第十三章 非线性电阻电路的分析

1、第十三章 简单非线性电阻电路的分析 v13.1 非线性电阻元件 v13.2 非线性电阻的串联与并联 v13.3 非线性电阻电路的方程 v13.4 图解分析法 v13.5 分段线性化分析法 v13.6 小信号分析法 v13.7 例题 深圳大学信息工程学院 只含电阻元件的电路称为电阻电路，如果电 阻元件都是线性的，则称为线性电路，否则便是 非线性电阻电路。 分析非线性电阻电路的基本依据仍然是KVL KCL和元件伏安关系。 13.1 非线性电阻元件 u i 如果电阻元件的电压电流关系曲线不是iu 平面上通过原点的直线，称之为非线性电阻元件。 例如下图是一非线性电阻的伏安关系曲线。 为便于分析具有非线

2、性电阻元件的电路，我们 可以定义一个称之为理想二极管的模型。此理想二 极管的特性如下图 o i u u 理想二极管及其伏安特性曲线 理想二极管的特性可解析为 0i对所有的0u 0u对所有的 0i 也就是说：正向偏置时，好比一个闭合开关，起 短路的作用，电阻为零；反向偏置时，好比一个 打开的开关，起开路的作用，电阻为无限大。 ba uu a i b ba uu a i b 例、求图131 1电路中理想二极管的电流。 V36 V18 V12 k18k6 k12 图1311 我们先把含二极管的支路断开 ，求得电路其余部分得戴维南 等效电路后，再把含二极管的 支路接上。在一个简单的单回 路中，很容易判

3、断二极管是否 导通。 k12 k18 V18 V36 图512 在图1311电路中除理想 二极管支路以外，电路的其余 部分如图1312所示，其等效 电路可求得如下： VU oc 4 .141818 1812 1836 kRo2 . 7 1812 1218 k2 . 7 V4 .14 k2 . 7 k6 V4 .14 图1313 （a）（b） 等效电路如图513（a）所示，把理想变压器 支路与这等效电路接上后，即得1313（b）。 可知二极管阴极电位比阳极电位高2.4V，因此二 极管不能导通，I0。 13.2 非线性电阻的串联和并联 对于含多个非线性电阻的电路, 可以按情况分 解为线性单口网络和

4、非线性单口网络两部分,且非 线性单口由非线性电阻（也可包含若干线性电阻） 按串联或并联或串-并联方式构成 。 设已知各非线性电阻的伏安特性曲线，我们 就可以用图解法来解决这个问题。设有两个非线 性电阻（例如两个二极管）串联，如图521(a) 所示，它们的特性曲线部分分别如图(b)中曲线D1， D2所示。我们现在要确定它们串联后的特性曲线, 亦即串联等效电阻的特性曲线。 一、非线性电阻的串联 1 u 2 u 21 uu o 1 D 2 D N u 1 u 2 u i 图1321 （a） （b） 由KVL及KCL可知,在图(a)所示串联电路中 21 uuu 21 iii 因此只要对每一个特定的电流

5、 i，我们把它 在D1和D2特性曲线索对应的电压值u1和u2相加， 便可得到串联后的特性曲线，如图( b ) 中所示。 根据等效的定义，这条曲线也就是串联等效电 阻的特性曲线。如果已知线性网络 N 的戴维南 等效电路，我们就可以用5-1所述的方法解得 u 和I，进一步求得整个电路各部分的电压和电流。 二、非线性电阻的并联 N u 1 i 2 i i i o 21 ii 1 i 2 i u 图1322 （a） （b） 对含有非线性电阻并联的电路问题，也可作为 类似的处理。设电路如图13-2-2 (a) 所示,两非线性 电阻的伏安特性曲线分别如图 (b) 中曲线D1，D2所 示.由KCL及KVL可

6、知,在该电路中因此 21 iii 21 uuu 只要对每一个特定的电压u，我们把它在D1和D2特性 曲线上所对应的电流值i1，i2相加,便可得到并联后的 特性曲线，如图(b)中粗线所示.根据等效的定义，这 条曲线也就是并联等效电阻的特性曲线。运用5-1所 述的方法可解得u和I，并进一步求得整个电路各部 分的电压和电流 例：图13-2-3(a)表示一个电压源，一个线性电阻和 一个理想二极管的串联电路，试绘出这一串联电路 的特性曲线。 s U u o i 2 3 1 o s U i u u s U 1 R i 图1323 （a） （b） （c） 解：这三个元件的特性曲线分别如图(b)中曲线 1.2

