一、导数的四则运算

1、一、导数的四则运算一、导数的四则运算 5.2 5.2 求导法则求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数三、复合函数的导数 二、反函数的导数二、反函数的导数 求导法则, 使导数运算变得较为简便. 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 一、导数的四则运算一、导数的四则运算 0 00 ( ( )( )()().(1) x x u xv xu xv x 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且 ( )( )( )f xu xv x 0 0000 ( ( ) ( )() ()() ().(2) x x u x v xu xv xu xv x

2、推论推论 若若 u (x) 在点在点 x0 可导可导, ,c 是常数是常数，则则 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且( )( ) ( )f xu x v x 定理定理 2 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数 ( ), ( )u x v x 定理定理 1 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数( ), ( )u x v x ( )().( ) 0 0 3 xx cu xcux ().uvwu vwuv wuvw 定理定理 2 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形, , 如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式 (2),

3、请读者自行证明公式请读者自行证明公式 (1) . () ()() () ()lim 0000 0 0 x u xx v xxu xv x fx x 0000 0 ( ) ( )() ( ) lim x u xx v xxu xv xx x 证证 (2) 按定义可得按定义可得 0000 () ()() ()u xv xxu xv x x 00 0 0 ()() lim() x u xxu x v xx x 注意注意: ,: ,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式 (2)()uvu v 记错了记错了. . 0000 () ()()().u xv xu xv x 00 0 0 ()() li

4、m() x v xxv x u x x 例例1 1 011 ( ). nn nn f xa xa xaxa 求求的的导导数数 1 011 ( )()()()() nn nn fxa xa xaxa解解 因此因此, 对于多项式对于多项式 f 而言而言, 总是比总是比 f 低一个幂次低一个幂次. . f 例例2 sinln.yxxx 求求在在处处的的导导数数 解解 由公式由公式 (2)，得，得 12 011 (1). nn n na xna xa ln. x y 1 (sin ) lnsin (ln )coslnsin,yxxxxxxx x 0 0000 2 0 () ()() ()( ) .(4

5、) ( )() x x u x v xu x v xu x v xvx 在点在点 x0 也可导也可导，且且 ( ) ( ) ( ) u x f x v x 则则 定理定理3 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, ,( ), ( )u x v x 0 ()0,v x 证证 1 ( )( )( ) ( ).( ), ( ) g xf xu x g xg x v x 设设，则则对对有有 0000 11 ( )()( )() v xxv xg xxg x xx 00 00 ( )()1 . ( )() v xxv x xv xxv x 由于由于 在点在点 x0 可导可导, , 因此因此 0 ()0

6、,v x ( )v x 对对 应用公式应用公式 (2) 和和 (5), 得得( )( ) ( )f xu x g x 000 0 2 0 0 ()()() ()lim, () x g xxg xv x g x xvx 0 0 2 0 ()1 . ( )() x x v x v xvx 亦即亦即 (5) 00000 ()() ()()() ,fxu xg xu xg x 0 0000 2 0 () ()() ()( ) . ( )() x x u x v xu x v xu x v xvx 即即 例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 22 2 22 cossin1 sec. coscos

7、 xx x xx (i),; n xn 是是正正整整数数(ii) tan, cot;xx (iii) sec , csc.xx 解解 1 1 2 1 (i) (). n nn nn nx xnx xx 2 sin(sin ) cossin (cos ) (ii) (tan ) cos cos xxxxx x x x 同理可得同理可得 sectan .xx 22 1(cos )sin (iii)(sec) coscoscos xx x xxx (csc )csccot .xxx 2 2 1 (cot)csc. sin xx x 同理可得同理可得 0 0 1 ().(6) () fx y 证证 0

8、0 ,xxxyyy 设设则则 00 ()(),xyyy 00 ()() .yf xxf x 定理定理 4 设设 为为 的反函数，在的反函数，在( )yf x ( )xy 由由假设假设, , 在点在点 1 f 0 x的某邻域内连续的某邻域内连续, ,且严格且严格 二、反函数的导数二、反函数的导数 f 00 ()xy 则则 在点在点 可导可导, 且且 0 y 0 ()0,y 点点 的某邻域内连续，严格单调的某邻域内连续，严格单调, 且且 00;00.xyxy 0 0 0 0 11 lim. () lim x y y fx x xy y 例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数： ,0)( 0 y

9、 便可证得便可证得注意到注意到 单调单调, , 从而有从而有 (i) arcsinarccos;xx和和 (ii) arctanarccot.xx和和 解解(i)arcsin ,( 1, 1 )sinyxxxy 是是在在 2 111 (arcsin ),( 1,1). (sin )cos 1 xx yy x 2 1 ,(arccos ),( 1, 1). 1 xx x 同同理理 上的反函数，故上的反函数，故() 22 ， yyy x 22 tan1 1 sec 1 )(tan 1 )(arctan ).,(, 1 1 2 x x 同理有同理有 2 1 (arccot ), 1 x x (,).

