理论力学B课堂例题-黄安基

1、理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力 矢量关系如何？合成结果是什么？矢量关系如何？合成结果是什么？ 思思 考考 题题 (a) (d) (c) (b) 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线 成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束 力。梁的自重不计。 例例2-2-1 1 60 30 aa 图 a F 解：1. 取梁AB作为研究对象。 FA = F cos30=17.3 kN 2. 画出受力图。 3. 作出相应的力三角形。 4

2、. 由力多边形解出： FB = F sin30=10 kN 30 D C BA 60 F A F B F E 60 30 H KF B F A F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例例2-22-2 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向已 知 kNFkNFkNFkNF1,25. 0,5 . 0,5 . 1 4321 kNFF ixRx 332. 045cos160cos25. 05 . 00 00 kNFF iyRy 99. 145sin160sin25. 005 . 1 00 R F x y 1 F 2 F 3 F 4 F 0 60 0 45 先计算合力FR在x、y轴上的投影，有【

3、解】【解】 即 故合力 的大小为 R F kNFFF RyRxR 02. 2 22 其方向余弦则为 986. 0cos,164. 0cos RRyRRx FFFF 0 34.80 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于20kN，方向与梁的轴线 成60角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束 力。梁的自重不计。 20120917 例2-1 60 30 aa 图 a F 解：1. 取梁AB作为研究对象。 FA = F cos30=17.3 kN 2. 画出受力图。 30 D C BA 60 F A F B F FB = F sin30=

4、10 kN x y y1 x1 030sin60cos30cos , 0 0 00 BA x FFF F 030cos60sin30sin , 0 0 00 BA FFF Fy 思考：可否向其它轴，如（思考：可否向其它轴，如（x1、y1）投影？）投影？ 可否向（可否向（x、x1）投影？结论？）投影？结论？ P36、61 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 A B C D 0 90 0 45 0 30 0 60 1 F 2 F 例2-4 如图所示结构ABCD，杆重及摩擦均可不计；在铰链B上作 用着力 ，在铰链C上作用着力 ，方向如图。试求当机构在图 示位置平衡时 和 两力大小之间的关系。 P69

5、 1 F 1 F 2 F 2 F 首先可判断出BC是二力杆，作B铰、C铰的受力图【解】【解】 分析铰B有： 045cos, 0 0 2 1 BCx FFF 2 2FFBC （1） 分析铰C有：030cos, 0 0 1 FFF CBx 1 2 3 FFCB （2） 612. 0 4 6 21 1 2 F F ）、（ 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 D A B CE 0.6m 0.3m0.5m 0.4m M D A B CE 0.6m 0.3m0.5m 0.4m M D A B CE 0.6m 0.3m0.5m 0.4m F D A B CE 0.6m 0.3m0.5m 0.4m F 判断A

6、、D两处约束反力方向 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 3 3、平面任意力系的简化结果、平面任意力系的简化结果 （1 1）力系简化为力偶）力系简化为力偶 力系合成为一力偶，由于力偶对作用面内任意一点之矩 相同，所以此种情况下主矩与简化中心的位置无关。 例例 FaMMMF CBA R866. 0, 0 0, 0 R O MF AB C a a a F F F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 ? RC F ? C M C kNFRA5 A B m2 . 0 ? RB F ? B M ? RC F ? C M C B m2 . 0 ? RB F ? B M kNFRA5 A mkNM A 2

7、D ? RD F ? D M m4 . 0 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 70 1 P230 2 P70M图示正方形板面上分别受到 kN、 kN、 kN.m的作用，则该组力系向O点简化的主矢大小为 ，主矩大小为 ， 向B点简化的主矢大小为 ，主矩大小为 。 10 R F20 O M图示为某平面任意力系向O点简化结果，得到主矢kN，主矩 kN.m。则该力系向A点简化得到的主矢大小为 ，主矩大小为 ，向B点 简化得到的主矩大小为 。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 求力系向D点简化的主矢和主矩，及合力作用线位置。 P50相似相似 解：求力系的合成结果一般指最后合成结果。求力系的合成结果一

8、般指最后合成结果。 （力或力矩或平衡） （力或力矩或平衡） 首先可以先确定一参考点（简化中心），首先可以先确定一参考点（简化中心）， 各力向该点简化各力向该点简化得到主矢和主得到主矢和主 矩矩，然后利用，然后利用力线平移定理的逆过程力线平移定理的逆过程合成得到最终结果。合成得到最终结果。 （1）以）以D为简化中心为简化中心 PPPPFDx 00 45cos45cos PPPPFDy 00 45sin45sin PFFF DyDxD 2 22 DB方向沿 Papa aPPMM DD 5 . 0)5 . 02( 2000)( （2）利用）利用力线平移定理的逆过程力线平移定理的逆过程求最后合成结果求

