项目四 单相交流电路的分析与检测8

1、学习目标学习目标 项目四项目四 单相交流电路的分析与检测单相交流电路的分析与检测 重点重点 难点难点 项目四项目四 单相交流电路的分析与检测单相交流电路的分析与检测 学习内容：学习内容：实训项目：实训项目： 项目四项目四 单相交流电路的分析与检测单相交流电路的分析与检测 正弦电压和正弦电流：正弦电压和正弦电流： 大小和方向都随时间按正弦规律做周大小和方向都随时间按正弦规律做周 期性变化的电压、电流和电动势统称为正期性变化的电压、电流和电动势统称为正 弦交流电。表达式为：弦交流电。表达式为： )sin( um tUu )sin( im tIi 一、正弦交流电的三要素一、正弦交流电的三要素 )si

2、n( em tEe 以正弦电流为例以正弦电流为例 )sin( im tIi 振幅振幅角频率角频率 、和和称为正弦量的的三要素。称为正弦量的的三要素。 相位相位初相角初相角: : 简称初相简称初相 i tO Im i 波形：波形： ：正弦量单位时间内变化的弧度数正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系： f T 2 2 ：正弦量完整变化一周所需要的时间正弦量完整变化一周所需要的时间 ：正弦量在单位时间内变化的周数正弦量在单位时间内变化的周数 周期与频率的关系：周期与频率的关系： T f 1 ：正弦量的最大值正弦量的最大值 ：让周期电流让周期电流i i和直流

3、电流和直流电流I分分 别通过两个阻值相等的电阻别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的，如果在相同的 时间时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该内，两个电阻消耗的能量相等，则称该 直流电流直流电流I的值为周期电流的值为周期电流i的的有效值。有效值。 根据有效值的定义有：根据有效值的定义有： 周期电流的有效值为：周期电流的有效值为： T dt T I i 0 21 T RdtiRTI 0 22 )sin()( im tIti 对于正弦电流，因对于正弦电流，因 I I m m T i m T I dttI 707.0 2 )( 0 22 1 sin 所以所以为：为： 同理，同理，为：为： m m

4、 U U U707. 0 2 时时的的瞬瞬时时值值。值值和和试试求求该该正正弦弦电电压压的的有有效效 已已知知正正弦弦电电压压例例 st Hzftu 1 . 0 ,50,sin3111 .11 VftUu V U U m m 0)1 . 0502sin(3112sin 220 2 311 2 解解： ：正弦量表达式中的角度正弦量表达式中的角度 ：t=0时的相位，时的相位，(-1800,1800 ：两个同频率正弦量的相位之差，其两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如值等于它们的初相之差。如 )sin( um tUu )sin( im tIi iuiu tt)()( 相位差为：相

5、位差为： 0，u 与 i 同相。 0，u 超前 i，或 i滞后 u。 ，u 与 i 反相。 2 ，u 与 i 正交。 (a) u 与 i 同相 (b) u 超前 i u、i tO u i u、i tO u i u、i tO u i u、i tO u i (c) u 与 i 反相 (d) u 与 i 正交 滞后的角度是多少？滞后的角度是多少？试问哪一个电流滞后？试问哪一个电流滞后？ 电流分别为：电流分别为：设有两个同频率的正弦设有两个同频率的正弦补例：补例： Ati Ati )30sin(8 )80cos(6 0 2 0 1 复数复数A可用复平面上的有向线段来表示。可用复平面上的有向线段来表示。

6、 该有向线段的长度该有向线段的长度r称为复数称为复数A的的，模总模总 是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹 角角称为复数称为复数A A的的。 根据以上关系式及欧拉公式根据以上关系式及欧拉公式 复数复数A的实部的实部a1及虚部及虚部a2与与 模模a及辐角及辐角的关系为：的关系为： sinrb cosra 22 bar a b arctg rrejrrjbaA j sincos 代数型代数型三角函数型三角函数型 指数型指数型极坐标型极坐标型 可将复数可将复数A表示成代数型、三角函数型、指数表示成代数型、三角函数型、指数 型和极坐标型型和极坐标型4 4种形式。种形

