第22章向量的加法

1、向量的加法(1) 5 13 你从你从A A地出发向东行走地出发向东行走5 5千米到千米到B B地地, ,再向再向 北又走了北又走了5 5千米到达千米到达C C地地, ,那么你这时在那么你这时在A A 地的什么方向上地的什么方向上? ?到到A A地的距离是多少地的距离是多少? ? A B C 求两个向量的求两个向量的和向量和向量的的 运算叫做运算叫做向量的加法。向量的加法。 称：称： 是是 与与 的的和向量和向量 ACABBC ABBCAC 向量与合在一起是 两次位置移动合在一起，两次位置移动合在一起， 其结果就是一次位置移其结果就是一次位置移 动动。 a b O O. . A A a B Bb

2、 ba+ 如图，已知向量如图，已知向量 ，怎样求这两个向，怎样求这两个向 量的和向量量的和向量 ba a b 、 作法作法：11在平面内任取在平面内任取一点一点O O，作作OA= a 2过过A A作作 ABAB= b b 3则则向量向量OB=a OB=a b b 求求不平行的两个向量的和向量不平行的两个向量的和向量, , 只要把第二个向量和第一个向量只要把第二个向量和第一个向量 首尾相接首尾相接 ，那么以第一个向量的，那么以第一个向量的 起起点为点为起起点，第二个向量的点，第二个向量的终终点为点为 终终点的向量就是和向量。点的向量就是和向量。 向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则： 怎样怎

3、样求两个不平行向量的和向量？求两个不平行向量的和向量？ A B C AB +BC+BC AC M P N MP +PN+PN MN _ _ _ _ 概念巩固概念巩固 a b 已知：如图已知：如图 且且 求：求：ba，a b ba a b a+ba+b 方向相同方向相同 模相加模相加 . O . A . B a b 已知：如图已知：如图 且且 求：求：ba，a b ba a b a+ba+b 与模大的方向相同与模大的方向相同 大模减小模大模减小模 . O . A . B 平行向量相加：平行向量相加： a b ba OAB ab OBABOAba a b OA a B ba OBABOAba ba

4、 已知：已知： 且且 求：求： ba，a b 同向同向 反向反向 零向量：零向量： 长度为零的向量长度为零的向量 记作：记作：0 方方 向：向： 任意的任意的 大大 小：小： a a= = 0 0 aa 0 A B BAABaa)( 相反向量相反向量 AB +0+0 AB 0 +AB+AB AB （ ） b a c （3） 得得 + = （ ） bac 得得 + = （ ） acb （1） + =（ ）AB BA00 得得 + = （ ） ac b （2） + = a bc cba 在实数运算中在实数运算中, ,加法有交换律、结合律加法有交换律、结合律, ,即即 a+b=b+a, (a+b)+

5、c=a+(b+c)a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) b a b a a+ba+b abba A B C D 向量的加法满足向量的加法满足交换律交换律 向量的加法满足结合律向量的加法满足结合律 (a+b)+c a bB A D c C 已知：如图所示，已知：如图所示， 可可怎怎 样用样用 ， ， 来表示？来表示？ AD cab a+(b+c) AD=AC+CD= = =AB+BD AD 向量加法的运算律：向量加法的运算律： 交换律交换律： abba 结合律：结合律： )()(cbacba 例例1、如、如图，已知平行四边形图，已知平行四边形ABCD，对，对 角线角线AC,BD相交于

6、点相交于点O, 求求： CB ABBD (1) =_, AB CA =_ ABAD (2) + =_ ADCO(3) + =_ D C B A O AD OD AC A B C D E CA+BD =CE 例例2、如、如图，已知平行四边形图，已知平行四边形ABCD，对，对 角线角线AC、BD相交于点相交于点O, 在图中作出在图中作出 + 。 CA BD F =BF AB +BP+BP AP BA +AB+AB 0 AC +CP+CP AP CP +AC+AC AP PM +NP+NP NM 例例3、填空、填空题题 1、用三角形法则求向量的和、用三角形法则求向量的和b + a a b a b a

7、 b 两两个向量之和仍然是向量吗？个向量之和仍然是向量吗？零向量零向量与任一向量的和是什么？与任一向量的和是什么？ 当当两两向量向量平行平行时时，如何作出两向量的，如何作出两向量的 和向量？和向量？ AB+BD =AD 2、如图，已知平行四边形、如图，已知平行四边形ABCD，作向量，作向量AB，CA，BD 求作：（求作：（1） AB+BDAB+CA （2） CA+BD A B C D A B C D AB+CA = CA+AB =CB E CA+BD =CE a b ADc a,b,cCD. ABCDABBC AC BD 3、平行四边形中， ， ， 试用来表示， ， -a-a a a b b

8、c c abab () baba 如果如果 是两个不平行的向量，那是两个不平行的向量，那 么求它们的和向量时，可以在平面内么求它们的和向量时，可以在平面内 任取一点为公共起点，作两个向量分任取一点为公共起点，作两个向量分 别与别与 相等；再以这两个向量为相等；再以这两个向量为 邻边作平行四边形；然后以所取的公邻边作平行四边形；然后以所取的公 共起点为起点，作这个平行四边形的共起点为起点，作这个平行四边形的 对角线向量，则这一对角线向量对角线向量，则这一对角线向量就是就是 的和向量。的和向量。 上述规定叫做上述规定叫做向量加法的平行四边形向量加法的平行四边形 法则法则。 ba 、 、 ba 、