9、最后合成结果 PFF DE 2 D FDB 即方向平行于, ，交点为作用线与假定力EDCF DEPDEFFMM EDD )45sin()( 0 a P Pa P M DE D 5 . 0 5 . 0 D F E FF E D M C A B D a 0 45 0 45 P P PP paM) 2 1 2( 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例2-6 求图示梁上分布荷载的合力。 P53 解：解： 取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为 l x qq 0 微段上的荷载为：xx l q qxF 0 以A为简化中心，有 C A B x x x y l xc 0 q R F l q xx l q

10、F l 0 00 2 d R 2 0 0 2 0 3 d)(l q xx l q FMM l AA 由此可见，分布荷载合力的大小 等于荷载集度图的面积。合力作用线的 位置，可以根据合力矩定理确定： l lq lq F M x A c 3 2 2/ 3/ 0 2 0 R )()(FMxFFM AcRRA 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 C A B x y l 0 q R F l q xx l q l 0 00 2 d lxc 3 2 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例2-7 图示为一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。 水平梁AB自重 P=4kN,荷载 F =10kN, 有关尺寸

11、如图所示，BC 杆 自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。 A B D E 0 30 2m1m1m c F P 【 解】解】（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。 A B D E 0 30 Ay F Ax F B F P F 未知量三个： 独立的平衡方程数也是三个。 Ax F Ay F B F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 （3）列平衡方程，选坐标如图所示。 )1(030cos0 0 B FFF xAx )2(030sin0 0 B FPFFF yAy ) 3(03230sin40)( 0 B FPFFM A 由（3）解得 kN FP FB19 5 . 04 10342 3

12、0sin4 32 0 以FB 之值代入（2）， 并且解（1），可得 kNFkNF AyAx 5 . 4,5 .16 A B D E 0 30 Ay F Ax F B F P F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 二矩式0 x F 0)( FM A 0)( FM B 三矩式 0)( FM A 0)( FM B 0)( FM C 二、三矩式形式均需附加限制条件 P57 )4(0124, 0)( Ay FPFFM B ) 5(03230tan4, 0)( 0 Ax FPFFMC )1(030cos, 0 0 B FFF xAx )2(030sin, 0 0 B FPFFF yAy ) 3(0323

13、0sin4, 0)( 0 B FPFFM A )6(030sin212, 0)( 0 Ay BD FFFFM A B D E 0 30 Ay F Ax F B F P F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 图示平面机构中BC杆自重不计，为求铰A、B的约束反力， 可以采用 组平衡方程联立求解。 0)(, 0, 0)( FMFFM ExA （B） 0)(, 0)(, 0 FMFMF DBx （C） 0, 0)(, 0)( yBA FFMFM （D） 0)(, 0)(, 0)( FMFMFM DBA （A） 0, 0)(, 0)( yDB FFMFM （E） 0)(, 0)(, 0)( FMFMF

14、M CED （F） 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 1、力系平衡时，平面任意力系最多可以列 个独立平衡方程，平面平行 力系最多可以列 个独立平衡方程，平面汇交力系最多可以列 个独立平 衡方程，平面力偶系最多可以列 个独立平衡方程。若一平面机构是由a 个受平面任意力系、b个受平面平行力系、 c个受平面汇交力系、 d个受平 面力偶系作用的物体组成的物体系统，该系统平衡时最多可以列 个 独立平衡方程。 2、平面任意力系平衡方程组采用二矩式时，限制条件是 ；采 用三矩式时，限制条件是 。 3、平面平行力系平衡方程组采用二矩式时，限制条件是 。 4、平面汇交力系（汇交点为O）平衡方程组采用一矩式时，

15、限制条件 是 ；采用二矩式时，限制条件是 。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 思考题思考题2-5 1、已知已知不平衡不平衡的平面平行力系的诸力与轴的平面平行力系的诸力与轴y不垂直，且满足方程不垂直，且满足方程 ，则此力系简化结果是什么？，则此力系简化结果是什么？ 0 y F 1答：力偶。 2、已知、已知不平衡不平衡的平面汇交力系的汇交点为的平面汇交力系的汇交点为A，且满足方程，且满足方程 (B 为力系平面内的另外一点），则此力系简化结果是什么？为力系平面内的另外一点），则此力系简化结果是什么？ 0)( FM B 2答：作用线过A、B两点的合力。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 平面汇交