7、.3所示。理想二极管的特性只是表明：当电压 为负时，I=0；当I为正时，电压为零。也就是这 一元件对任何正向电流，相当于短路；而当电压 为负时，相当于开路。因此，在求等效特性曲线 时，当电流为正值时，可把1.3两特性曲线的横坐 标相加。由于电流不可能负值，于是电路的特性 曲线如图(c)所示。 13.3 非线性电阻电路的方程 *分析非线性电路的基本依据是KCL、KVL和 元件的伏安关系。 *基尔霍夫定律所反映的是节点与支路的连接 方式对支路变量的约束，而与元件本身特性无 关，因而无论是线性的还是非线性的电路，按 KCL和KVL所列方程是线性代数方程。 例：如图电路，节点a和b可列出KCL方程为

8、0 423 421 iii Iiii S 对于回路I和II，按 KVL可列得方程 S Uuu uuu 42 321 0 它们都是线性代数方程。表征元件特性的伏安 方程，对于线性电阻而言是线性代数方程，对 于非线性电阻来说则是非线性函数。 IS +u4- R1 R4 R2 R3 i4 i1 i2 i3 a b +u2- +u3- + u1 - II I 如例图中，对于线性电阻R1、R2有 444111 ,iRuiRu 对于非线性电阻R2（设其为压控型的）和R3 （设其为流控型的）有 333222 ,ihuufi 以上这些方程构成非线性方程组。由于非线性 电阻的伏安方程是非线性函数，一般很难用解

9、析的方法求解，我们只能用适当的解析步骤消 去一些变量，减少方程数目，然后，用非解析 的方法，如数值法、图解法、分段线性化法等， 求出其答案。 图5.4-1的电路由直流电压源US、线性电阻R和 非线性电阻Rn组成。如果把US与R的串联组合 看作是一端口电路，按图示的电压、电流参考 方向有 ) 14 . 5(RiUu S 设非线性电阻Rn的伏安特性为 ) 24 . 5 (ufi 用图解法，式（13.4-1）和式（13.4-2）分别 为 u-i平面的两条曲线，而这两条曲线的交点就 是这两个方程组成的方程组的解。 i R US Rn + u - 图图13.4-1 13.4 图解分析法 交点（U0，I0

10、）称为电路的工作点。 请点击观看分析过程请点击观看分析过程 分段线性化法（分段线性近 似法）也称折线法，它是将 非线性元件的特性曲线用若 干直线段来近似地表示，这 些直线段都可写为线性代数 方程，这样就可以逐段地对 电路作定量计算。 如可将某非线性电阻的伏安特性（见图（a）中的虚 线）分为三段，用1、2、3三条直线段来代替。这样， 在每一个区段，就可用一线性电路来等效。 0 G1 G2 G3 3s u 2 u 2s u i 1 u u 1 23 （a） 13.5 分段线性化分析法 在区间 如果线段1的斜率为 ，则其方 程可写为 ,0 1 uu 1 G iRi G u 1 1 1 ,0 1 uu

11、 2 G 22S UiRu 就是说，在 的区间，该非线性电阻可等效 为线性电阻 ，如图（b）。 1 R 1 0uu 21 uuu 2S U 类似地，若线段2的斜率为 ，（显然有 0）， 它在电压轴的截距为 ，则其方程为 2 G ,1 22 GR 式中 其等效电路如图（c）。 若线段3的斜率为 ，它在电压轴的截距为 ， 则其方程为 3 G 3S U 33S UiRu 2 uu ,1 33 GR 式中 其等效电路如图（d）。 当然，各区段的等效电路也可用诺顿电路。 将非线性元件的特性曲线分段后，就可按区段 列出电路方程，用线性电路的分析计算方法求解。 + _ i u 11 1 GR + _ u i

12、 22 1 GR 2S U + _ u i 33 1GR 3S U （b）线段1 的等效电路 （c）线段2 的等效电路 （d）线段3 的等效电路 v分段线性化的方法是： 用折线近似替代非线性电阻的伏安特性曲线； 确定非线性电阻的线性化模型。 分析非线性电路时，虽然可以用分段线性化模型（如 理想二极管）来近似地表征某些非线性元件，然而从 整体看，从全局看仍然是非线性的。使用这种 （global）分析电路，电路的电压和电流可以允 许在大范围内变化，称为大信号分析。在某些电子电 路中信号的变化幅度很小，在这种情况下，可以围绕 任何工作点建立一个（local）。对小信 号来说，可以根据这种线性模型运用

13、线性电路的分析 方法来进行研究。这就是“非线性电路的小信号分 析”。 13.6 小信号分析法 图（a）的电路中， 为直流电压源（常称为偏置）； S U 为时变电压源（信号源），并且设对于所有的时 间 t ， R为线性电阻；非线性电阻为压控型， 设其伏安特性可表示为 （见图（b）。 tus ; Ss Utu ufi tus tu + _ S U t i u i 0 U S U 0 R U S 0 I ufi 0 Ud du di G L （a） （b） 对图（a）的电路，按KVL有 , 0tus , 00 IU 首先设 即信号电压为零。这时可用图解 法作出负载线L，求得工作点 如图（b）。 0t