9、、 ba 、 、 a b a b 已知向量、，用向量加法的平行四边形法则 作向量 作法：作法： 1. 在平面内任取一点O,作 OA=a,OB=b; 2. 以以OA、OB为邻边，作为邻边，作 平行四边形平行四边形OBCA； 3. 分别作向量分别作向量OC、BA. 则则OC=a+b O A B C CB+AD+BA=_ 4填空：填空： （1）AB+BC+CA=_ AC+CA=0 （2）AB+BC+BA=_AC+BA=BA+AC =BC （3） CD 5、完成书上练习、完成书上练习P109 今天我学到了今天我学到了 向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则 （）（）第二个向量与第一个向量第二个向量与

10、第一个向量首尾相接首尾相接 （）以（）以第一个向量的起点第一个向量的起点为为起点起点，第二第二 个向量的终点个向量的终点为为终点终点的向量就是的向量就是和向量和向量 会用三角形法则作两个向量的和向量会用三角形法则作两个向量的和向量 向量的加法满足交换律和结合律向量的加法满足交换律和结合律 零向量的定义和特征零向量的定义和特征 已知：四边形已知：四边形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD交与点交与点O O，AOAO OCOC，BOBOODOD 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 A B C D O AOOC、BOOD 得得ADBC、ADBC 四边形四边形AB

11、CDABCD是平行四边形是平行四边形 证明：作向量证明：作向量AO、OC、BO、OD 又又AO与与OC同向同向、OD与与BO同同向向 AOOC、ODBO AOOD= OC+BO ADBC 向量的加法(2) 一、温故旧知一、温故旧知： A B C D 如图：在平行四边形如图：在平行四边形ABCD中，联结对角线中，联结对角线 BD，则：，则： _;=BD+DC(2) _;=AD+BA(1)BD BCDCBD A B C D ？ ，如何作出，及向量思考：已知四边形 CDBCAB CDBC ABABCD BCABACAC则作, CDACADAD则再作,CDBCAB CDBCAB 你能得到什么结论你能得

12、到什么结论? 当三个向量当三个向量顺次首尾相接顺次首尾相接时时,这三个向量相加这三个向量相加所所 得的得的和向量是和向量是以以_为为起点起点， _为为终点的向量终点的向量. 第一第一个向量的起点个向量的起点 第三个向量的终点第三个向量的终点 所以, AD 二、新课探索： a b c d O A B C D .,1(1).dcbadcba求作、已知互不平行的向量例题 二、新课探索： dcbaCDBCABOAOD .,)2(dcbacbdcba求作是平行向量与其中、已知向量 a b cd O A B C D dcbaCDBCABOAOD 二、新课探索： 二、新课探索： 你能归纳你能归纳出出n（n2

13、）个）个向量相加的法则吗向量相加的法则吗? 一般一般地地,几个向量相加几个向量相加,可把这几个向量可把这几个向量_, 那么那么它们的和向量是以它们的和向量是以_为为起点起点, _为终点的向量为终点的向量. 这样的规定叫做几个向量相加的这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则多边形法则. 顺次首尾相接顺次首尾相接 第一个向量的起点第一个向量的起点 最后一个向量的终点最后一个向量的终点 A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+An-1 n-1A An n=A =A1 1A An n 二、新课探索： 例例1、 如图如图,已知梯形已知梯形ABCD中中,ABDC,点点E 在在AB上上,EC

14、AD.在图中指出下列几个向量在图中指出下列几个向量 的和向量的和向量: .ADCEBCAB(2) ;BECDECAE(1) 例例2 、化简：、化简： AB+DF+CD+BC 解：解：AB+DF+CD+BC=AB+BC+CD+DF =AC+CD+DF=AD+DF=AF 另解：另解： AB+DF+CD+BC=(AB+BC)+(CD+DF) =AC+CF=AF 引申：引申：AB+DF+CD+BC+FA=_.0 注注：多：多个向量的加法运算，可以按照任意的次个向量的加法运算，可以按照任意的次 序与任意的组合进行序与任意的组合进行。 A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3+A+An-1 n-

15、1A An n+A +An nA A1 1=0=0 三、课内训练： _.EFDECDBCAB(3) ._BMMB_,EFFCAE_,EDBEAB(2) ._EOOE_,BACB_,BCAB) 1 (. 2 AC 填空： .,1.dcbadcba求作、如图：已知向量 a b c d a b c d ACCA0 ADACAC AF 三、课内训练： 3.如图如图,已知五边形已知五边形ABCDE,适当选用它的几条适当选用它的几条 边作向量边作向量,把下列向量分别用所选定的向量的关把下列向量分别用所选定的向量的关 系式表示出来系式表示出来: (1)(2)DCBE BCABDEDCEA解： AEBABE

16、DECDBCBE或 AB C D E F O 4 4、已知：已知：O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心，求作下列向量：的中心，求作下列向量： （1 1）OA+OCOA+OC； （2 2）BC+FEBC+FE； （3 3）OA+FEOA+FE。 三、课内训练： 5、完成书上练习、完成书上练习P112 四、本课小结： 本节课我们学习了本节课我们学习了 你有哪些收获你有哪些收获? ? 1.几个向量相加的几个向量相加的多边形法则多边形法则: 一般地一般地,几个向量相加几个向量相加,可把这几个向量可把这几个向量顺次首尾相接顺次首尾相接, 那么它们的和向量是以那么它们的和向量是以第一个向量的起点第一个向量的起点为起点为起点, 最后一个向量的终点最后一个向量的终点为终点的向量为终点的向量. 2.在化简几个向量的加法算式时在化简几个向量的加法算式时(如如例例1),可以先找出几个可以先找出几个 已经首尾相连的向量已经首尾相连的向量,利用多边形法则或三角形法则得到利用多边形法则