16、力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩 式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为 什么要附加这种条件？ 思考题2-8 平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？ (矩心与汇交点汇交点连线不能垂直于投影轴)或两个都用力矩式？ (二矩心连线不能过汇交点汇交点) O kNP20 1 F 2 F C A B D y x 0 60 0)( FM B 030sin 0 1 OBPOBF 0)( FM C 060sin 0 2 OCPOCF 0)( FM D 060sin 0 2 ODPODF 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 指出下列图示结构中，哪些是静定结构，哪些是超静定 结构

17、？静定结构有 ，静不定结构有 。cb、d、a )(a A B F C A B )(b F 1 F D C B A )(c F A C )(d B F P71 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 图示平面机构中属于超静定结构的是 。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 (2) 用假想截面截断所求杆件，桁架一分为二取其中之一， 研究其平衡：求杆6的内力；其它比如求杆1，2，4，5的 内力应如何求? （2）截面法）截面法 P88 求简单平面桁架如左图 所示。已知：P 1 , P 2；求：杆6 的内力。 解： (1) 整体分析，反力如图 例例3-83-8 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 E D C

18、 BA H G K L M 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 联合应用节点法和截面法求解。 1. 用截面用截面m-m将杆将杆HK，HJ ， GI ， FI 截断截断。 列平衡方程列平衡方程 解得解得 取右半桁架为研究对象，受力分析如图。取右半桁架为研究对象，受力分析如图。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 2. 用截面用截面n-n将杆将杆EH，EG ， DF ， CF截断。截断。 列平衡方程列平衡方程 解得解得 取右半桁架为研究对象，受力分析如图。取右半桁架为研究对象，受力分析如图。 3. 取节点取节点H为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程列平衡方程 解得解得

19、理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 意义：简化计算问题，能否去掉零杆? 零杆：内力为零的杆件。判断零杆有一定的规律。 P87 (a) (c) (b) (d) (e) 图7 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 试计算图示桁架1、2杆的内力。 思考题思考题 a a a 1 2 A B E F G H C D 1 P 2 P a a a 1 2 A B E F G H C D 1 P 2 P 截面： 0 FM F F1=-P1/2- P2 截面： 0 FM D F2= P2/2+ P1 /4 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 【思考题思考题】 (1)如图所示两图(a) 、(b)中，物块均重为P，作

20、用力FP， 物块与支承面间的摩擦角300，则这两种情况中( ) A、(a)平衡， (b)不平衡；B、(a)不平衡， (b)平衡 C、(a)平衡， (b)平衡； D、(a)不平衡， (b)不平衡 20121015 30 F P )(a 30 F P )(b 1.选择题选择题 C 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 (2)图中，A、B两物体分别重P及2P，两物块间及B与斜面间 的摩擦系数均为 ，则( ) 3 1 s f A. A平衡，B不平衡 B. A不平衡，B平衡 C. A、B均不平衡 D.A、B均平衡 D 25 B A (3)如图所示物块重P，在水平推力F作用下平衡，接触面间 的静滑动系数为

21、，则物块与铅锤面间的摩擦力为( ) s f C FfFA ss . PfFB ss . PFC s . FFD s . P F 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 右图所示各杆自重不计，杆AC水平，AC的A端和BC的B 分别靠在粗糙的斜面和地面上，D为AC中点，求系统平衡时 A处和B处摩擦系数的最小值。 左图示各杆自重不计，已知：M=200kN.m，两杆等长 l=2m，fD=0.6，C为BD中点，求系统平衡时力P的最小值。 kNPkN P FPF sND 400,300 2 100,100 3 3 min,min, BA ff 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 在边长为在边长为a的正方体的顶

22、角的正方体的顶角C作用了一大小为作用了一大小为F的力，其作的力，其作 用线过棱边用线过棱边BD的中点的中点M，如图所示，试计算该力对轴，如图所示，试计算该力对轴AH 的矩。的矩。 例4-4 x y z O a F C A B D E G H M 【解解】) 2 ,( a aaCM) 3 1 , 3 2 , 3 2 ( CM e ),(aaaAH FkjieFF CM ) 3 1 3 2 3 2 ( ) 3 1 , 3 1 , 3 1 ( AH e j aACrAC 3 1 3 2 3 2 00)( a kji FFrFM AC A aFki) 3 2 3 1 ( AH A AH eFMFM)(

23、)( 3 1 ) 3 2 () 3 1 (0) 3 1 ( 3 1 aFaF 33 aF )0 , 0 ,(aC )0 ,(aaA ), 0 , 0(aH ) 2 , 0( a aM 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 20121022思考题：思考题： 1答：力螺旋。 2答：合力。 1、Oxyz为直角坐标系，已知一空间任意力系满足：为直角坐标系，已知一空间任意力系满足： 则该力系的最后简化结果是什么？则该力系的最后简化结果是什么？ , 0)( FM x , 0 x F, 0 z F, 0 y F, 0)( FM y 0)( FM z 2、Oxyz为直角坐标系，已知一空间任意力系满足：为直角坐标