14、us )(),(titu )(),(titu 当 时，对人一时刻 t 满足方程式（1）的所 有点 的轨迹是图（b）中 平面的一 条平行于L的直线（如虚线所示）。所以，凡位于 各直线与特性曲线的交点的值 ，就是不 同时刻方程组（1）和（2）的解。 iu tutRituU sS （1）t )(tufti 式中（2） t 由于 足够小，所以 必定位于工作点 附近。把 各分成两部分，写成 )(tus, 00 IU)(),(titu titu, tiIti 0 tuUtu 0 （3） 式中 和 是工作点的电压和电流，而 和 是小信号 引起的增量。考虑到非线性电阻的特 性，将（3）代入式（2）得 0 U

15、0 I tu ti tus )( 00 tuUftiI （4） 由于 也足够小，将上式等号右端用泰勒级数展 开，取其前两项作为近似值，得 tu , 00 UfI 由于 故得 0 U du df , 00 IU式中 是非线性电路特性曲线在工作点 处的斜率，或者说，是工作点处特性曲线切线的斜率。 tu du df UftiI U 0 00 （5） tu du df ti U 0 （6） 由于 d dUU R G du di du df1 00 （7） d R , 00 IU 是非线性电阻在工作点 处的动态电导（ 为 动态电阻）。这样，式 （6）可写为 tuGti d tiRtu d 或 由于 是常

16、数，所以上式表明，由小信号 引起的电压 与电流 之间是线性关系。将式 （3）代入式（1）得 dd RG1 tus tu ti tuUtiIRtuU sS 00 考虑到 故得, 00 URIUS tutRitus ,tiRtu d tiRtRitu ds , 00 IU , 00 IU在工作点 处，有 故有 上式是一个线性代数方程，据此可以作出非线性电 阻在工作点 处的小信号等效电路，如图（c） 所示。于是，可以求得 d s RR tu ti 这样，在小信号情况下（ ），可以把 非线性电路问题归结为线性电路问题来求解。 0 Utus tus + _ d R R tu ti （c）小信号等效电路

17、v小信号分析法的求解步骤 在图（a）所示电路中，ab 左端为线性支路， 为 小信号（对所有 t ，有 ）时变电压源， 计算响应 、 的小信号分析法的过程是： s u Ss Uu ui （a）含小信号 的非线性电阻电路 s u + _ u i a b c s u S R S U （1）确定非线性电阻的静态工作点 000 ,UIP 令图（a）中的小信号 置零后的电路如图（b）所示， 用图解法（或解析法）确定静态工作点 。 s u 000 ,UIP （b）确定静态工作点 的电路 000 ,UIP + _ S R S U 0 I 0 U （2）计算非线性电阻在静态工作点 的动态电阻 （或动态电导 ）

18、0 P d R d G （3）画出小信号等值电路，计算动态响应 dd ui , 小信号等值电路如图（c）所示。 （c）小信号等值电路 + _ a b c s u S R d u d i d R 在小信号等值电路图中，有 dS s d RR u i s dS d d u RR R u （4）将上述（1）中静态响应与（3）中动态响应 叠加 d iIi 0d uUu 0 例1：设某非线性电阻的伏安特性为 2 10iiu （1）如 ，求其端电压Ai1 1 1 u （2）如 ，求其电压 吗？ Akkii 12122, kuuu （3）如 ，求电压 吗？ Akiii1 213 2133, uuuu （4）

19、如 ，求电压 Aticos2u 13.7 例题 解： （1）当 时Ai1 1 Vu111110 2 1 （2）当 时 Aki 2 Vkku 2 2 10 显然， ，即对于非线性电阻而言，齐 次性不成立。 12 kuu （3）当 时 Akiii1 213 Akkkku 2 2 3 12111110 显然， ，即对于非线性电阻而言，可 加性也不成立。 213 uuu （4）当 时 Aticos2 2cos2cos210ttu Att2cos2cos202 例2：在图13.7-1电路中， ，非线 性电阻的伏安特性曲线如图13.7-2所示，如将 曲线分成oc、cd与de三段，试用分段线性化 法计算V、I值。 1,5 . 3 SS RVV RS VS Ia b + V - 图图13.7-1 V(V) 6 3 1 12 3 0 c d e -1 I(A) 图图13.7-2 解：设想非线性电阻工作在cd间。连接cd点，以 直线2替代cd间曲线，直线2的方程为 112/131IV 上式整理后得 022 12VIRIV 上式线性方程对应的线 性化模型如图5.7-3 ab右 端所示。 图图13.7-3 RSR2 VSV02 a b + V