第4章点线面的投影

1、4 点、线、面的投影 p 4.1 点的投影 p 4.2 直线的投影 p 4.3 两直线的相对位置 p 4.4 平面的投影 p 4.5 换面法 p 4.6 直线与平面、平面与平面的相对位置 4.1 点的投影 点的单面投影 .1. 点的三面投影及其特性 .1. 特殊点的三面投影 .1. 两点的相对位置 .1. 重影点的可见性判别 P a A 点的单面投影 若点的位置确若点的位置确 定，点的投影是确定，点的投影是确 定的。定的。 P a(b) B 若点的一个投若点的一个投 影确定，点的位置影确定，点的位置 是不确定的。是不确定的。 A 点的单面投影 4.1.1 点的三面投影及其特性 V W H X

2、Z Y O A a a a aX aY aZ 空间点空间点A H面投影面投影a V面投影面投影a W面投影面投影a 4.1.1 点的三面投影及其特性 X Z YW O YH H WV a H a W a 移去空间点移去空间点 uV V面不动面不动 H H面连同水平投影绕面连同水平投影绕X X轴向下旋转轴向下旋转 W W面连同侧面投影绕面连同侧面投影绕Z Z轴向右旋转轴向右旋转 V W H X Z Y O A a a a ax ay az 4.1.1 点的三面投影及其特性 V W H X Z Y O A a a a aX aY aZ VW H X Z YW YH O a a a aX aZ aY

3、H aYW 点的投影连线垂直于相应的投影轴点的投影连线垂直于相应的投影轴 点的点的H面投影与面投影与V面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OX轴轴a a OX 点的点的V面投影与面投影与W面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OZ轴轴a a OZ 4.1.1 点的三面投影及其特性 V W H X Z Y O A a a a aX aY aZ X Z YW YH O a a a aX aZ aYH aYW 某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离 a aZ = a aYH =Aa , ,点到点到W面的距离面的距离X坐标坐标 aaX = a a

4、Z =Aa , ,点到点到V面的距离面的距离Y坐标坐标 a aX = a aYW=Aa , ,点到点到H面的距离面的距离Z坐标坐标 【例例4-1】已知已知A点的点的H面投影面投影a和和V面投影面投影a ，求，求A点的点的W面投影面投影a 。 X Z YW YH O a a a YW b X Z b b O YH Z X Y O 4.1.2特殊点的三面投影 W V a BH A a a b bb C c c c a a a c c c 投影面上的点投影面上的点 在该投影面上的投影与空间点自身重合，在该投影面上的投影与空间点自身重合， 另外两个面上投影在相应的坐标轴上。另外两个面上投影在相应的坐标

5、轴上。 Y X H V W O 4.1.2特殊点的三面投影 f e d dD e E f F d e f Z 投影轴上的点投影轴上的点 在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合， 另一投影面上的投影与坐标原点重合。另一投影面上的投影与坐标原点重合。 d d d X O Z YH YW f f f e e e 4.1.3 两点的相对位置 A O V W H Z Y X B 根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置 两点的左右关系，两点的左右关系，X X坐标大在左，小的在右；坐标大在左，小的在

6、右； 两点的前后关系，两点的前后关系，Y Y坐标大在前，小的在后；坐标大在前，小的在后； 两点的上下关系，两点的上下关系，Z Z坐标大在上，小的在下。坐标大在上，小的在下。 b b b a a a YWX Z YH O a a a b b b 4.1.4 重影点的可见性判别 b( ) 当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投 影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点重影点。 O V W H Z Y X B b b A a a a 4.1.4 重影点的可见性判别 b( ) O V

7、 W H Z Y X B b b A a a a YWX Z YH O a a a b b b( ) 不可见的投影字母加括号（不可见的投影字母加括号（ ）表示）表示 判断的基本原则判断的基本原则看第三坐标，大者可见看第三坐标，大者可见 4.1.4 重影点的可见性判别 X b ( c ) O V W H Z Y X B C b c c b YW Z YH O b b c c b ( c ) 前遮后前遮后 上遮下上遮下 左遮右左遮右 4.2 直线的投影 直线的倾角和分类 .2. 投影面垂直线 .2. 投影面平行线 .2. 一般位置直线 .2. 直线上的点 直线的倾角 O V W H Z Y X A

