2.1.对坐标曲面积分ppt课件

1、第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类 双侧曲面双侧曲面 单侧曲面单侧曲面 莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧

2、 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧 外侧外侧 内侧内侧 设设 为有向曲面为有向曲面, 其面元其面元 S 在在 xoy 面上的投影记为面上的投影记为: (S)xy yx S)( 侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向表示其方向用法向量指向表示: (S)xy 的面积为的面积为 ()xy 0, 则规则规 定定: ,)( yx ,)( yx ,0 时当0cos 时当0cos 时当0cos 类似可规定类似可规定: zxyz SS)( ,)( 二、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例: 设稳定流动的不可压缩流体的速

3、度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为: 求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . S 分析分析: 假设假设 是面积为是面积为 S 的平的平 面面, 则流量则流量: 法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量: n v ( ( , , ),( , , ),( , , )vP x y zQ x y zR x y z (cos,cos,cos )n cosSv S vn v 对一般的有向曲面对一般的有向曲面 , 对稳定流动的不可压缩流体的速度场对稳定流动的不可压缩流体的速度场: 用用“分割分割, 求和求和, 取极限取极限”, 进行分析可得进行分析可得: n i 1 0 lim

4、 0 lim n i 1 iiii Pcos),( iiii Rcos),( 0 lim n i 1 iiii Qcos),( i S i n i v iii Snv )cos,cos,(cos iiii n设 , 那么那么: ( ( , , ),( , , ),( , , )vP x y zQ x y zR x y z (,)()(,)() iiiiyziiiiz x PSQS (,)() iiiix y RS 2. 定义定义: 设设 为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面, 在在 上定义了一个向量上定义了一个向量 场场: 若对若对 的任意分割和在局部面元上任意取点的任意分割和在局部面元上任意取点

5、, 下列极限都存在下列极限都存在: yxRxzQzyPdddddd P, Q, R 叫做被积函数叫做被积函数; 叫做积分曲面叫做积分曲面. 或第二类曲面积分或第二类曲面积分. 记作记作: xd ydzd P Q R ),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 则称此极限为向量场则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积分在有向曲面上对坐标的曲面积分, 0 lim n i 1 (,)()(,)() iiiiyziiiiz x PSQS (,)() iiiix y RS 引例中引例中, 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为: zyPdd 称为称为Q 在有向曲面在有向曲面

6、上对上对 z, x 的曲面积分的曲面积分; yxRdd 称为称为R 在有向曲面在有向曲面上对上对 x, y 的曲面积分的曲面积分. 称为称为P 在有向曲面在有向曲面上对上对 y, z 的曲面积分的曲面积分; yxRxzQzyPdddddd 若记若记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为: 令令: )cos,cos,cos(n )dd,dd,d(dddyxxzzySnS ) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式: yxRxzQzyPdddddddA nS dAS d dQ zx 3. 性质性质 (1)

7、假设假设 k i 1 且且 i 之间无公共内点之间无公共内点, 那那 么么: (2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 那那 么么: SA d i SA d 1 , k i i ddASAS 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法 定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面 : z = z(x, y), (x, y)Dxy, 取上侧取上侧, R(x, y, z)是是 上的连续函数上的连续函数, 那么那么: yxzyxRdd),() ,( yx D yxR),(yxz yxdd 证证: 0 lim n i 1 yxiiii SR)(,( yxi S )( yxi )( 取上侧取上侧

8、, ),( iii z 0 lim n i 1 ) ,( ii R),( ii z yxi )( yxx,yzyxR yx D dd)(,( yxzyxRdd),( 假设假设则有则有: zyzyxPdd),(), (zy,P zy D ),(zyxzydd 假设假设则有则有: xzzyxQdd),() z, ,( xz D xQ),(xzyxzdd (前正后负前正后负) (右正左负右正左负) 说明说明: 如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧, 那那 么么: yxzyxRdd),() ,( yx D yxR),(yxzyxdd :( , ),( , ), yz xx y zy zD :( ,

