第五节空间曲线

1、 第八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组: 0),( 0),( zyxG zyxF 2 S L 0),(zyxF 0),(zyxG 1 S 特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都 在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 例如例如,方程组 632 1 22 zx yx 表示怎样的曲线？ x z y1 o C 2 22 1xyz 表示母线平行于 轴

2、的圆柱面 236,xz 表示一个平面 22 1 . 236 xy xz 表示了平面与圆柱面的交线 表示上半球面与圆柱面的交线C. 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 2 22 () 24 aa xy 又如又如,方程组 再如再如 曲线曲线 1)1( 1 222 222 zyx zyx 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ x y z x y z x y z 2 1 4 3 22 z yx 化简：化简： 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 称它为空间曲线的参数方程. )(txx )(tyy )(tzz x y z o L ),(zyxM 当给定t 时，就得到曲线上的一个

3、点；随着参 数的变化，可得到曲线上全部的点。 将曲线C上的动点M坐标x, y, z表示成参数t 的函数: v bt,令 ,2 时当bh2 taxcos taysin t vz 上升高度 例例 1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕 z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上 升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋 线.试建立其参数方程. 解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运 动到M点，M点在xoy面上的投影为M M M t x y z o A bz ay ax sin cos 称为螺距螺距 . 632 1 ) 1 ( 22 zx yx 0 )2( 22

4、 222 xayx yxaz 解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 将第二方程变形为,)( 4 22 2 2 aa yx故所求为 得所求为 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20(t )20(t 例例2. 将下列曲线化为参数方程表示: )(tx )(ty )(tz )( t 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解解:,)(, )(, )( 1 tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxM则 cos)()( 22 ttx sin)()( 22 tty

5、)(tz 20 t 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例例3. 求空间曲线 : 1x ty tz2 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos1 2 tx sin1 2 ty tz2 20 t 消去 t 和 , 得旋转曲面方程为 4)(4 222 zyx x z o y 例如例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 sinax 0y cosaz cossinax sinsinay cosaz )0( 20 0 说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如 ),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 又如又如, xoz 面上的半圆周 0),( 0),( zy

6、xG zyxF L 消去变量z后得：）（10),( yxH 曲线关于 的投影柱面 xoy 设空间曲线的一般方程： 以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面. 投影柱面的特征： 注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。 投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投投 影曲线影曲线，简称投影投影。 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 z y x C C 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 0),( 0),( zyxG zyxF ,0),(yxH 0 0),

7、( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT z y x C C 设空间曲线 C 的一般方程为 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 （2）确定投影柱面与 xoy 面的交线 0 0),( z yxH 在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤 0),( 0),( zyxG zyxF L （1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面： ）（10),( yxH 求空间曲线： 即为所求投影曲线的方程 z y x C 1 o 0 022 22 z yyx 1) 1() 1( 1 : 222 222 zyx zyx C 解

8、: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴 的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为： 022 22 yyx 故xoy 面上的投影曲线方程为 例如例如, , 在xoy 面上的投影曲线方程为 例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去变量z后得 , 4 3 22 yx 在 面上的投影为 xoy , 0 4 3 22 z yx x y z o 例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 x y z o （2）因为曲线在平面 上， 2 1 z 所以在 y

9、oz 面上的投影为线段. , 0 2 1 x z 2 3 | y （3）同理在 xoz 面上的投 影也为线段. . 2 3 |, 0 2 1 x y z 截线方程为 22 20 yzx xyz 解解 , 0 045 22 z xxyyx , 0 0425 22 y xxzzx 截线方程为 22 20 yzx xyz 解解 . 0 02 22 x zyzy 四、空间曲面或立体在坐标面上的投影四、空间曲面或立体在坐标面上的投影. . M ),(zyx M )0 ,(yx S D x y z o 称区域称区域 D 为为 空间曲面空间曲面 S 在在 xoy 面上面上 的投影。的投影。 上述概念可推广到

10、空间立体在坐标面上投影的情形上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形. . 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体空间立体 曲面曲面 例例6 解解半球面和锥面的交线为 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C 面上的投影为在则交线xoyC . 0 , 1 22 z yx 面上的投影为所求立体在 xoy . 1 22 yx .,)(3 22 面上的投影求它在锥面所围成xoyyxz 和由上半球面设一个立体 22 4,yxz z x y o 1 C 空间曲线的一般方程、参数方程 四、小结 空间曲线在坐标面上的投影 ( , , )0 ( , , )0 F x y z G x y z ( ) ( ) ( ) xx t yy t zz t ( , )0 0 H x y z ( , )0 0 R y z x ( , )0 0 T x z y 22 yxz 1 22 zyx yxz 1 22 yxyx 0 1 22 z yxyx 备用题备用题求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx 解：解：旋转曲面方程为 交线为 此曲线向 xoy 面的投影柱面