8、 倾角倾角: :空间直线对投影面的夹角空间直线对投影面的夹角 对对 H H 面的倾角面的倾角 对对 V V 面的倾角面的倾角 对对 W W 面的倾角面的倾角 B O YWX Z YH b b b a a a a a a b b b 直线的分类 直线直线 一般位置直线一般位置直线 特殊位置直线特殊位置直线 投影面垂直线投影面垂直线 投影面平行线投影面平行线 4.2.1 投影面垂直线 u 铅垂线铅垂线H，/V、W u 正垂线正垂线V，/H、W u 侧垂线侧垂线W，/H、V 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面 4.2.1 投影面垂直线铅垂线铅垂线 TL TL

9、 a(b) O YWX Z YH a a b b a(b) b O V W H Z Y X B A b a a a(b) 投影特性投影特性 H H 积聚为一点积聚为一点 V V、W W 反映实长，反映实长，/OZOZ 倾角倾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直线正垂线正垂线 d O V W H Z Y X D C c (d ) c d c TL TL O YWX Z YH c d c d c (d ) 投影特性投影特性 V V 积聚为一点积聚为一点 H H、W W 反映实长，反映实长，/OYOY 倾角倾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧垂线 O V W H Z Y

10、X FE e e (f ) fe f TL TL O YWX Z YH e f e f e (f ) 投影特性投影特性 W W 积聚为一点积聚为一点 V V、H H 反映实长，反映实长，/OXOX 倾角倾角 9090 0 0 4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧垂线 O V W H Z Y X FE e e (f ) fe f TL TL O YWX Z YH e f e f e (f ) 投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在所垂直的投影面上的投影积聚为一点 在另外两个投影面上的投影平行于相关的在另外两个投影面上的投影平行于相关的 投影轴，并反映直

11、线实长投影轴，并反映直线实长TLTL 4.2.2 投影面平行线 u 水平线水平线/H，V、W u 正平线正平线/V，H、W u 侧平线侧平线/W，H、V 平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面 4.2.2 投影面平行线水平线水平线 TL O V W H Z Y X B A b b b a a a O YWX Z YH a a a b b b 投影特性投影特性 H H 反映实长反映实长, ,反映反映、倾角倾角 V V、W W 长度小于实长长度小于实长, ,OZOZ 4.2.2 投影面平行线正平线正平线 O V W H Z Y X c c c d d d 投影

12、特性投影特性 V V 反映实长反映实长, ,反映反映、倾角倾角 H H、W W 长度小于实长长度小于实长, ,OYOY O YWX Z YH d d d c c c TL 4.2.2 投影面平行线侧平线侧平线 O V W H Z Y X F E f f e O YWX Z YH e e e f f f TL 投影特性投影特性 W W 反映实长反映实长, ,反映反映、倾角倾角 V V、H H 长度小于实长长度小于实长, ,OXOX 投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映实长，在所平行的投影面上的投影反映实长， 反映直线与另两个相关的投影面的倾角反映直线与另

13、两个相关的投影面的倾角 另外两个投影垂直于相关的投影轴，投另外两个投影垂直于相关的投影轴，投 影长度小于实长影长度小于实长 4.2.2 投影面平行线侧平线侧平线 O V W H Z Y X F E f f e O YWX Z YH e e e f f f TL 4.2.3 一般位置直线 与三个投影面均倾斜与三个投影面均倾斜 O YWX Z YH a a a b b b O V W H Z Y X B A b b b a a a 4.2.3 一般位置直线 O YWX Z YH b b b a a a O V W H Z Y X A B a a a b b b 投影特性：投影特性： 三个投影均倾斜

14、于投影轴三个投影均倾斜于投影轴 投影长度小于实长投影长度小于实长 b a b a Z Z TL Z B A b a b a A1 TL O V H Z Y X OX 4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和 4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和 B A b a a B1 Y TL O V H Z Y X b b a b a Y Y TL O X 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和aa，求它的正面投影，求它的正面投影abab。 a X a b A O B b0 bb0 bb0 b

15、 b O V H X a A B a b b Z Y 4.2.4 直线上的点 C c c c W 从属性从属性 若点在直线上，若点在直线上， 则点的投影必在该直则点的投影必在该直 线的同面投影上。线的同面投影上。 YW O X Z YH b b b a a a a b c c c 定比性定比性 若点将直线分为两段，则两段的实长若点将直线分为两段，则两段的实长 之比等于其投影长度之比。之比等于其投影长度之比。 AC:CB = ac:cb = a c : c b = a c : c b 【例例4-2】已知直线段已知直线段AB的两面投影的两面投影ab和和a b ， 在直线在直线AB上求作一点上求作一

