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文档简介
1、复变函数与积分变换教案 复变函数 第五章章节名称:第五章 留数学时安排:6学时教学要求:理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法;理解留数的定义;熟练掌握计算留数的方法;理解留数基本定理,熟练掌握用留数理论计算积分。教学内容:1.理解孤立奇点的概念,掌握判别孤立奇点类别的方法;2了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。3理解留数的定义;4熟练掌握计算留数的方法;5理解留数基本定理,熟练掌握用留数理论计算积分。教学重点:留数的定义,留数的计算教学难点:用留数理论计算积分教学手段:课堂讲授教学过程:第五章 留数1、孤立奇点1.相关定义定义1 设点为函数的奇点,若在点的某个去心邻域内解析,则称点
2、为函数的孤立奇点定义2 设点为函数的孤立奇点:若在点的罗朗级数的主要部分为零,则称点为的可去奇点;若在点的罗朗级数的主要部分有有限多项,设为则称点为的级(阶)极点;若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项,则称点为的本性奇点例:依定义,点为的可去奇点,点为的二级极点,点为的本性奇点2.函数在孤立奇点的去心邻域内的性质 函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理1 若点为的孤立奇点,则下列三个条件是等价的:点为的可去奇点;函数在点的某个去心邻域内有界函数在极点的去心邻域内的性质定理2 若点为的孤立奇点,则下列三个条件是等价的点为的级极点;在点的某个去心邻域内可表示为其中的在点的邻域 内解析,且;点为的级零
3、点(可去奇点视作解析点时)定理3 点为函数的极点的充分必要条件是函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理4 点为函数的本性奇点的充分必要条件是不存在,即当时,既不趋于有限值,也不趋于定理5 若点为的本性奇点,且在点的充分小的邻域内不为零,则点必为的本性奇点例 设,试求在复平面上的奇点,并判定其类别解 首先,求的奇点的奇点出自方程的解解方程得 若设,则易知为的孤立奇点另外,因所以,由零点的定义知为的一级零点从而知均为的一级极点2、留数1,定义3 设为函数的孤立奇点,为圆周:,若在上解析,则称为在点的留数(或残数),记作或,即 2, 留数计算规则:规则1如果为的一级极点,那么.规则2如果为的级极点,那
4、么.规则3设及在解析,如果,那么为的一级极点,而例1 设,求解法1 由定义 注意:这里的积分路径的半径并非只能取,只须使半径小于1即可满足定义的条件解法2 因点为的孤立奇点,所以,在内有 由此得,依(7.2)式得解法3 因点为的一级极点,则按规则1 解法4 因点为的一级极点,则按规则3 3,定义4设为函数的孤立奇点,为圆周:,若在内解析,则称为函数在点的留数(或残数),记作或,即 规则4 例2 设,求解 取圆周,由(7.6)式得4,定理6 设区域是由围线的内部构成(如图),若函数在内除含有限个奇点外解析,且在上除点外连续,则 a1c1 a2c2 a3c3 ancnGc5,定理7如果函数在扩充复
5、平面内只有有限个孤立奇点,那么在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零。例3计算积分解 首先,弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由求出被积函数的奇点有 与 因,所以,又因,故,即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点其次,经检验,得 3、留数在定积分计算上的应用1. 形如的积分通过一定的转化,可得 例 计算2. 形如的积分通过一定的转化,可得 例4 计算积分解 经验证,此积分可用公式一计算首先,求出在上半平面的全部奇点令即 于是,在上半平面的全部奇点只有两个: 与 且知道,与均为的一级极点其次,算留数,有 最后,将所得留数代入公式得 3. 形如的积分 例5 计算积分解 经验证,该积分可用公式二计算首先,求出辅助函数在上半平面的全部奇点由解得与为的奇点,而,所以,在上半平面只有一个奇点,且为的一级极点其次,计算留数有 最后,由公式得 于是容易得到 与 练习:P.185 ,13(6)教学小结:1.理解孤立奇点的概念,掌握判别孤立奇点类别的方法;熟练掌握将函数在孤立奇点(无穷远点除外)展成罗朗级数的方法;2.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质;3理解留数(也叫残数)的定义;4熟练掌握计算留数
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