面积矩与形心位置[重要知识]

1、61 面积矩与形心位置面积矩与形心位置 62 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 63 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 第六章 截面的几何性质 64 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 1重点辅导 6-1 6-1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：（于力矩类似）是面积与它到轴的距离 之积。 P n P n W M GI M A N max max max max ; ; ydAdS x xdAdS y AA yy AA xx xdAdSS ydAdSS 2重点辅导 二、

2、形心：（等厚均质板的质心与形心重二、形心：（等厚均质板的质心与形心重 合。）合。） )( A Ay y A Ax x ii ii 正正负负面面积积法法公公式式累累加加式式 : iix iiy yAyAS xAxAS y x A S A y d A At d Ay t m y dm A S A x d A At d Ax t m x dm xAAm y AAm r r r r r r r r : 质心质心 等厚等厚 均质均质 等厚等厚 均质均质 x y 等于形心坐标等于形心坐标 3重点辅导 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii 例 I-1-1 是确定下图的形心。 x y 解 ：

3、组合图形，用正负面积法解之。 1、用正面积法求解，图形分割及坐标如 图（a） 3 .20 108011010 1101035 7 .34 108011010 1101060 y C1（0，0） C2（-35，60） 图（a） C2 C1 4重点辅导 C1 2、用负面积法求解，图形分割及坐标 如图（b） 3 .20 1107080120 )11070(5 图（b） 负面积 C2 x y C1 C1（0，0） C2（5，5） 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii 5重点辅导 6-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离

4、的平方一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方 之积。之积。 A y A x dAxI dAyI 2 2 二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 yx A P IIdAI 2 r r 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 A xy xydAI ！如果！如果 x 或或 y 是对称轴，则，是对称轴，则，Ix y =0 6重点辅导 6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） c c yby x

5、ax 以形心为原点，建立与原坐标轴平行以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图的坐标轴如图 0 cxc yASAbII x cx 2 a b x c y c C A x d AyI2 A c d Aby2)( A cc d Abbyy)2(2 2 Abb SI x cx c 22 7重点辅导 AbII x cx 2 AaII y cy 2 a b AII x c y cx y AbaII P cP 2 )( 注注 意意 ! C 点点 必必 须须 为为 形形 心心 8重点辅导 例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安 定义直接积分；二是用平行移轴 定理

6、等知识求。 B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴 的惯性矩。 642 4 dI II P yx d 64 5 464 444 2 ddd AdII xAB xyxP III d I2 32 4 圆 x y O 9重点辅导 6-4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 cosysinxy sinycosxx 1 1 一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理 x1 y1 y1 x1 )2sin2c o s 2 ( 2 1 x y yxyx x I IIII I 10重点辅导 yxyx IIII 11 )2sin2co

7、s 2 ( 2 1 xy yxyx y I IIII I )2cos2sin 2 ( 11 xy yx yx I II I 11重点辅导 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有 022 2 00 00 )cosIsin II (I xy yx yx 与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴 之惯性矩主惯性矩。 ycxc xcyc II I tg 2 2 0 22 22 0 0 xy yxyx y x I) II ( II I I 主惯性矩：主惯性矩： 12重点辅导 2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主

8、轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 y cx c x c y c II I t g 2 2 0 22 ) 2 ( 2 0 0 x c y c y cx cy cx c y c x c I IIII I I 形心主惯性矩： 13重点辅导 3、求截面形心主惯性矩的方法、求截面形心主惯性矩的方法 、建立坐标系。、建立坐标系。 、计算面积和面积矩、计算面积和面积矩 、求形心位置。、求形心位置。 、建立形心坐标系；求：、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc ， 、求形心主轴方向、求形心主轴方向 0 、求形心主惯性矩求形心主惯性矩 A Ay A S y A Ax A S

9、x ii x iiy 22 22 0 0 xcyc ycxcycxc yc xc I) II ( II I I ycxc xcyc II I tg 2 2 0 14重点辅导 例6-4-1 在矩形内挖去一与上边 内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d) x y O 解 ： 、建立坐标系如图。 、求形心位置。求形心位置。 、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， I x c y c d. d d dd A Ay y AA Ax x ii ii 1770 4 3 42 0 0 2 2 2 x c y c )yd.(AIyAIIII xxxcxcxc 2 1 2 50 圆圆圆圆矩矩矩矩圆圆矩矩 42 24 22 3 6850177050 464 17703 12 251 d.)d.d