16、点K,使使AK:KB=2:3。 k k X b a O a b 1 2 3 4 5 【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影， 判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上上。 b a a b a b m m m 从属性从属性 n n n O XYW Z YH 【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影， 判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上上。 b a a b m m 定比性定比性 n n O X 3 1 2 4.3 两直线的相对位置 .3. 两直线平行 .3. 两直线相交 .3. 两直线交叉 .3

17、. 两直线垂直 4.3.1 两直线平行 W a c Z V C a O A dDb c d b Y c b Bd a H X Z c d b a db c c d a b XYW a O YH 投影特性投影特性 两直线的同面投影相互平行；两直线的同面投影相互平行； 两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。 4.3.1 两直线平行 W a c Z V C a O A dDb c d b Y c b Bd a H X Z c d b a db c c d a b XYW a O YH 已知已知AB/CD，则则 ab/cd , a b / c d , a

18、b / c d AB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d 4.3.1 两直线平行 判断两直线是否平行判断两直线是否平行 对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行， 则空间两直线平行；则空间两直线平行； 对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互 相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。 b a a b d c d c XO b c b d a c a O X d b a c d a b d c

19、d c a b 【例例4-4】（a）已知两侧平线）已知两侧平线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否平行是否平行。 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 字母顺序一样字母顺序一样, 投影长度成比例投影长度成比例 Z XYW O YH f e g h e f h g g h e f 【例例4-4】（b）已知两侧平线）已知两侧平线EF和和GH,判断判断EF和和GH是否平行是否平行。 Z XYW O YH 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 EF和和GH的的V、H投投 影字母顺序不一样，影字母顺序不一样， EF和和GH的指向不一的指向不一 致致 4.3.2 两直线相

20、交 空间两直线相交空间两直线相交 三个同面投影均相交，三个同面投影均相交， 并且交点符合点的投影特性。并且交点符合点的投影特性。 X d bc a c b a d a b d c k k k YW YH O Z V H A Z Y B D C d a c b W c d b a d c a b k k k K O X c d d c d c b a b a a b k k k Z XYW O YH 【例例】已知两直线已知两直线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否相交是否相交。 【解一解一】 作出第三投影作出第三投影 【解二解二】 a k : k b ak: kb 4.3.3 两直线交叉 两直

21、线既不平行又不相交，称为交叉二直线两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线 V H D B C A d d c c a a b b O X Y Z b a b a c d c d X O 4.3.3 两直线交叉 n 可能存在一个或两个同面投影相互平行，但可能存在一个或两个同面投影相互平行，但 不存在三个同面投影都平行。不存在三个同面投影都平行。 和平行的区别和平行的区别 n 可能有一个、两个或三个同面投影相交，但可能有一个、两个或三个同面投影相交，但 交点不符合点的投影特性。交点不符合点的投影特性。 和相交的区别和相交的区别 两直线交叉的投影特性： 4.3.3 两直线交叉 V H 3 4 ( )

22、 D B C A d d c c a a b b 1 2 3 4 1 2 ( ) d c d c a b a b 3 4 3 4 1 2 1 2( ) ( ) O X Y Z 判断重影点的可见性判断重影点的可见性 4.3.4 两直线垂直 直角投影定理：直角投影定理： 若空间两直线若空间两直线垂直，且有一条垂直，且有一条平行于平行于某某一投影面，一投影面， 那么在那么在该该投影面上的投影仍然反映直角。投影面上的投影仍然反映直角。 AB BC AB Bb AB 平面平面 BbcC 有有 AB bc 又又 AB ab 故故 ab bc H A C B a c b 4.3.4 两直线垂直 直角投影定理

23、的逆定理：直角投影定理的逆定理： 若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平 行于行于该该投影面，则两直线必垂直。投影面，则两直线必垂直。 H A C B a c b c O a b c a b X 【例例4-5】已知直线已知直线AB和点和点C的两面投影的两面投影, ,求求C点到点到AB的距离。的距离。 XO a a b b c c d d 距离距离 【例例4-6】求交叉直线求交叉直线AB和和CD的距离的距离MN实长及其投影。实长及其投影。 XO a b ab c c d d n n m m 距离距离 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投

