流体力学课件6本构方程

1、 在直角坐标系中运动方程采取下列形式在直角坐标系中运动方程采取下列形式 z p y p x p F z u w y u v x u u t u z xy x x x x )( z p y p x p F z v w y v v x v u t v yxyxyx y )( z p y p x p F z w w y w v x w u t w zxzxzx z )( 已知面应力已知面应力P具有对称性具有对称性 jiij pp 问题问题：如何确定：如何确定P ？ 本构方程本构方程 ： 当相邻两层流体作相对滑动即剪切变形时，在相反方向当相邻两层流体作相对滑动即剪切变形时，在相反方向 由此可见，流体的

2、宏观性质粘性规律，将应力张量和由此可见，流体的宏观性质粘性规律，将应力张量和 本节将在一定的假定下推导表达本节将在一定的假定下推导表达粘性规律的应力张量和粘性规律的应力张量和 变形速度张量之间的关系变形速度张量之间的关系，即，即本构方程本构方程。 变形速度张量以某种关系联系起来。变形速度张量以某种关系联系起来。 真实流体都有粘性。真实流体都有粘性。 变形速度之间存在着一定的关系，流体的这种性质称为变形速度之间存在着一定的关系，流体的这种性质称为粘性粘性。 产生切向应力，阻止变形的发生。因此，切向应力和剪切产生切向应力，阻止变形的发生。因此，切向应力和剪切 牛顿在牛顿在1687年第一个对于最简单

3、的剪切运动作了一个著名的年第一个对于最简单的剪切运动作了一个著名的 实验，并且建立了实验，并且建立了切向应力和剪切变形速度之间的关系切向应力和剪切变形速度之间的关系。 实验实验：考虑两个很长的平行平板之间的粘性流体运动，平板间：考虑两个很长的平行平板之间的粘性流体运动，平板间 的距离为的距离为 h，设下面一个平板静止不动，而上面的那个平板则，设下面一个平板静止不动，而上面的那个平板则 在自己的平面上以等速在自己的平面上以等速 U 向右运动。实验表明，两平板上的向右运动。实验表明，两平板上的 流体质点粘附在平板上，随着平板一起运动。因此，下平板上流体质点粘附在平板上，随着平板一起运动。因此，下平

4、板上 的流体速度为零而上平板上的流体速度为的流体速度为零而上平板上的流体速度为 U. 牛顿所做的剪切运动的实验牛顿所做的剪切运动的实验 （动力学粘性系数）（动力学粘性系数） 流体的一个物理常数，是流体抗拒变形的内摩擦的量流体的一个物理常数，是流体抗拒变形的内摩擦的量 度，称为度，称为动力学粘性系数动力学粘性系数，简称，简称粘性系数粘性系数。 (3.4.2)称为称为 其中其中 切应力，切应力， du dy 剪切变形速度，剪切变形速度， 牛顿粘性公式牛顿粘性公式，它表明，它表明切向应力和剪切变形切向应力和剪切变形 速度成正比。速度成正比。 ( ) U u yy h 根据测量结果，两平板间的速度分布

5、遵守根据测量结果，两平板间的速度分布遵守线性规律线性规律 ( ) U u yy h U (a) 最简单的剪切运动最简单的剪切运动 U h 两边对两边对y求微分，求微分， U h 可写成可写成 Udu hdy （3.4.1） 实验结果表明实验结果表明，此力和上平板的运动速度，此力和上平板的运动速度U成正比，而与成正比，而与 根据根据(3.4.1)式，上式可写成更普遍的形式式，上式可写成更普遍的形式 U h （3.4.2） du dy （3.4.3） 为了实现上述切向变形，必须在上平板与运动相反的方向为了实现上述切向变形，必须在上平板与运动相反的方向 上加上一个切向力，以抵消流体抗拒变形所产生的阻

6、力。上加上一个切向力，以抵消流体抗拒变形所产生的阻力。 两平板间的距离两平板间的距离 h 成反比，于是成反比，于是 U (b) 粘性剪切运动粘性剪切运动 du dy 动力学粘性系数除以密度动力学粘性系数除以密度 ，得，得 称为称为运动学粘性系数运动学粘性系数。 有关有关和和的量纲和单位，见课本的量纲和单位，见课本162162页。页。 影响粘性系数影响粘性系数的因素的因素： （1 1）粘性系数粘性系数的数值依赖于流体的性质的数值依赖于流体的性质。 对于粘性较小的流体，粘性系数对于粘性较小的流体，粘性系数的数值很小；对于的数值很小；对于 粘性很大的流体粘性系数可以达到很大的数值（见课本粘性很大的流

7、体粘性系数可以达到很大的数值（见课本163163 页例）。页例）。 （2）粘性系数粘性系数还显著的依赖于温度还显著的依赖于温度，但很少随压力发生变但很少随压力发生变 化化。 它与温度的关系对于液体和气体来说是截然不同的。它与温度的关系对于液体和气体来说是截然不同的。 对于对于液体液体来说，随着温度的升高，粘性系数来说，随着温度的升高，粘性系数下降下降 ；对于气体来说，当温度升高时，粘性系数反而上升。；对于气体来说，当温度升高时，粘性系数反而上升。 对于对于气体气体，粘性系数，粘性系数和温度和温度T的关系可表成的关系可表成: 3 2 T TC 常数 (3.4.4) 其中其中 110.4CK K