7、式。 sincosje j 1111 rjbaA 2222 rjbaB 复数的四则运算：复数的四则运算： 设两复数为：设两复数为： (1)(1)相等。相等。若若a1=a2，b1=b2，则，则A=B。 (2)(2)加减运算：加减运算： )()( 2121 bbjaaBA (3)(3)乘除运算：乘除运算： )( 21 2 1)( 2 1 2 1 21 2 1 r r e r r er er B A j j j )( 2121 )( 2121 2121 rrerrererBA jjj 1) 相量相量 反映正弦量的振幅（或有效值）和初相的一复反映正弦量的振幅（或有效值）和初相的一复 数就称为正弦量的相

8、量表示，简称相量。例如正弦数就称为正弦量的相量表示，简称相量。例如正弦 电流和电压：电流和电压： u j i j UUeU IIeI u i 用相量表示：用相量表示： )sin(2 )sin(2 u i tUu tIi 正弦量正弦量相量相量 )sin( im tIi imm II )sin( um tUu umm UU )sin(2 i tI i II )sin(2 u tU u UU 有效值相量和振幅相量的关系：有效值相量和振幅相量的关系： II m 2UU m 2 2) 相量图相量图 将几个同频率的正弦量在同一个复平面上用将几个同频率的正弦量在同一个复平面上用 相量表示出来，所得的图形称为

9、相量图。相量表示出来，所得的图形称为相量图。 例题例题11.2 分别写出代表下列正弦电流的相量分别写出代表下列正弦电流的相量 ，并画出相量图。，并画出相量图。 Vtu Vtu Ati )120100sin(21003 )60100sin(21002 )30100sin(2501 0 2 0 1 0 1 ） ） ） j 6 1 j 3 1 2 j 3 2 50A50e A 50 cosjsinA(25 3j25)A 66 100V100e V 100 cosjsinV(50j50 3)V 33 100V100eV 22 100 cosjsinV( 50j50 3)V 33 I U U 解： 注意

10、：注意： 1）在相量图上能形象地看出各个正弦量的在相量图上能形象地看出各个正弦量的 大小和相互间的相位关系；大小和相互间的相位关系； 2）只有同频率的正弦量才能画在同一相量只有同频率的正弦量才能画在同一相量 图上。图上。 3) 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减 步骤步骤：( (通过相量图合成）通过相量图合成） 1 1、选择任一相量为参考相量、选择任一相量为参考相量, ,在同一复平面上画出两在同一复平面上画出两 个正弦量的相量图。个正弦量的相量图。 2 2、再利用平行四边形法则作出两相量的和相量。、再利用平行四边形法则作出两相量的和相量。 3 3、分析得出和相量的长度及和相量与参考相量的夹、

11、分析得出和相量的长度及和相量与参考相量的夹 角。角。 4 4、然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。、然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。 2 2 例例11.3相量图相量图 解解: :选择任一相量为参考相量选择任一相量为参考相量, ,画出两个同频率的相量画出两个同频率的相量, ,利用平利用平 行四边形法则作出和相量行四边形法则作出和相量, ,如图如图11-611-6所示。所示。 由相量图可得由相量图可得 由于所得到的平行四边形是个正方形由于所得到的平行四边形是个正方形, ,所以所以 2222 12 100100 V 100 2VUUU 12 454590 100 2 100 22si

12、n(31490 )V 200sin(31490 )V U uuu t t 即 所以 步骤步骤：( (通过相量式直接计算）通过相量式直接计算） 1)1)先由已知的正弦量瞬时值表达式写出各自对应的相先由已知的正弦量瞬时值表达式写出各自对应的相 量极坐标式。量极坐标式。 3)3)再将计算结果的代数式转换成极坐标式。再将计算结果的代数式转换成极坐标式。 4)4)然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。然后直接写出和相量所对应的正弦量的解析式。 解解: :将将u1、u2用相量式表示为用相量式表示为 2)2)把两个相量分别转换成代数式进行加减把两个相量分别转换成代数式进行加减, ,得到两个得到两个 正弦

13、量的和相量。正弦量的和相量。 2 2 0 0 00 1 2 12 12 100 45 V 100 135 V 100 45100 1 200sin(31490 35 j100 2 )V V U U U =UU uuut 因为 所以 电阻元件伏安关系：电阻元件伏安关系：u=Ri 设流过电阻的电流为：设流过电阻的电流为： 则：则： RIU iu IRU )sin(2)sin(2 )sin(2 ui i tUtIRu tIi 例例11-5 在图在图310中已知电压中已知电压 ，电阻，电阻 ，求电流，求电流 i。 )(20100sin(24 0 Vtu 2R )(20100sin(22 )3( )(2