24、影及线面投影分析及线面投影分析 例例 如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二 投影。 解：解： 按对边平行关系画全abdc; 按邻边垂直关系画出ac; 按对边平行关系画全abdc。 单击开始自动演播 已知 作图 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。 b b c AB ab |yA-yB| bc=BC c n m a a X m n O 4.4 平面的投影 .4. 平面的表示法 .4. 各种位置平面 .4. 平面内的点和直线 4.4.1 平面的表示法 用几何元素表示平面有五种形式：

25、用几何元素表示平面有五种形式： 不在一直线上的三个点；不在一直线上的三个点； 一直线和直线外一点；一直线和直线外一点； 相交两直线；相交两直线； 平行两直线；平行两直线； 任意平面图形。任意平面图形。 c a b b a c a b b c a c a b b c a c b b a c a c 几何元素表示法 a b c a b c d d 4.4.1 平面的表示法迹线表示法 迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。 V W H Z Y O X P PW PH PV X Z YW YH O PWPV PH 4.4.1 平面的表示法迹线表示法 迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和

26、投影面的交线。 V W H Z Y O X QW QH QV X Z YW YH O Q QV QW QH 4.4.2 各种位置平面 平面平面 一般位置平面一般位置平面 特殊位置平面特殊位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 4.4.2 各种位置平面 u 水平面水平面/H，V、W u 正平面正平面/V， H、W u 侧平面侧平面/W， H、V 平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直 投影面平行面 投影特性投影特性 H 反映实形反映实形 V、W 积聚成一直线，积聚成一直线，OZ 倾角倾角 0 0 9090 4.4.2 各种位置平面投影面

27、平行面水平面 V W H Z Y O X p p p P X Z YW YH O p p p（TS） 投影特性投影特性 V 反映实形反映实形 H、W 积聚成一直线，积聚成一直线，OY 倾角倾角 0 90 4.4.2 各种位置平面投影面平行面正平面 V W H Z Y O X q Q q q X Z YW YH O q q q （TS） 投影特性投影特性 W 反映实形反映实形 H、V 积聚成一直线，积聚成一直线，OX 倾角倾角 0 90 4.4.2 各种位置平面投影面平行面侧平面 V W H Z Y O X r r X Z YW YH O r r r （TS） r R 4.4.2 各种位置平面投

28、影面平行面侧平面 V W H Z Y O X r r X Z YW YH O r r r （TS） r R 投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映实形在所平行的投影面上的投影反映实形 在另外两个投影面上积聚成直线，且垂在另外两个投影面上积聚成直线，且垂 直于相关的投影轴直于相关的投影轴 4.4.2 各种位置平面 u 铅垂面铅垂面H，V、W u 正垂面正垂面V，H、W u 侧垂面侧垂面W，H、V 垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面 投影面垂直面 p p 投影特性投影特性 H积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、

29、倾角倾角 V、W反映类似形反映类似形 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面铅垂面 V W H Z Y O X X Z YW YH O p p c p P p P 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面正垂面 投影特性投影特性 V积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角 H、W反映类似形反映类似形 V W H Z Y X q X Z YW YH O q q q O Q q q r r 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面 投影特性投影特性 W积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角 H、V反映类似形反映类似形 V W H Z Y O X R X Z YW YH O r r r r

30、 r r 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面 V W H Z Y O X R X Z YW YH O r r r r 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线 与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角 在另两个投影面上的投影是类似图形在另两个投影面上的投影是类似图形 4.4.2 各种位置平面一般位置平面 V W H Z Y O X 一般位置平面一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面对三个投影面都倾斜的平面 b a a c a c b b c X Z

31、YW YH O b b b a c a c a c A B C 4.4.2 各种位置平面一般位置平面 V W H Z Y O X b a a c a c b b c X Z YW YH O b b b a c a c a c A B C 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性： 三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积 不反映平面对投影面的倾角不反映平面对投影面的倾角 平面内的点平面内的点 点在平面内的某一条直线上点在平面内的某一条直线上 平面内的直线平面内的直线 u通过平面内两个点通过平面内两个点 u过平面内一点，且平行于平面内的某