8、（T2000） 在实用上多采用在实用上多采用幂次公式幂次公式 此式称为此式称为索士兰特公式，索士兰特公式，索士兰在相当大索士兰在相当大 的范围内的范围内 对空气是适用的。由于上式比较复杂，对空气是适用的。由于上式比较复杂， 00 ()n T T （3.4.5） 来近似真实的粘性关系，其中幂次来近似真实的粘性关系，其中幂次n的变化范围是的变化范围是 1 1 2 n 它依赖于气体的性质及所考虑的温度范围。在高温时，例如它依赖于气体的性质及所考虑的温度范围。在高温时，例如 K 3000以后，以后，n可近似的取为可近似的取为 ; 在低温时可取在低温时可取1. 对于空气对于空气 1 2 而言，在而言，在

9、 的温度间隔内可采用公式的温度间隔内可采用公式 K 90 KT300 8 9 00 () T T （3.4.6） 它与索士兰特公式的误差不超过它与索士兰特公式的误差不超过 5%. 牛顿粘性规律的局限性：牛顿粘性规律的局限性： 牛顿粘性规律只适用于牛顿粘性规律只适用于剪切流动剪切流动这一最简单的情形。但是实这一最简单的情形。但是实 际遇到的流动常常是很复杂的，要在理论上或通过实验直接际遇到的流动常常是很复杂的，要在理论上或通过实验直接 导出一般运动情形下应力张量和速度张量之间的关系是很困导出一般运动情形下应力张量和速度张量之间的关系是很困 难的。难的。 基本假定下用于一般情形的基本假定下用于一般

10、情形的广义牛顿定律广义牛顿定律 写成分量形式则为写成分量形式则为 （1 1） 运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流 体的应力张量。体的应力张量。据此将应力张量据此将应力张量P P写成各向同性部分写成各向同性部分-PI-PI 和各向异性部分和各向异性部分PP的和是方便的。的和是方便的。 PpIP ijijij Pp （3.4.7） 00 00 00 xxxyzxxxyzx xyyyyzxyyyyz zyzzzzxyzzz pppp pppp pppp （3.4.8） 其中其中p 根据纯力学考虑定义出来的运动流体的压力函数。根据纯力学考虑定义出来的运

11、动流体的压力函数。 它不等于静止流体的压力函数，但当运动静止时趋于静它不等于静止流体的压力函数，但当运动静止时趋于静 止流体的压力函数。止流体的压力函数。 （2）偏应力张量偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数各分量的线性齐次函数。 ij i j u x 关系：关系：当速度在空间均匀分布时，偏应力张量为零；当当速度在空间均匀分布时，偏应力张量为零；当 速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生了偏应力，它力速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生了偏应力，它力 图使速度回复到均匀分布情形。图使速度回复到均匀分布情形。 P 是除去是除去-PI 后得到的张量，

12、称为后得到的张量，称为偏应力张量偏应力张量，当运，当运 动消失时它趋于零。并且，偏应力张量和应力张量一样动消失时它趋于零。并且，偏应力张量和应力张量一样 也是对称二阶张量。也是对称二阶张量。 ij i j u x 至于至于 各分量为什么是各分量为什么是 各分量的线性齐次函数，这各分量的线性齐次函数，这 纯粹是一种假设，纯粹是一种假设， 它是牛顿定律的逻辑上的推广。其合理它是牛顿定律的逻辑上的推广。其合理 性需要从理论与实验符合与否加以验证。性需要从理论与实验符合与否加以验证。 由此可见，由此可见，偏应力张量偏应力张量 应和局部速度张量应和局部速度张量 有关。有关。 ij i j u x （3）

13、流体是各向同性的流体是各向同性的。各向同性的意思是流体的所有。各向同性的意思是流体的所有 性性 所有所有气体气体都是各向同性的，都是各向同性的，大部分简单液体大部分简单液体例如水等也例如水等也 是各向同性的。是各向同性的。 质如粘性、热传导等在每点的各个方向上都是相同的，即质如粘性、热传导等在每点的各个方向上都是相同的，即 流体的性质不依赖于方向或坐标系的转换。流体的性质不依赖于方向或坐标系的转换。 包含包含长链状分子的悬浮液或溶液长链状分子的悬浮液或溶液可能呈现出某种方向性可能呈现出某种方向性, 但是我们不考虑这样的液体。但是我们不考虑这样的液体。 可以写成可以写成变形速度对称张量变形速度对称张量和和反对反对 称张量（旋转部分）称张量（旋转部分）之和之和. 是对称的对lkcijkl, ijlkijkl cc所以， mklmijklmlkmijlkmklmijkl ccc 0, 02