14、02 )2( )(204 )1( 0 0 Ati A R U I VU 对应的正弦表达式：对应的正弦表达式：根据已求得的相量写出根据已求得的相量写出 算得：算得：根据相量关系式进行计根据相量关系式进行计 为：为：写出已知正弦量的相量写出已知正弦量的相量解：解： 电感元件伏安关系：电感元件伏安关系： 设电感上流过的电流为：设电感上流过的电流为： 则：则： dt di Lu IjXILjU L IXLIU L 90 iu ：XL=L，与频率成正比。，与频率成正比。 i L i (a) 电感元件 I U +u u (b) 相量图 )90sin(2 )cos(2 )sin(2 0 i i i tU t

15、IL dt di Lu tIi 例例11-6 在图中已知电压在图中已知电压 电感电感 ，求，求 电压频率为电压频率为50Hz和和1kHz时通过电感的电流时通过电感的电流i。 ,220Vu mHL127 )(40 )/(3142 50 LX sradf Hz L 时：当频率为 行计算得：解：根据相量关系式进 )(5 . 5A X U I L A X U I fLX kHz L L 275. 0 )(8002 1 时：当频率为 CUI 90 ui IjXI C jU C 1 或或 ：XC=1/C，与频率成反比。，与频率成反比。 u (a) 电容元件 I U i i C +u (b) 相量图 电感元

16、件伏安关系：电感元件伏安关系： 设加在电容两端的电压为：设加在电容两端的电压为： 则：则： dt du Ci UCjI )90sin(2 )cos(2 )sin(2 0 u u u tUC tCU dt du Ci tUu 例例11-7 图中已知电压图中已知电压 ，电阻，电阻 ，求电容的容抗，流过的电流，求电容的容抗，流过的电流I，并，并 写出电流的瞬时表达式。写出电流的瞬时表达式。 )(30314sin(311 0 Vtu FC40 )(80 1 )/(314 )(30220 0 C X srad VU C 又因为： 相量为：解：写出已知正弦量的 )(12075. 2 80901 30220

17、 0 0 0 A jX U I C Ati AI )120314sin(275. 2 75. 2 0 将正弦交流电路中的电压、电流用将正弦交流电路中的电压、电流用 相量表示，元件参数用阻抗来代替。运相量表示，元件参数用阻抗来代替。运 用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆 定律的相量形式来求解正弦交流电路的定律的相量形式来求解正弦交流电路的 方法称为方法称为。 无源二端网络端口电压相量和端口电无源二端网络端口电压相量和端口电 流相量的比值为该无源二端网络的流相量的比值为该无源二端网络的阻抗阻抗， 并用符号并用符号Z表示，即：表示，即： m m I U Z I U

18、Z Z + U 无源 二端 网络 + U I I (a) 无源二端网络 (b) 等效电路 或或 mm IZU IZU 或或 称为欧姆定律的相量形式。称为欧姆定律的相量形式。 电阻、电感、电容的阻抗：电阻、电感、电容的阻抗： C jjXZ LjjXZ RZ 1 CC LL R RI +U I jXL +U I jXC +U 将所有元件以相将所有元件以相 量形式表示：量形式表示： z ZjXRZ| 电阻电阻电抗电抗阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 22 |XRZ R X z arctg z ZRcos| z ZXsin| )( iu i u I U I U I U Z m m I U I U Z | iu

19、z 0 z 0 z 0 z C jXC 的阻抗的阻抗 L XLj 的阻抗的阻抗 R R的阻抗的阻抗 u，i ， 相量相量U I 将所有元件以相量形式表示：将所有元件以相量形式表示： + u + uL + uR uC + R L C i (a) RLC 串联电路 (b) 相量模型 + U + L U + R U C U + R jXL jXC I jXRXXjR ZZZZ )( CL CLR IjXU IjXU IRU CC LL R IZIXXjR UUUU )( CL CLR + R U + U + L U C U + R jXL jXC I 由欧姆定律：由欧姆定律： 由由KVL： 22 (

20、) arctan(124) LC LC ZRXX XX R )( iu i u I U I U I U Z 阻抗三角形阻抗三角形 L U C U R U U I C U L U C U U R U I L U L U C U R U U I C U (a) X 0 (b) X 0，0 z ，电路呈感性。 （2）当 C L 1 时，X 0，0 z ，电路呈容性。 （3）当 C L 1 时，X = 0，0 z ，电路呈电阻性。 2 CL 22 CL 2 R )()(XXRIUUUU 例：例：RLC串联电路。已知串联电路。已知R=30，L=127mH， C=40F，U=311sin(314t+600