32、一条直线过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线 4.4.3 平面内的点和直线 A b c H a C B M N mn A b c H a C B M m E e 存在条件存在条件 【例例4-7】判断点判断点D是否在平面是否在平面ABC内内。 X c a b b a c O e e d d 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例 已知 已知 ABC ABC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平面。是否属于该平面。 （2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。 k k a b c a b c d d e

33、e 1 1 XO 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例 已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010， 试求点试求点E E的投影。的投影。 X a b c b a c m n mn r s r s 10 15 e e 4.4.3 平面内的点和直线 V W H Z Y O X P PW PH PV C D 正平线正平线 A B 水平线水平线 E F 侧平线侧平线 平面内的投影面平行线平面内的投影面平行线 平面上的水平线平面上的水平线（ H ） 平面上的正平线平面上的正平线（ V ） 平面上的侧平线平面上的侧平线

34、（ W） 【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。 a b c a b d d XO c 【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。 a b c a b e e XO c 【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。 a b c a b f f XO c 2005-10-2扬州大学 孙怀林 补充知识点： 平面上投影面的最大斜度线 (1)平面平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影对投影面的最大斜度线必定

35、垂直于平面上对该投影 面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面 上该投影面平行线的同面投影。上该投影面平行线的同面投影。 (2) 最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意 义义: :用来测定平面对投影面的角度用来测定平面对投影面的角度 H P C D a S A E 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例15 15 求 求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角 。 be BE d d e e a b c a b c 4.5 换面法 .5. 基本概念 .5.

36、 六个基本问题 换面法指空间几何元素位置不变，对投影面进行更换，换面法指空间几何元素位置不变，对投影面进行更换， 使空间几何元素对更换的新投影面处于有利于解题的特殊位置。使空间几何元素对更换的新投影面处于有利于解题的特殊位置。 4.5.1 基本概念 一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线投影面垂直面变换为投影面平行面投影面垂直面变换为投影面平行面 4.5.1 基本概念 一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线投影面垂直面变换为投影面平行面投影面垂直面变换为投影面平行面 进行投影变换时，新投影面的位置必须符合下列两个条件：进行投影变换时，新投影面的位置必

37、须符合下列两个条件： 新投影面必须垂直于一个原有投影面，即新的投影体系仍是直角投影体系新投影面必须垂直于一个原有投影面，即新的投影体系仍是直角投影体系 新投影面必须和空间几何元素处于便于解题的特殊位置新投影面必须和空间几何元素处于便于解题的特殊位置 4.5.1 基本概念点的一次变换点的一次变换 a a a1 aX1 a1 a X1 X V H V H1 V H A a aX X1 H1 新的投影连线垂直于新的投影轴，新的投影连线垂直于新的投影轴，a1a O1X1 新投影到新投影轴的距离，等于被替换的旧投影新投影到新投影轴的距离，等于被替换的旧投影 到旧投影轴的距离，到旧投影轴的距离，a1aX1

38、=aaX 不变 旧 新 旧投影面旧投影面 新投影面新投影面 不变投影面不变投影面 【例例4-8】已知点已知点A的两个投影的两个投影a和和a ，旧投影轴，旧投影轴OX和新投影轴和新投影轴O1X1, 求点求点A的新投影的新投影a1 。 O1 O1 OX X H2 A H a V a a1 X1 ax1 ax X2 a2 V1 ax2 O O1 O2 4.5.1 基本概念点的二次变换点的二次变换 X V H X1 H V1 V1 H2 X2 a a a1 a2 旧旧 不变不变 新新 旧旧 不变不变 新新 旧投影面旧投影面 新投影面新投影面 不变投影面不变投影面 不变投影面不变投影面 新投影面新投影面

39、 旧投影面旧投影面 每次只能变换一个投影面，而且每次只能变换一个投影面，而且新投新投 影面影面和和不变投影面不变投影面构成直角投影体系构成直角投影体系 多次换面时，多次换面时，V和和H应交替更换应交替更换 O O1 O2 4.5.2 六个基本问题 1）一般位置直线变换成投影面平行线）一般位置直线变换成投影面平行线 b1 a1 a b a b X1 X 实长实长 一般位置线一般位置线 换换V面面 “正平线正平线 ”（实长实长，） 一一般位置线般位置线 换换H面面 “水平线水平线 ”（实长实长，） O O1 V H H V1 4.5.2 六个基本问题 2）投影面平行线变换成投影面垂直线）投影面平行