9、),( , ), zx yy z xz xD 例例1. 计算计算 yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)( 其中其中是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为a的正立方体的整个表面的外侧的正立方体的整个表面的外侧. 解解: 利用对称性利用对称性. 原式原式 yxxzdd)(3 的顶部的顶部 ),(: 222 1 aaa yxz取上侧取上侧 的底部的底部 ),(: 222 2 aaa yxz取下侧取下侧 yxxz 2 dd)( yxx a yx D dd) 2 ( yx D yxadd3 x z y 1 3()d dzxxy 3 2 ()d d x y D a xxy 3 3a 解解:

10、 把把 分为上下两部分分为上下两部分 22 1 1:yxz 根据对称性根据对称性0dd yxxyz 考虑考虑: 下述解法是否正确下述解法是否正确: 例例2. 计算曲面积分计算曲面积分,dd yxxyz 其中其中 为球面为球面 x2+ y2+ z2 = 1 外侧在第一和第八卦限部分外侧在第一和第八卦限部分. o z y x 1 1 2 yx D 0,0 1 :),( 22 yx yx Dyx yx 22 2 1:yxz yx D yxyxyxdd 12 22 22 1cossin2rr yx D rrrd1 2 1 0 3 15 2 2 0 d2sin o z y x 1 1 2 yx D yx

11、zyxdd 2 ddyxzyx 1 ddyxzyx yx D yxxydd )1( 22 yx yx D yxxydd 22 1yx ddrr 例例3. 设设S 是球面是球面 x2+ y2+ z2 = 1的外侧的外侧 , 计算计算: S xx zy I 2 cos dd2 解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性, 有有: S xx zy 2 cos dd2 0 cos dd cos dd 22 SS z yx y xz S zz yx I 2 cos dd 1 0 222 1cos1 d rr rr 1 0 22 2 1cos 1d 4 r r 1tan4 y xz 2 cos dd zz yx

12、 2 cos dd , cos dd2 2 S zz yx 1 22222 221cos1 dd yx yxyx yx 2 0 d2 2 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系 n i 1 zyiiii SP)(,( xziiii SQ)(,( yxRxzQzyPdddddd yxiiii SR)(,( 0 lim 0 lim n i 1 SRQPdcoscoscos 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 (,)cos(,)cos iiiiiiii PQ (,)cos iiiii RS 令令: yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos SA

13、nd 向量形式向量形式: ),(RQPA )cos,cos,(cosn )dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA d nAAn SnAd ( A 在在 n 上的投影上的投影) 例例4. 位于原点电量为位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为 解解: S r q d 2 S R q d 2 。 q 求求E 通过球面通过球面 : r = R 外侧的电通量外侧的电通量 . SE d SnEdS r r d r r q 3 4 q 222 33 ( , )() qq Erx y zrxyz rr y x z 1 1 1 例例5. 设设 是其外法线与是其外法线与 z 轴正向夹

14、成的锐角轴正向夹成的锐角, 计算计算: .dcos 2 SzI 解解: SzIdcos 2 yxzdd 2 rrrd)1(d 2 1 0 2 0 2 yx D yxyxdd)1( 22 n 22 1:,zxy 22 1 cos yx x 例例6. 计算曲面积分计算曲面积分 解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有: zyxzdd)( 2 )( 2 xzSdcos yxdd cos cos o y x z 2 原式原式 =)( x )( 2 xzyxzdd ,dddd)( 2 yxzzyxz 其中其中 旋转抛物面旋转抛物面)( 22 2 1 yxz 介于平面介于平面 z= 0

15、 及及 z=2 之间部分的下侧之间部分的下侧. )( 2 xz 22 1 1 cos yx )( xx yx D 222 )( 4 1 yx o y x z 2 原式原式 )( 22 2 1 yx yxyxx yx D dd)( 22 2 1 2 rrrrd)cos( 2 2 1 2 2 0 2 2 0 d 8 yxdd 得代入将,)( 22 2 1 yxz 作业作业: P167 3(1), (2) 22 1( , , )d( , , ( , )( , )( , )d d x y xy D f x y zSf x y z x yzx yzx yx y 1. 第一类曲面积分第一类曲面积分(对面积的曲面积分对面积的曲面积分)(曲面形构件的质量曲面形构件的质量): 2. 第二类曲面积分第二类曲面积分(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分)(稳定流动的不可压缩的流稳定流动的不可压缩的流 量量): 3. 两类曲面积分之间的联系两类曲面积