《解析几何》（第四版）吕林根许子道编第3章平面与空间直线3.1平面的方程

1、 本章的知识结构为：本章的知识结构为： 平面的方程平面的方程 点法式 一般式 点位式 直线的方程直线的方程 射影式 一般式 点向式 相关位置相关位置 3.1 平面的方程 1.平面的点位式方程平面的点位式方程 则有一个与两个不共线向量给定空间一点, 0 baM ., 0 baM 而平行经过唯一的平面 .线的向量与平面平行的两个不共平面的方位向量 .平面的方位向量不唯一 则图的向径上任一点平面 的向径并设点；取仿射坐标系在空间 ),13(, , 00 0321 rOMMrOM MeeeO ., 0 共面上在平面点baMMM o x y z 3 e 2 e 1 e M 0 M 0 r r a b 知

2、由定理不共线2 . 4 . 1,ba , 0 bvauMM , 00 rrMM 又 . 0 bvaurr 即 (3.1-1)(3.1-1) 图图3-13-1 .,为参数程 的向量式参数方平面 vu 则若设点),(),( 0000 zyxMzyxM , 0000 zyxrzyxr , 222111 ZYXbZYXa 再设 得则由) 11 . 3( . , , 210 210 210 vZuZzz vYuYyy vXuXxx (3.1-2)(3.1-2) .,为参数的坐标式参数方程平面vu 作数积得两边与从babvaurr 0 , 0),( 0 barr (3.1-3)(3.1-3) 即是用向量的

3、分量表示将,)31 . 3( , 0 222 111 000 ZYX ZYX zzyyxx (3.1-4)(3.1-4) .)41 . 3(),31 . 3(),21 . 3(),11 . 3(都叫平面的点位式方程 2.平面的三点式方程平面的三点式方程 . ),3 , 2 , 1)(,(1 的方程三点的平面 求过这已知不共线三点例 izyxM iiii 并设点的方位向量取解 3121 ,MMbMMa 则图上任一点为),23(),(zyxM o x y z 3 e 2 e 1 e M 1 r r 图图3-23-2 1 M 2 M 3 M 2 r 3 r )3 , 2 , 1( , , i zyx

4、OMr OMzyxr iiiii , 121212 1221 zzyyxx rrMMa , 131313 1331 zzyyxx rrMMb ),()( 13121 rrvrrurr 程故平面的向量式参数方 (3.1-5)(3.1-5) ).()( ),()( ),()( 13121 13121 13121 zzvzzuzz yyvyyuyy xxvxxuxx 坐标式参数方程 (3.1-6)(3.1-6) 得消去由vu,)51 . 3( 0),( 13121 rrrrrr (3.1-7)(3.1-7) 用各向量的分量表示即将)71 . 3( , 0 131313 121212 111 zzyy

5、xx zzyyxx zzyyxx (3.1-8)(3.1-8) .)81 . 3(),71 . 3(),61 . 3(),51 . 3(都叫平面的三点式方程 3.平面的截距式方程平面的截距式方程 确定的平面方程由三点)0)(, 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(abccba , 0 0 0 ca ba zyax x y z o a b c ， 展开得 0 0 0 )( 0 0 z a ba y ac a ax c b ,abcabzacybcx即 , 0abc 1 c z b y a x 平面的截距式方程平面的截距式方程 x轴轴上上截截距距 y轴轴上上截截距距 z轴轴上上截截距距

6、 (3.1-9)(3.1-9) 4.平面的一般方程平面的一般方程 将表示任一平面都可用方程由前述讨论知,)41 . 3(, 其展开可写成 , 0DCzByAx(3.1-(3.1- 10)10) , 22 11 22 11 22 11 YX YX C XZ XZ B ZY ZY A 其中 , 222 111 000 ZYX ZYX zyx D :,这表明不全为零所以不共线因CBAba .,的三元一次方程表示任一平面都可用关于zyx :,可证反之 .)101 . 3(,都表示平面的一次方程任一关于zyx )101 . 3(, 0,则不妨设不全为零因事实上ACBA 可写成 , 0)( 2 ACzAB

7、y A D xA . 0 0 0 AC AB zy A D x 和两不共线向量它表示由点显然)0 , 0 ,(, 0 A D M ., 0 ,0 ,所决定的平面ACAB . ,; ,1 . 1 . 3 方程都代表一个平面 的三元一次每一个含反之三元一次方程表示 的一个含空间中任一平面都可用定理 zyx zyx 称（称（3.1-10）为）为平面的一般方程平面的一般方程 0 DCzByAx (3.1-(3.1- 10)10) ., 0,有明显的几何意义某个系数是否为一般方程中 平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况： 平面（平面（3.1-10）通过原点；）通过原点； 0) 1

8、(D 则中有一为 , 0,)2(CBA );( )101 . 3()00(0, 0 轴轴或轴行于 平平面或 xyz ABCD 0, 0)101 . 3(CDz轴时平行于说明当平面问题： .距离的概念这里要用到点到平面的 , 222 000 CBA DCzByAx d 需从两方面说明： ;距离相等轴上任意两点到平面的z .0的常数这距离为不为 );( )101 . 3()00(0, 0 轴轴或轴过 平平面或 xyz ABCD 则中有两个为 , 0,)3(CBA );()101 . 3( )00(0, 0 面面或面平行于 平面或 xyxzyz BACACBD ).()101 . 3( )00(0,

