚非均匀分布环向应力和径向应力沿壁厚非均匀分布 3、温差应力、温差应力-沿壁厚的温差引起的热应力不可忽视沿壁厚的温差引起的热应力不可忽视 厚壁圆筒的应力特点 * 轴对称问题轴对称问题 * 静不定问题静不定问题 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 二、轴向应力 厚壁圆筒两端 封闭承受内压时， 在远离端部的横截 面中，其轴向应力 可用截面法求得

5、。 如图3-16所示， 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 1- p p - 22 i 2 0 2 i KRR R 0p 2 i 2 i 2 0 RRR ）（ 假定将圆筒体横截成两部分，考虑 其中一部分轴向力的平衡，有： (3-45) 轴向应力； R0 ，Ri厚壁圆筒体的外半径及内半径； K厚壁圆筒体外半径与内半径之比； P内压。 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 三、环向应力 和径向应力 随半径r的变化规律，必须借助于微 元体，考虑其平衡条件及变形条件， 进行综合分析。如图3-17所示。 q r 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程

6、倪晓阳 在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。 由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出 轴向应力。 根据半径r方向力的平衡条件，有： (3-46) 整理并略去高阶无穷小量，且： 0 2 d sindr 2-rd-d)drr)(d( rrr q qq q 2 d 2 d sin qq qd 故得出 ： (3-46a) 这就是微元体的平衡方程。 微元体各面的位移情况如图 3-18所示。若坐标为r的圆柱面ad 径向位移为u，坐标为（r+dr）的 圆柱面bc径向位移为u+du，则微 元体的径向应变为： (3-46b) 微元

7、体的环向应变为： (3-46c) 0drddr rr q r 0 dr d r r q r dr d dr )d( r uuuu rd dd )(u r rur q qq q 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 式（3-46b）和式（3-46c）就是微元体的几何方程，它 表明微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。 由（3-46c）对r求导得出： 即 (3-46d) 式（3-46d）称做微元体的变形协调方程，表示微元体 径向位移和环向位移的互相制约关系。根据广义虎克定律， 有： ) rdr d ( r 1 rdr d r 1 dr d 2 uuuu q )( r 1

8、dr d q q r )( E 1 rq r )( E 1 r qq 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 进而得出： 将上述公式代入公式(3-46d) 得 (3-46e) 式（3-46e）是根据微元体的几何变化关系及物理关系得出 的补充方程，将其与式（3-46a）联立并整理，得： (3-46f)就是求解微元体应力的微元方程。 ) dr d dr d ( E 1 dr d r qq )( rE 1 )( r 1 rqq r )( r 1 dr d dr d q q r r 0 dr d r 3 dr d 2 2 rr 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳

9、 将式（3-46f）整理并积分得： (3-47) 将 代入式(3-46a)得： (3-48) 式中， ， 为积分常数，可根据边界条件确定。厚壁圆筒承受 内压时，边界条件为： 因而 2 21r r 1 CC r 2 21 r 1 CC q 1 C 2 C 0 -p r00 ri 时， 时， Rr Rr i p - 2 i 2 0 2 i 1 RR R C p - 2 i 2 0 2 i 2 0 2 RR RR C 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 厚壁圆筒体承受内压时的径向应力和环向应力分别为： (3-49) (3-50) 应力最大点在圆筒体内壁上： (3-51) ) r

10、 -(1 1- p ) r -(1 - 2 2 0 22 2 0 2 i 2 0 2 i R K R RR pR r ) r (1 1- p ) r (1 - 2 2 0 22 2 0 2 i 2 0 2 i R K R RR pR q p p -p 1- 1 1- 1 ri 2 2 2 K i K K i q 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 应力最小的点在圆筒 外壁上： 其应力沿壁厚的分布 如图3-19所示。 p p 0 1- 1 0 1- 2 0 r0 2 2 K K q 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 三、与薄壁圆筒壳应力公式的比较 厚

11、壁圆筒应力计算公式可以用于任何壁厚的承受内压圆筒， 是比较精确地公式。 比较厚壁圆筒应力计算公式与薄壁圆筒壳应力计算公式，对 了解圆筒壳应力计算公式的精确度和适用范围是十分有益的。 以环向应力为例，圆筒壳环向薄膜应力为： 式中，R为圆筒壳平均半径。 若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为： （3-52） p K R RpR i i 1)-2(K 1 )2(R )p(R 0 0 q p K K 1- 1 2 2 imax qq 2 2 2 2 max 1K 12 1)-2(K 1K 1- 1 ）（ ）（ K p K K q q 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 随

12、K值的增加而增加，见表3-1 表3-1 圆筒壳环向应力与厚壁圆筒最大环向应力的比较 可以看出，在K1.2时，用圆筒壳应力公式算得的环向应力 是十分接近按厚壁圆筒应力公式算得的最大环向应力的。薄 壁及厚壁圆筒分别按第三强度理论计算得到的当量应力，在 K值较小时，也比较接近。 K1.01.21.41.61.82.02.53.0 1.000 1.008 1.028 1.053 1.082 1.111 1.184 1.250 q q max q q max 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 四、单层厚壁圆筒承载的局限性 （一）单层厚壁承内压圆筒的内外壁面应力不均，随K的增 加而

13、增加，仍以环向应力为例： (3-35) 随着厚壁增大，K值增加，内壁和外壁处应力的差异加大， 见表3-2。 表3-2 厚壁圆筒内外壁面应力比随K的变化 2 1 p 1- 2 p 1- 1 2 2 2 2 0 i K K K K q q K1.11.21.31.41.61.82.02.53.0 1.111.221.351.481.782.122.503.634.50 0 i q q 第三章 中国地质大学（武汉） 工程学院 安全工程 倪晓阳 （二）、根据弹性失效准则，厚壁圆筒的承压能力是根据内壁的 强度条件决定的 承内压厚壁圆筒的应力最大部位是在内壁壁面处，根据工 程上常用的弹性失效准则，应力最大部位的应力强度达到极限值 时，结构即失去了承载能力。因而，按第三强度理论建立的内壁 强度条件式为： 对内壁 因而 相应对载荷的限制为： 或 31d - -pp 1- 1 ri3 2 2 i1 q ， K K 1- p2 - 2 2 31d K K 2 2 2 1-