40、线变换成投影面垂直线 X V X1 a a Hb b A B a1(b1) a b a b a1(b1) X X1 水平线水平线“正垂线正垂线” 换换V面面 正平线正平线“铅垂线铅垂线” 换换H面面 H1 O O1 V H V H1 O O1 4.5.2 六个基本问题 3）一般位置直线变换成投影面垂直线）一般位置直线变换成投影面垂直线 a1 a2 b2 A H2 H a V a X1 X X2 V1 B b b1 b X V H H V1 V1 H2 X2 X1 b b b1 b2(a2) a a a1 O O O1 O2 O1 O2 4.5.2 六个基本问题 3）一般位置直线变换成投影面垂直

41、线）一般位置直线变换成投影面垂直线 X V H H V1 V1 H2 X2 X1 b b b1 b2(a2) a a a1 O O1 O2 一般位置线一般位置线“正平线正平线”（实长实长，） 换换V面面 换换H面面 “铅垂线铅垂线” 一般位置线一般位置线“水平线水平线”（实长实长，） 换换H面面 换换V面面 “正垂线正垂线” 2005-10-2扬州大学 孙怀林 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 11 21 2 1 b a b d c a X V H d c 2 1 12 22 例例 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 H2 4.5.2

42、 六个基本问题 4）一般位置平面变换成投影面垂直面）一般位置平面变换成投影面垂直面 a a b e b e c c X X1 b1 c1 一般位置面一般位置面 取水平线取水平线 “正垂面正垂面”（） 换换V面面 一般位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（） 取正平线取正平线 换换H面面 O V H a1 (e1 ) O1 H V1 2005-10-2扬州大学 孙怀林 a c b b a c e n k e n d d X1 V H1 b1 a1 c1 d1 k1 k e1 例例 已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面投影点的正面投影e 。 4.5.2 六个基本问题 5）投

43、影面垂直面变换成投影面平行面）投影面垂直面变换成投影面平行面 b1 a1 X X1 a a b bc c c1 TSTS 正垂面正垂面“水平面水平面”（实形实形） 换换H面面 铅垂面铅垂面“正平面正平面”（实形实形） 换换V面面 O V H O1 H V1 4.5.2 六个基本问题 6）一般位置平面变换成投影面平行面）一般位置平面变换成投影面平行面 X a a1 a2 b b b1 c1 c2 b2 c c TSTS a 一般位置面一般位置面“正垂面正垂面”（） 取水平线取水平线 换换V面面 “水平面水平面”（实形实形） 换换H面面 X1 X2 O O1 V H H V1 O2 V1H2 一般

44、位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（） 取正平线取正平线 换换H面面 “正平面正平面”（实形实形） 换换V面面 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。 a c X V H b b a c d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2 4.6 直线与平面、平面与平面的相对位置 .6. 平行问题 .6. 相交问题 .6. 垂直问题 4.6.1 平行问题直线和平面平行 若平面外一直线平行于平面内任一直线，若平面外一直线平行于平面内任一直线， 则该直线和平面互相平行。则该

45、直线和平面互相平行。 P C D A B 【例例4-9】已知已知ABC和和M点，作过点，作过M点的水平线点的水平线MN/ ABC。 n n m m a b c d a b c d X O 【例例4-10】判断直线判断直线MN与平面与平面ABCD是否平行。是否平行。 e f e f O n m X m a d b c c d a b n 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例3、过点、过点M作直线作直线MN平行于平行于V面和面和ABC。 解： 正平线 a b c m m a b c ABC为正为正 垂面，垂面，直线直线 MN的正面投影的正面投影 mn必定平行于必定平行于 abc。又。又MN 为

46、正平线，为正平线，mn 平行于平行于OX轴。轴。 n n 有唯一解 有多少 解？ 4.6.1 平行问题直线和平面平行 O b b X a p p a 当平面的某一投当平面的某一投 影具有积聚性时，则影具有积聚性时，则 该投影可反映平面和该投影可反映平面和 直线的平行关系。直线的平行关系。 4.6.1 平行问题平面和平面平行 若两平面内分别有一对若两平面内分别有一对相交相交直线直线对应对应平行，平行， 则两平面互相平行。则两平面互相平行。 B C A P Q E D F 【例例4-11】已知已知ABC和和M点点，过过M点作平面平行于点作平面平行于ABC 。 a b c a b c m m e e