24、系，已知一空间任意力系满足： 则该力系的最后简化结果是什么？则该力系的最后简化结果是什么？ , 0)( FM x , 0 x F, 0 z F, 0 y F, 0)( FM y 0)( FM z 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 左图a，b，c满足何条件时三个力P可以合成一个合力？ c=a+b 右图三个力P作用在立方体棱边，力系简化结果是什么？ 力螺旋力螺旋 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 （5）一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面，而且 该力系又为平衡力系，则可列独立平衡方程的个数是（ ）。 A、6个 B、5个 C、4个 D、3个 B （6）如果一空间力系中各力的作用线分别汇交

25、于两个固定点， 则当力系平衡时，可列独立平衡方程的个数是（ ）。 A、6个 B、5个 C、4个 D、3个 B 向向垂直于垂直于平面方向的坐标轴平面方向的坐标轴投影投影自动自动为零。为零。 对对过两个汇交点过两个汇交点A、B的轴或平行于该轴的轴或平行于该轴之矩之矩自动自动为零。为零。（因为 分别合成为过A、B两点的力后，根据二力平衡共线，该两个力 必沿AB 连线，故对过AB 的轴或平行于AB 的轴必定为零。） P180，思考题，思考题4-14 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例例4-7 如图所示，均质长方形板ABCD重P20kN，用球铰链 A和蝶铰链B支承在墙上，并用杆子CE维持在水平位置，

26、且 ，试求杆CE所受的压力及蝶铰链B的约束反力。 0 60AEC )(a E 0 60 C B A D z x y P 0 60 C B A D z x y P E Ax F Ay F Bx F Bz F C F Az F 0)( FM ykNPFaF a P CC 20, 060cos 2 0 00)( Bxz F,FM , 0)( FM x 060cos 2 0 bF b PbF CBz 0 Bz F 0)( FM AC 或 其余各力的求解可以列三其余各力的求解可以列三 个沿轴向的力投影方程。个沿轴向的力投影方程。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例例 题题 4-8如图所示匀质长方板由

27、六根直杆支持于水平位置，如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置， 直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在，在A处作用一水处作用一水 平力平力F，且，且F = 2G。求各杆的内力。结构尺寸求各杆的内力。结构尺寸abb。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 2. 列平衡方程。列平衡方程。 1. 取工件为研究对象，取工件为研究对象，受力分析如图。受力分析如图。 解：解： 0 2 , 0)( 6 a GaFFM AB 0, 0)( 5 FFM AE 0, 0)( 4 FFM AC 0 2 , 0)( 22 16 b ba a FaF a GFM EF

28、 0 2 , 0)( 2 bFFb b GFM FG 045cos 2 , 0)( 0 32 bFbF b GFM BC 0 1 F 2 6 GF GF5 . 1 2 GF22 3 0)( FM BF 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 2. 组合法组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个 组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公 式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。 下面通过例子来说明。 例4-10 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。 y 150 20 x 20 200 O (a) y 150 20 x 20 200 O 1 2 (b) 解：解：取取O

29、xy坐标系如图坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为： A1=（200-20）20=3600 mm x1 = 10 mmy1 = 110 mm A2 = 15020=3000 mm x2 = 75 mm y2 = 10 mm xC = A1 + A2 A1 x1 + A2 x2 = 39.5 mm yC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2 = 64.5 mm 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 另一种解法： 负面积法 150 20 x 20 200 O y 1 将截面看成是从200mm150mm的矩形中挖去图中的小矩

30、形 （虚线部分）而得到，从而 A1= 200150= 30000 mm2 x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180130 = -23400 mm2 故 x2= 85 mm, y2= 110 mm xC = 3000075 - 2340085 30000 - 23400 = 39.5 mm yC = 30000100 - 23400110 30000 - 23400 = 64.5 mm 两种方法的结果相同。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 , 0 10 )60cos 2 10( 2 10 10 0 L L L xC 5 .4461020 L 0 60 O A B C O

31、0 60 A B C 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 由图可知 sss ttt 000 lim 2 sin2 lim|lim 2 sin2 2 sin|2| 1| , 2 n v a n 即 )arccos()( , 2 n 2 t aaa ,aaaa nn 全加速度的大小方向为 为轨迹曲线在点M 处的曲率半径 ?lim 0 s t n v t v aaa nt 2 d d 1 高等数学 sd d 注意极限位置时 指向凹侧n 0 0 t 拐点 曲线轨迹的拐点处， 为有限变量一般曲线运动， 圆周运动， 直线运动， R 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 42 R O 1 O A B x y