21、)V。(1) 求感抗、求感抗、 容抗、阻抗及阻抗角；容抗、阻抗及阻抗角；(2)电流的有效值和瞬时电流的有效值和瞬时 值；值； (3)各部分电压的有效值。各部分电压的有效值。 解：解：(1)(1) 4010127314 3 L LX 80 1040314 11 6 C C X 5350)8040(30 )( CL j XXjRZ 电路呈容性电路呈容性 (2) Att Z U I V U U m )113314sin(2 . 6)5360314sin(24.4i A4 . 4 50 220 220 2 000 (3) VIXU IXU RIU 3524 . 480 V1764 . 440 V132

22、4 . 430 CC LL R 很显然：很显然： CLR UUUU Z2 Z1 I + U (a) 两个阻抗串联 + + 1 U 2 U 21 ZZZ 21 21 ZZ ZZ Z U ZZ Z U 21 1 1 U ZZ Z U 21 2 2 I ZZ Z I 21 2 1 I ZZ Z I 21 1 2 1 I 2 I Z1 I + U Z2 (b) 两个阻抗并联 Z2 Z1 I + U + + 1 U 2 U 3010566. 8 466. 296 21 j jjZZZ解：解： A022 3010 30220 Z U I V3 .56238 022)96( 11 jIZU V4 .567

23、.105 022)466. 2( 22 jIZU 。的电压，并作出相量图的电压，并作出相量图试计算电流和各阻抗上试计算电流和各阻抗上 电路如图所示，电路如图所示，例例 ,30220 ,)466. 2(,)96(2 .12 0 21 VU jZjZ 1 I 2 I Z1 I + U Z2 解：解： 0 0 0 00 21 21 0 2 0 1 5 .2647. 4 5 .1018.11 1650 4368 5353710 535)43( 3710)68( jjZZ ZZ Z jZ jZ A5 .262 .49 5 .2647. 4 0220 Z U I 量量。试试计计算算电电路路中中各各电电流流

24、相相 电电路路如如图图所所示示，例例 ,0220 ,)43(,)68(3 .12 0 21 VU jZjZ A Z U I 0 0 0 1 1 3722 3710 0220 A Z U I 0 0 0 2 2 5344 535 0220 1 I 2 I Z1 I + U Z2 )sin(2 )sin(2 u i tUu tIi )2cos()cos( )sin(2)sin(2 iuiu ui tUI tUtIuip 设端口电压电流关联参考，且：设端口电压电流关联参考，且： 瞬时功率：瞬时功率： 波形如图所示：波形如图所示： - + N u i u i t 储存储存 能量能量 P 0 P 0 t

25、 - + N u i )2cos()cos( )sin(2)sin(2 iuiu ui tUI tUtIuip t u i p t （1 1）当）当N=R时：时： 顺时功率始终大于零，说明电阻顺时功率始终大于零，说明电阻 在任何时刻总是总是消耗能量的。在任何时刻总是总是消耗能量的。 )2cos( 0 iu iu tUIUIp （2）当）当N=L时：时： )2cos( 900 iu iu tUIp u i t 储存储存 能量能量 P 0 P 0 t 分析：分析： 由图可知：由图可知： 电感只与电感只与 外电路进外电路进 行能量的交行能量的交 换，不消耗换，不消耗 能量。能量。 （3）当）当N=C

26、时：时： )2cos( 900 iu iu tUIp 充电充电 p 放电放电 放电放电 P 0 储存能量储存能量 i u t 90分析：分析： 由图可知：由图可知： 电容只与电容只与 外电路进外电路进 行能量的交行能量的交 换，不消耗换，不消耗 能量。能量。 cos )2cos(cos 11 00 UI dttUI T pdt T P TT cos cos 表示。称为功率因数，用 对 电 阻 元 件 R ，0 ，UIP 。 对 电 感 元 件 L ， 90，0 P。 对 电 容 元 件 C ，90，0 P。 对 无 源 二 端 网 络 ，= z 。 可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容可见电阻