10、x 的反函数，故的反函数，故 (ii)arctantanyxxy 是是在在上上()22 ， 定理定理 5 0 ( )( )uxxyf u 设设在在点点可可导导，在在点点 00 ()uxf 可可导导，则则复复合合函函数数在点在点 x0 可可 这个定理一般用有限增量公式来证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与 00000 () ()()()()(). (7)fxfuxfxx 导，导，且且 三、复合函数的导数三、复合函数的导数 证法证法, 为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理. 今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的这里采用另一种新的 引理引理 f

11、在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是: : 在在 x0 的的某邻某邻 00 ()( ),U xxH x域域上上存存在在一一个个在在连连续续的的函函数数使使 证证 设设 f (x) 在点在点 x0 可导可导, , 且令且令 0 0 0 00 ( )() , () ( ) (),. f xf x xUx xxH x xxfx 00 ()().fxH x 且且 ),)()()( 00 xxxHxfxf 00 0 00 0 ( )() lim( )lim()(), xxxx f xf x H xfxH x xx 因因 0 ( )H xx故故在在连连续续，且且 00 ,( ) (),H xx

12、U xx 反反之之 设设存存在在在在点点连连续续 且且 000 ( )()( )(),() .f xf xH xxxxU x ),()(limlim 0 0 0 00 xHxH xx xfxf xxxx 得得 f (x) 在点在点 x0 可导可导, ,).()( 00 xHxf 且且 下面证明定理下面证明定理 5 ( 公式公式 (7) ) . ).(),)()()( 000 xUxxxxHxfxf 根据极限根据极限 ),( 0 uFu 连连续续的的函函数数个个在在点点且且使使)()( 00 uFuf 同理，同理，,)( 0 可导可导在点在点 xxu 则存在一个在点则存在一个在点 x0 ).()

13、,)()()( 000 uUxuuuFufuf 0000 ( )()( )(),().uuxxxxxxU x 于是当于是当 有有),( 0 xUx 由引理的必要性由引理的必要性,)( 0 可可导导在在点点及及uuf知存在一知存在一 (),x 00 ()(),xx 使使且且连续的函连续的函 数数 00 ( ( )( ()( ( )( )().fxfxFxxxx 公式公式(7)改写为改写为 00000 ()( () ()()().H xFxxfux ddd , ddd xyu yux 0 ,x 由由于于在在点点连连续续)( 00 xuF 在在点点连续，连续， 0 ( )( ( ) ( ).H xF

14、xxx 所所以以在在点点连连续续根据引根据引 理的充分性理的充分性, 0 ,fx 在在点点可可导导 且且)()( 0 xf ( ),( ),yf u ux 其其中中这样就容易理解这样就容易理解 “链链” 的的 复合函数求导公式复合函数求导公式 (7) 又称为又称为 “链式法链式法 则则”. 若将若将 ( ( ( )( ( )( ).fxfxx 与与的的不不同同含含义义 例例5.sin 2 yxy 的导数的导数求函数求函数 在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分 ( ) ( ( )( )| ux fxfu 22 dd d (sin ) ()cos22 cos. dd d yyu uxuxx

15、x xu x 意义了意义了. 解解分解成分解成 这两个这两个 2 sinyx 将将 2 sinyuux与与 于是由链式法则于是由链式法则, 有有基本初等函数的复合，基本初等函数的复合， 例例6(,0 ).yxx 求求幂幂函函数数是是实实数数的的导导数数 解解 ln eeln xu yxyux 由由与与复合而成复合而成, ln1 ()(e)e. xu xx x 故故 例例7求下列函数的导数求下列函数的导数: : 2 (i)1;x 2 1 (ii); 1x 2 (iii) ln(1).xx 解解 运用复合求导法则运用复合求导法则, , 分别计算如下分别计算如下: : 1 22 22 1 (i)()

16、(1)(1) 1 2 xx x 2 . 1 x x 23 22 2 11 (ii)(1)(1) 2 1 xx x 2 3 . (1) x x 2 (iii)ln(1)xx 22 1 ( 1) 11 x xxx 2 2 1 (1) 1 xx xx 2 1 . 1x 例例8 8 求下列函数的导数求下列函数的导数: : 21 (i)( )arctan(tan) ; 332 x f x 1 ,0, 1e (ii)( ) 0,0. x x x g x x 解解 2 2 2111 (i)( )sec 1 3322 1tan 92 x fx x 22 11 . 54cos 9cossin 22 xx x (

17、ii)0 x 当时,当时, 11 12 1 1ee ( ). (1e) xx x x g x 0 x 当时,因为当时,因为 1 0 1 (0)lim00, 1e x x x g x 所以所以 在在 处不可导处不可导. .g0 x 1 0 1 (0)lim01, 1e x x x g x 化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导. ( )( )ln ( )( )ln ( ) ( ( )(e)e( ( )ln ( ) v xv xu xv xu x u xv xu x ( ) ( ) ( )( )ln ( )( ). ( ) v x u x u xv xu xv x u x 例例9 231

18、 4 2 5 (1) (2) ,. (59) xx yy x 设设求求 对数求导法对数求导法( )0,( )u xu x 设设 均可导均可导, 则则( )v x与与 ( ) ( )v xu x对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效, ,也能简也能简 解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数, 得得 再对上式两边求导再对上式两边求导, 又得又得 于是得到于是得到 ).95ln( 5 2 )2ln( 4 1 )1ln(3ln 2 xxxy 2 6125 . 4(2)5591 yx yxxx 2314 22 5 (1) (2)612 . 4(2)59(59)1 xxx y xxxx 求导法则：求导法则： );()( ,)()2(为为常常数数cuccuvuvuuv d1 (4); d d d y x x y 反反函函数数的的导导数数 ; 1 ,)3( 22 v v vv vuvu v u ;)()1(vuvu 四、基本求导法则与公式四、基本求导法则与公式 基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式： (1)( )0 ();cc 为为常常数数