32、M 例5-1 杆AB绕A点转动，带动套环M在固定圆环上运动，已 知固定圆环半径为R，AB杆转动规律时 ，求M点的运动 速度、加速度。 t M a M v 【自然法】以O1为弧坐标原点，M点的运动方程为 RMOs 1 2 RtRtR22 M点的速度、加速度 R dt ds vM2 0 dt dv aM 2 v a n M R R 2 )2( 2 4R 22 n MMM aaa 2 2 22 440RR 【直角坐标法】 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 43 R O 1 O A B x y M M a M v coscos sinsin ROMy ROMx M M M点的速度、加速度 M M M

33、x x dt dx v 2 4R 【直角坐标法】以O为坐标原点，M点的运动方程为 2cos 2sin R R tR tR 2cos 2sin 22costRtR2cos2 M M My y dt dy v22sintR tR2sin2 22 MyMxM vvvR2 Mx Mx Mx v dt dv atR2sin4 2 My My My v dt dv atR2cos4 2 22 MyMxM aaa 考虑以A为坐标原点 x y 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 【解解】已知点的运动方程已知点的运动方程, 可通过求导得到速度和加速度可通过求导得到速度和加速度, 利利 用用 a n=v2/ ,

34、求出曲率半径。求出曲率半径。 先求速度，有先求速度，有 2 3,2t dt dy vt dt dx v yx 20121029例5-2 已知已知M点的运动方程为点的运动方程为 x=t2, y=t3 (长度以长度以cm计计, 时间以秒计时间以秒计)，试求轨迹在点，试求轨迹在点(1,1)处的曲率半径。处的曲率半径。 42 22 94ttvvv yx 即即 42 3 42 3 94 184 942 368 tt tt tt tt dt dv a 又又 t dt dv a dt dv a y y x x 6, 2再求加速度，有再求加速度，有 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 2 22 364taaa

35、 yx 当 x=1, y=1时, 即 t2=1, t3=1, t=1 (秒) 即即 )(cm/s13/22 94 184 );(cm/s102364(cm/s);1394 2 1 2 11 a av 则 )(cm/s 13 6 13 22 40 2 2 2 1 2 11 aaan 42 94ttv 42 3 94 184 tt tt a (cm)81. 713 6 13 / 1 2 11 n av 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 46 指出在下列情况下，点指出在下列情况下，点M作何种运动作何种运动? 07 n a、常数 a 05 a、 常数 n a 01a、 02 n a、 常数、va,

36、04 常数、3 常数常数、 n ava, 06 常数常数、 n aa,8 (匀变速直线运动) (匀速圆周运动) (匀速直线运动或静止) (直线运动) (匀速运动) (圆周运动) (匀速曲线运动) (匀变速曲线运动) 常数v 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例5-3 如图所示,半径为R的半圆盘在A、B处与 曲柄O1A和O2B铰 接。已知O1A= O2B= l = 4cm,O1O2=AB,曲柄O1A的转动规 律 ,其中t为时间，单位以s计。试求当t=0和t=2s时， 半圆盘上M点的速度和加速度，以及半圆盘的角速度 。 t 4 sin4 ab A a O2 O1 B R A v A n A a

37、M O1A= O2B，O1O2=AB O1A BO2是平行四边形是平行四边形 运动过程中运动过程中A B始终平行于始终平行于O1O2 A B作平动作平动 半圆盘随着半圆盘随着A B一起作平动一起作平动 利用点的运动学和平动概念求解利用点的运动学和平动概念求解 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 O1 A O2 B D O1 A O2 B DC O1 A O2 B D O1 A O2 B D O1 A O2 B O M O1 A O2 B D P218思考题思考题5-4 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 4 cos 4 MA vvlt （1） 222 4cos 4 nn MA aalt （2）

38、 2 sin 4 MA aalt （3） 方向水平向右 将代入以上三式，得：0t 4/ M vcm s 方向铅直向上 同样 0 M a 22 4/ n MM aacm s lls AAA dt ds v A A 代入式（1）、（2）、（3），得此瞬时将st2 0 M v0 n M a 2 MM aa 方向垂直于方向垂直于AO1斜向右上方。斜向右上方。 因为半圆盘作平动，所以其角因为半圆盘作平动，所以其角 速度速度 。0 ab 【解】【解】因为半圆盘做平动，故其上各点的运动轨迹相同，且速度，加速度相因为半圆盘做平动，故其上各点的运动轨迹相同，且速度，加速度相 等。则存在：等。则存在： AMAM