47、 f f XO 【例例4-12】判断判断ABC和平面和平面DEFG是否平行。是否平行。 XO c b a a b c d g f f e d e m n n m g 2005-10-2扬州大学 孙怀林 例例 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过点给定。试过点K作作 一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。 e m n m n f e f s r s r d d c a a c b b k k XO 4.6.1 平行问题平面和平面平行 p q q p X O 当两平面均垂直当两平面均垂直 于某投影面时，它们于某投影面时，它们 有积聚性的投影可直有积聚性的投影可直

48、 接反映平行关系。接反映平行关系。 4.6.2 相交问题 P A B K A B C M N 交交 点点 直线和平面的直线和平面的共有点共有点 交交 线线 两平面的两平面的共有线共有线（两个共有点）（两个共有点） P 直线和平面相交直线和平面相交平面和平面相交平面和平面相交 4.6.2 相交问题直线和平面相交 （1 1）一般位置直线和特殊位置平面相交）一般位置直线和特殊位置平面相交 若平面处于特殊位置，其某若平面处于特殊位置，其某 一投影具有积聚性，则直线与平一投影具有积聚性，则直线与平 面的交点可利用直线与平面的积面的交点可利用直线与平面的积 聚性投影相交而直接求得。聚性投影相交而直接求得。

49、 A B K P H a b k a bp a b p k k 【例例4-13】一般位置直线一般位置直线AB与铅垂面与铅垂面P相交，求作交点相交，求作交点K。 直观判别法 可见性判别可见性判别 OX 4.6.2 相交问题直线和平面相交 （2 2）投影面垂直线和一般位置平面相交）投影面垂直线和一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线直线与平面相交，当直线 的投影有积聚性时，交点的一的投影有积聚性时，交点的一 个投影已知，另一投影用个投影已知，另一投影用面上面上 取点取点的方法求出。的方法求出。 K k d m(n) b A B H a C c D M N m(n) b a c d m a b c

50、 n d k k 1 2 1 2 ( ) e e 【例例4-14】铅垂线铅垂线MN与平面与平面ABCD相交，求作交点相交，求作交点K。 可见性判别可见性判别 重影点判别法 XO 4.6.2 相交问题直线和平面相交 （3 3）一般位置直线和一般位置平面相交）一般位置直线和一般位置平面相交 H M N P A C B E F K 辅助平面法辅助平面法 包含一般位置直线作一辅助平面，包含一般位置直线作一辅助平面， 通常作投影面的垂直面通常作投影面的垂直面 作辅助平面和一般位置平面的交线作辅助平面和一般位置平面的交线 求作此交线和一般位置直线的交点求作此交线和一般位置直线的交点 k 【例例4-15】一

51、般位置直线一般位置直线MN和一般位置平面和一般位置平面ABC相交，相交， 求交点求交点K，并判别可见性。，并判别可见性。 1 2 e f f e n m H M N P A B C E F K c a m n c a b b PH k 1 2 ( ) 3 3 4 ( ) 4 【解一解一】 【解二解二】换面法换面法 将将ABC变换成投影面垂直面变换成投影面垂直面 OX 4.6.2 相交问题平面和平面相交 （1 1）两特殊位置平面相交）两特殊位置平面相交 两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于 该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影

52、求得。该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。 【例例4-16】铅垂面铅垂面P和和Q相交，求作交线相交，求作交线KL，并判别可见性。，并判别可见性。 OX p p q q kl k l 4.6.2 相交问题平面和平面相交 （2 2）一般位置平面与特殊位置平面相交）一般位置平面与特殊位置平面相交 b A B P H a C c M N m n 两平面的交线可利用特殊两平面的交线可利用特殊 位置平面的积聚性投影求得。位置平面的积聚性投影求得。 【例例4-17】求一般位置平面求一般位置平面ABC与与铅垂面铅垂面Q的交线的交线KL。 a b q a b q c c k l k l OX 4.6.2 相交问题平面和平面相交 （3 3）两一般位置平面相交）两一般位置平面相交 可采用直线与平面求交点的方法求得。可采用直线与平面求交点的方法求得。 也可以用换面法。也可以用换面法。 2005-10-2扬州大学 孙怀林 1、用直线与、用直线与 平面求交点平面求交点 的方法求出的方法求出 两平面的