27、总是消耗能量的，而电感和电容 是不消耗能量的，其平均功率都为是不消耗能量的，其平均功率都为0 0。平均功率。平均功率 就是反映电路实际消耗的功率。就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络无源二端网络 各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所 消耗的平均功率。消耗的平均功率。 sinUIQ 表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。 单位为乏单位为乏（Var） 对 电 阻 元 件 R ，0 ，0 Q。 对 电 感 元 件 L ， 90，UIQ 。 对 电 容 元 件 C ，90，UIQ。 UIS 单位为伏安单位为伏安（

28、VA） 222 QPS 平均功率平均功率P、无功功率无功功率Q和视在功率和视在功率S的关系：的关系： 表示用电设备的容量。表示用电设备的容量。 例例11-7：图示电路。已知：图示电路。已知R=2，L=1H，C=0.25F， U=10 sin2tV。求电路的有功功率。求电路的有功功率P、无功功率、无功功率Q、 视在功率视在功率S和功率因数和功率因数。 2 + u i i1 i2 R L C 解：解： V010U 212 L LX 2 25. 02 11 C C X 452222 222 )2)(22()( CL CL j jj jj jXjXR jXjXR Z A4525 . 2 4522 01

29、0 Z U I 707. 0)45cos(cos z W25707. 025 . 210cos z UIP Var25 sin z UIQ VA225 UIS ： (1)(1)提高发、配电设备的利用率；提高发、配电设备的利用率； (2)(2)减少输电线路的电压降和功率损失。减少输电线路的电压降和功率损失。 ： 在感性负载上并联适当的电容。在感性负载上并联适当的电容。 例例11-11-：一台功率为：一台功率为1.1kW的感应电动机，接在的感应电动机，接在220 V、50 Hz 的电路中，电动机需要的电流为的电路中，电动机需要的电流为10 A，求：，求：(1)(1)电动机的功率电动机的功率 因数；

30、因数；(2)(2)若在电动机两端并联一个若在电动机两端并联一个80F的电容器，电路的功的电容器，电路的功 率因数为多少？率因数为多少？ 解：解：(1) 5 . 0 10220 10001 . 1 cos UI P (2)在未并联电容前，电路中的电流为在未并联电容前，电路中的电流为 。并联电容后，电动。并联电容后，电动 机中的电流不变，仍为机中的电流不变，仍为 ，这时电路中的电流为：，这时电路中的电流为： 1 I 1 I C1 III + U 1 I C I 电 动 机 R (a) 电路 (b) 相量图 U I L I I C I I C C I 1 I 85. 03 .32coscos 3 .

31、32 5 5 . 566. 8 arctgarctg A560cos1060cos A66. 860sin1060sin A5 . 51080314 C 6 C C I II II II CU X U I 由相量图得：由相量图得： + U 1 I C I 电 动 机 R (a) 电路 (b) 相量图 U I L I I C I I C C I 1 I 由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用 下，当下，当时，电路呈电阻性，此时电时，电路呈电阻性，此时电 路的工作状态称为路的工作状态称为。 + u + uL + uR uC + R L C i )

32、1 ( )( CL C LjR XXjRZ 0 1 CL C LXX 0arctg CL R XX 当当时，时， 电压与电流同相，电路呈电阻性，电路电压与电流同相，电路呈电阻性，电路。 品质因数： C L RCRR L R Q 11 0 0 特性阻抗： C L C L 0 0 1 谐振频率： LC f 2 1 o 谐 振 角 频 率 ： LC 1 o 电路串联谐振时的主要特征：电路串联谐振时的主要特征： (1)阻抗阻抗Z=R，外加电压，外加电压U一定时，电流具有一定时，电流具有 最大值最大值Io =U/R，Io称为串联谐振电流。称为串联谐振电流。 (2)电压与电流同相，电路呈现纯电阻性质。电压

33、与电流同相，电路呈现纯电阻性质。 (3)因为因为XL=XCR，故，故UL=UCUR=U，即电，即电 感和电容上的电压远远高于电路的端电压。感和电容上的电压远远高于电路的端电压。 2)2)、品质因数、品质因数 - - Q 值值 定义：定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压 和总电压之比。和总电压之比。 U CR U R X U U R L U R X U C C L L 0 0 1 谐振时谐振时: RCR L U U U U Q CL 0 0 1 在谐振状态下在谐振状态下, ,若若 R XL、 R XC ，Q 则体现了则体现了 电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。电容或电感上