39、aavv, 2 2 dt sd a A A A A n A v a 2 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例5-4 电动机的转子由静止开始转动，在20s后的转速为 n=360min-1,设转子在此过程中作匀加速转动，求 及20s 内转数。 ,12 60 2 n t 2 00 2 1 tt t 6 . 0 20 012 0 t t 60 2 转数 N 120206 . 0 2 1 200 2 1 22 00 tt t 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 A O 2 /10scmaA B 0 30 B a OBOA : ,2 能否求 已知： 2 /5scma B 点速度、加速度求 直角刚杆 B

40、cmABcmOAOAB,30,40, srad /2 A B O 2 /5srad 2 /1smvB 2 /5 .2sma B 2 /2sma n B 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 R O B A O B A R 根据速度方向特点可以反过来确定刚体做定轴转动根据速度方向特点可以反过来确定刚体做定轴转动 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，则相 对轨迹较为简单，反之则较复杂。 因此，动点动系的选择是分析点的合成运动的关键之一。动点动系的选择是分析点的合成运动的关键之一。 动点、动系的选择应尽量使动点相对运动简单明确，动点、动系的选择应尽量使动点

41、相对运动简单明确， 具体可以选择以下各点：具体可以选择以下各点： 1、两接触物体的、两接触物体的固定接触点固定接触点； 4、杆轮机构、杆轮机构杆与轮始终相切杆与轮始终相切时选择时选择轮心轮心； 2、两物体之间、两物体之间连接件连接件：套筒、滑块套筒、滑块，注意分清套筒或滑块与注意分清套筒或滑块与 哪一个物体固定铰接，而相对另外一个物体有运动哪一个物体固定铰接，而相对另外一个物体有运动； 5、连接两物体的、连接两物体的小环、销钉小环、销钉。 20120522 3、杆轮机构、杆轮机构杆端端点与轮始终接触杆端端点与轮始终接触时选择时选择杆端端点杆端端点或或轮心轮心； 理论力学理论力学B课堂例题课堂例

42、题 雨以速度雨以速度v=3m/s铅垂下落，一人以速度铅垂下落，一人以速度u=1.732 m/s 在雨中行走。求人撑伞的最佳角度在雨中行走。求人撑伞的最佳角度。 例题 6-2 1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系 动系动系建建于人上。于人上。 2. 运动分析运动分析绝对运动铅垂直线平动。绝对运动铅垂直线平动。 动点动点 雨点雨点。 相对运动垂直于伞面，沿伞柄直线。相对运动垂直于伞面，沿伞柄直线。 解：解： 定系定系固连于地面固连于地面。 牵连运动人沿水平直线平牵连运动人沿水平直线平动。动。 3. 速度分析速度分析 绝对速度绝对速度va：大小大小已已知，方向沿知，方向沿铅垂向下铅垂向下。

43、 相对速度相对速度vr ：大小未知大小未知，方向沿方向沿沿伞柄直线沿伞柄直线。 牵连速度牵连速度ve ：大小大小已已知，知，方向方向水平向右水平向右。 r v a v e v 应用速度合成定理 rea vvv 3 3 tan v u 0 30 当人走得慢时，u=0，=900 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与套筒用铰 链连接，当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，套筒在摇杆 O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r， 两间距离OO1= l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1。 例题 6-3 相相 对对 运运 动动 轨轨 迹迹

44、理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 解：解：1. 选择动点，动系与 选择动点，动系与定系定系 动系O1xy，固连于摇杆O1B。 2. 运动分析运动分析 绝对运动：以O为圆心的圆周运动。 相对运动：沿O1B的直线运动。 动点套筒 A 。 y x 定系固连于机座。 牵连运动：摇杆绕O1轴的摆动。 3. 速度分析速度分析绝对速度va：va=OA r ，方向垂直于OA，沿铅垂向上。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆O1B， 牵连速度ve：ve为所要求的未知量，方向垂直于O1B 。 r v a v e v sin ae vv , sin 22 rlr， a rv 因为 222 e rlrv 所以 re

45、a vvv 应用速度合成定理应用速度合成定理 设摇杆在此瞬时的角速度为1，则 222 11e rlrAOv ， 22 1 rlAO 其中 22 2 1 rl r 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 凸轮顶杆机构中半径为R的半圆形凸轮以速度v0，加 速度a0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如 图所示，试求=60时，顶杆AB的速度、加速度。 例题 6-4 运动演示运动演示 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 由速度合成定理 , rea vvv 做出速度平行四边形,如图示。 0 0e r 3 2 60sinsin v vv v o 解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。 a v r

46、 v e v 牵连速度ve=v0 , 方向 ; 相对速度vr = ? , 方向 ; CA 绝对速度va = ? , 方向沿 ； AB 0 0ea 577. 0 60 cot cot v vvv 此瞬时杆AB的速度方向向上。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 。，方向沿ACRva r n r / 2 a a r a e a n r a 0 aae牵连加速度 , 方向 绝对加速度 , 方向沿 ，待求。? a a AB 相对加速度 , 方向 ， ? r a CA 因因牵连运动为平动牵连运动为平动，故根据，故根据牵连牵连 运动为平动时点的加速度合成定理运动为平动时点的加速度合成定理 n r aaaa