9、 0 面面或面即为 平面或 xyxzyz BACACBD 平面？在给定坐标系下如何画问题： 已给平面在给定坐标系下 , , 0DCzByAx： 联每与坐标轴的交点则可求出平面若, 0ABCD . , 了某一卦限部分就画出来 在平面个坐标面的交线两个交点即得出它和每 . , 0, 0, 轴或包含 轴或平行于则如中有一个为若 x xACBA 如画平面, 02zy： ).2 , 0 , 0(),0 , 2 , 0(,/NzMyx轴交于与轴交于与轴 x y z o M N ),1 , 5, 1 (2 1 M求通过点例 . )2, 2 , 3( 2 一般方程 和平面的坐标式参数方程 面的且垂直于xyM

10、程为 故可设其方轴亦即平行于面平面垂直于解,zxy , 0DByAx 所以又因它过点),2, 2 , 3(),1 , 5, 1 ( 21 MM . 023 , 05 DBA DBA , 0, 17 2 , 17 7 DDBDA解得 , 2, 7,17BAD可取 . 01727 yx故得平面的一般方程为 () 方程组注 ()故只有两中三个未知量两个方程 , 所以只需求出其中一个是自由未知量个是独立的, 17:2: )7( 23 51 : 31 11 : 12 15 : DBA .说明上式的由来问题： .23 ,5 (*) DBA DBA 变形为将方程组 有由克莱姆法则 , , 23 51 12

11、15 23 51 2 5 D D D A , 23 51 31 11 23 51 3 1 D D D B ,: 23 51 31 11 : 23 51 12 15 :DDDDBA 得在上式右端取 23 51 D .17:2: )7( 23 51 : 31 11 : 12 15 : DBA 一般方程为 形式展开即得平面的也可用点位式的行列式法2 , 0 100 372 151 zyx 展开得. 01727 yx 故为方位向量与且以此平面过点,3, 7 , 21 , 0 , 0, 1 M 其坐标式参数方程为 .31 ,75 ,21 vuz vy vx 坐标式参数方程 5.平面的法式方程平面的法式方

12、程 . ,: 00 定垂直的平面唯一地被确 且与则过点一非零向量给定一点已知 n MnM x y z o 0 M M 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做 该平面的该平面的法线向量法线向量 法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量 设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxM nMM 0 必有必有 0 0 nMM n 1) 点法式点法式 ,;下在坐标系kjiO i j k 0 r r , 00 rOM 设向径 , rOM 且 0)()()( 000 zzCyyBxxA (3.1-11)(3.1-12)都叫平

13、面的点法式方程都叫平面的点法式方程 , 0)( 0 rrn (3.1-(3.1- 11)11) 设设,CBAn ),( 0000 zyxM则),(zyxM , 0000 zzyyxxrr (3.1-(3.1- 12)12) 为则若记)121 .3(),( 000 CzByAxD , 0DCzByAx . , 量 是平面的一个法向故在直角坐标系下CBAn 解解6, 4, 3 AB 1, 3, 2 AC 取取 ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx 化简得化简得. 015914 zyx ,1, 1, 1 1 n 12, 2, 3 2 n 取

14、法向量取法向量 21 nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx 化简得化简得. 0632 zyx 所求平面方程为所求平面方程为 解解 例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐 标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程. 设平面为设平面为 , 1 c z b y a x x y z o , 1 V , 1 2 1 3 1 abc 由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得 , 6 1 1 1 6 1 cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件） 解解 , 6 11 6 1

15、cba 化简得化简得令令t cba 6 11 6 1 , 6 1 t a , 1 t b , 6 1 t c ttt6 11 6 1 6 1 1 代入体积式代入体积式 , 6 1 t , 1, 6, 1 cba . 666 zyx 所求平面方程为所求平面方程为 或或 . 666 zyx 2) 法式方程法式方程(一种特殊的一次方程一种特殊的一次方程) x y z o P M i j k n r 当法向量取单位向量 的而所引垂线的垂足 向平面地取为自原点 特殊若平面上的点 , , 0 n P O M 当相同正向取做与 的时平面不过原点 , , OP nO . , 向中任取定一个 两个方的正向在垂直

16、于平面的平面过原点时 n , pOP 设 方程为向量的平面 为法且以过点知故由则 nPnpOP,)111 . 3(, , 0)( nprn 化简上式得的向径上任意点是,Mr . 0prn (3.1-(3.1- 13)13) 平面的向量式法式方程平面的向量式法式方程 ,zyxr 若设,cos,cos,cos n 得则由)131 . 3( . 0coscoscospzyx(3.1-(3.1- 14)14) 平面的法式方程平面的法式方程 点： 其特是一种特殊的一次方程法式方程,)141 . 3( ; 1 )( 于 的平方和等是单位向量的分量一次项系数 ).( , 0是原点到平面的距离常数项pp ,

17、01 2 2 2 2 zx如,是法式方程 001 2 2 2 2 zyxyx与 而 6.一般方程一般方程(3.1-10)的的法式化法式化 已知在直角坐标系下已知在直角坐标系下 ,是平面的法向量CBAn ,zyxr 可表示为所以)101 . 3( , 0Drn (3.1-(3.1- 15)15) 只要以相比知与,)131 . 3( .都不是法式方程 222 11 CBA n 就可得法式方程：乘)101 . 3( , 0)(DCzByAx (3.1-(3.1- 16)16) . ,0.0 选择 的符号可任意时当而定的符号由DD .为原点到平面的距离D 而因子的法式化 这种变形称为方程得平面的法式方程 即后乘上取定符号的平面的一般方程 ,)101 . 3( , )161 . 3( ,)101 . 3( )( 1 222 在取定符号后 CBA .称为法式化因子 .2:3:1: ,66 的平面的截距比为 且在三坐标轴上个单位求与原点距离为例 cba 由题意可设所求平面为解 , 1 23 m z m y m x ) 7 6 (m化为法式方程 ,0) 7 6 7 3 7 2 7 6