47、aa reea r R v RvRva r n r 3 4 /) 3 2 (/ 2 0 2 0 2 其中 作作加速度矢量图加速度矢量图如图示，将上式投如图示，将上式投 影到法线影到法线CA上，得上，得 n rea aaacossin 0 2 0 0 0 60sin/ ) 3 4 60cos( sin/ )cos( R v a aaa n rea 整理得整理得) 3 8 ( 3 3 2 0 0 R v aaa aAB 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 在滑块导杆机构中，由一绕固定轴在滑块导杆机构中，由一绕固定轴O作顺时针转动的导杆作顺时针转动的导杆OB带动带动 滑块滑块A沿水平直线轨道运动，沿

48、水平直线轨道运动，O到导轨的距离是到导轨的距离是h，已知在图示瞬时导杆的倾角已知在图示瞬时导杆的倾角 是是，角速度大小是角速度大小是 ，角加速度角加速度 =0，试求该瞬时滑块试求该瞬时滑块A的绝对加速度。的绝对加速度。 O A B y xy x h 例题 6-8 运运 动动 演演 示示 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系。 相对运动相对运动沿导杆沿导杆OB的直线运动。的直线运动。 牵连运动牵连运动 导杆导杆OB绕轴绕轴O的匀速转动。的匀速转动。 绝对运动绝对运动 沿导轨的水平直线运动。沿导轨的水平直线运动。 动系动系 Axy固连于导杆。固连于导杆

49、。 动点动点取滑块取滑块A为动点。为动点。 2. 运动分析。运动分析。 2 er sin cos cot sin cot hh vv y x 解： 定系定系固连于机座。固连于机座。 rea vvv 应用速度合成定理应用速度合成定理 速度合成图如图所示。速度合成图如图所示。 O A B y x h ve vr va 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 3. 加速度分析。加速度分析。 Ca aasin 3 2 2 sin cos2 sin cos 2 sin 1 sin hha a C a crea aaaa 投影到投影到Oy轴上，得轴上，得 绝对加速度绝对加速度aa：大小大小待求待求，方向水平。

50、方向水平。 牵连加速度牵连加速度ae： , 方向沿方向沿BO，指向指向O。 2 sin h n ee aa 相对加速度相对加速度ar：大小大小未知，方向沿未知，方向沿BO。 科氏加速度科氏加速度aC： , 方向方向OB，偏上方偏上方。 r0C 2va 根据根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理 求得滑块求得滑块A的加速度的加速度 O A B y x h y x ae ar ac aa vr 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 例例2 已知：凸轮机构以匀已知：凸轮机构以匀 绕绕O轴转动，图示瞬时轴转动，图示瞬时OA= r ，A 点曲率半径点曲率半径 , 已知。已

51、知。 求：该瞬时顶杆求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。的速度和加速度。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 解解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线; 绝对速度: va=? 待求, 方向/AB; 相对运动: 曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。 )(tg tgrvvv eaAB cos/ cos/rvv er 根据速度合成定理 reavvv 做出速度平行四边形 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 n rva r n r 方向同相对加速度 ,cos/: 222 2 nar方向 ? ;

52、, , 0 : 2 Oraaa n ee e 方向指向轴心牵连加速度 相反。指向与方向 科氏加速度 ,/ ,cos/22: 2 nn rva rk 由牵连运动为转动时的加速度合成定牵连运动为转动时的加速度合成定 理理 k n eaaaaaa rr 作出作出加速度矢量图加速度矢量图如图示如图示 向 n 轴投影： k n rea aaaacoscos cos/ )sec2/seccos( 22222 rrraa aAB )sec2/sec1 ( 232 rr 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 以杆端端点为动点，动系建于轮上以杆端端点为动点，动系建于轮上 以轮心为动点，动系建于杆上以轮心为动点，动

53、系建于杆上 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 刚体运动过程中其上任意点轨迹都是圆，且刚体运动过程中其上任意点轨迹都是圆，且同一平面同一平面上各上各 点以点以同一点同一点为圆心为圆心，半径不同，半径不同，该刚体做该刚体做定轴转动定轴转动。 刚体运动过程中其上刚体运动过程中其上任意点任意点轨迹都是轨迹都是直线直线，刚体做，刚体做直线平动直线平动。 刚体运动过程中其上任意点轨迹都是圆，且各点圆轨迹的刚体运动过程中其上任意点轨迹都是圆，且各点圆轨迹的 半径半径相同相同，圆心不同，圆心不同，刚体刚体做曲线平动做曲线平动。 刚体运动过程中其上刚体运动过程中其上任意点任意点轨迹相同轨迹相同，都是，都是形状

54、一样形状一样平面平面 曲线或空间曲线，刚体做曲线或空间曲线，刚体做曲线平动曲线平动。 刚体运动过程中其刚体运动过程中其同一平面上各点轨迹均在同一平面同一平面上各点轨迹均在同一平面内，内， 且且各点轨迹不同各点轨迹不同，刚体做，刚体做平面运动平面运动。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 在图中，杆AB长l，滑倒时B 端 靠着铅垂墙壁。已知A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图示位置杆端B 点的速度及杆的角速度。 例 题 7-1 u 根据根据A、B速度方向特点速度方向特点(在同一平在同一平 面内运动，速度方向不变，但二者面内运动，速度方向不变，但二者 又不相同又不相同)可以确定刚体做平面运动可以确

55、定刚体做平面运动 。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 解：解： 解法一解法一、选 A 点为基点，A 点的速度vA=u， 则B点的速度可表示为 BAAB vvv 式中vB方向沿OB向下，vBA方向垂 直于杆AB，由速度合成矢量图可得 , tan u vB, sin u vBA 1、基点法、基点法 sin 1 l u l vBA AB ( 逆时针 ) A B O AB BA v uvA u B v 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 2012111420121114解法二、解法二、也可以选B点为基点， 则A点的速度可表示为 ABBA vvv 式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆AB， 且v

56、BA=ABAB，但AB未知，而vA=u。由 速度合成矢量图可得 , tan u vB , sin u vAB sin 1 l u l vAB AB( 逆时针 ) B v B v AB v uvA 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 71 BCCB ACCA vvv vvv CBCACCBA vvvvvv22 2 BA C vv v 2 BA C aa a 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 解：解： 选 A 点为基点，A 点的速度vA=u，则B点的速度可表示为 BAAB vvv 式中vB方向沿BO向下，vA方向沿水 平，由速度投影法,可得 cos)90cos( 0 uvB A B O AB B

57、A v uvA u B v 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 图所示图所示平面机构平面机构中，曲柄中，曲柄OA=100 mm，以角速度以角速度 = 2 rads1 转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮并拖动轮E 沿水平面滚动。已知沿水平面滚动。已知CD = 3CB，图示图示 位置时位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时试求此瞬时E点的速度点的速度。 A C O D E 30 60 运运 动动 演演 示示 例 题 7-2 根据根据A、B速度方向特点速度方向特点(在同一平在同一平 面内运动，速度方向垂直于该点与某一面内运动，速度方向垂

58、直于该点与某一 固定圆心的连线，但不是以相同的固定固定圆心的连线，但不是以相同的固定 点为圆心，点为圆心，)可以确定刚体做平面运动可以确定刚体做平面运动 。 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 解：由速度投影定理，杆由速度投影定理，杆AB上上 A，B点的速度在点的速度在 AB 线上投影相等，即线上投影相等，即 AB vv 30cos 1 sm 231.0 30 cos30 cos OAv v A B 摇杆摇杆 CD绕绕C点作定轴转动点作定轴转动 1 sm 693. 03 B B CDD vCD CB v CDv 轮轮E沿水平面滚动，轮心沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，的速度水平

59、，由速度投影定理，D，E 两点的速两点的速 度关系为度关系为 DE vv 30 cos 30 60 1 sm 8.0 E v 求得求得 CB v CBv B CDCDB 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 因为杆AB上A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可 求出杆AB的速度瞬心在C 点。 cot cos sin ul l u BCv ABB 所得结果自然与前相同。 注意到 vA = u ，所以可以求得 例例7-1（ 解法三）解法三）瞬心法瞬心法 sin l u AC u AB ( 逆时针 ) uvA B v 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 车轮上与地面相接触的C点的速度为零即为车轮的瞬

60、心。 利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为 例例7-4：车轮沿水平面作纯滚动，轮心速度为：车轮沿水平面作纯滚动，轮心速度为vO，求B点速度。 R v OC v O O （顺时针） 车轮上点B的速度方向垂直于连 线CB，大小为 OB vRBCv22 同理，可求得轮缘上其它各点的速 度。 O v B v 理论力学理论力学B课堂例题课堂例题 图示机构中，曲柄图示机构中，曲柄OA以角速度以角速度0顺钟向转动。设顺钟向转动。设 OA=AB= r，BD= r ，在图示瞬时，在图示瞬时，O，B，C 在同一铅直线上，在同一铅直线上， 试求此瞬时点试求此瞬时点B和和C的速度。的速度。 30 60 运运 动动