理论力学第十七章 机械振动基础 教学PPT

1、机械振动基础机械振动基础 机械振动基础机械振动基础 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 概概 述述 振振 动动 实实 例例 振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往 复运动。复运动。 概述概述 振动振动 是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。 线性振动线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经 过近似处理才能化成线性的。过近似处理才能化成线性的。

2、在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向 这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力恢复力。 当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称 为为线性恢复力线性恢复力。 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方 成正比的成正比的线性阻力线性阻力。 基本概念基本概念 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 k m 自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。是质点仅在恢

3、复力作用下进行的振动。 简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 振动问题简化为力学模型振动问题简化为力学模型 O k x 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 k m x k m 振动问题简化为力学模型振动问题简化为力学模型 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力 维持下的运动，即为自由振动。维持下的运动，即为自由振动。 自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图自由

4、振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图 (a)所示的质量一弹簧系统。所示的质量一弹簧系统。 l0 O M (a) (b) x F M Ox 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 取坐标轴取坐标轴Ox，原点，原点O是质点是质点M的平衡位置。如图（的平衡位置。如图（a ）所示。当）所示。当M的的 坐标是坐标是x时，弹簧作用于时，弹簧作用于M的力的力F的大小表示成的大小表示成 xkF 因因F 恒指向平衡位置恒指向平衡位置O，故它可写成，故它可写成 xkFx 于是，质点于是，质点M的运动微分方程写成的运动微分方程写成 xkxm 或或0 x m k x 式中式中c称为弹簧的刚度系数

5、，简称刚度。称为弹簧的刚度系数，简称刚度。 l0 O M (a) (b) x F M Ox 自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解 引入参量引入参量 m k 2 0 则上式可写成标准形式则上式可写成标准形式 这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振 动微分方程，它是动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程。 其通解为其通解为 把上式对时间求导数，得把上式对时间求导数，得 0 2 0 xx tCtCx 0201 sincos tCtCxv 002001 cossin 自由振动的微分方

6、程及其解自由振动的微分方程及其解 当当 t=0时，质点的初坐标和初速度时，质点的初坐标和初速度 令令t=0且且 和和 ，就可以确定积分常数，就可以确定积分常数 0 xx 0 xx 01 xC 和和 0 0 2 x C 这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是 , 0 xx 0 xv t x txx 0 0 0 00 sincos txtxx 00000 cossin tCtCx 0201 sincos tCtCxv 002001 cossin l0 O M (a) (b) x F M Ox 自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解

7、 这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是 通常把上二式写成通常把上二式写成 )sin( 0 tAx )cos( 00 tA x 利用三角变换，可以确定利用三角变换，可以确定 ,)( 2 0 0 2 0 x xA 0 00 tan x x t x txx 0 0 0 00 sincos txtxx 00000 cossin 自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解 可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。 T A A O t x )sin( 0 tAx ,)( 2 0

8、 0 2 0 x xA 0 00 tan x x t x txx 0 0 0 00 sincos 自由振动的微分方程及其解自由振动的微分方程及其解 （1）振幅和相角）振幅和相角 由式由式（a）可见质点相对于振动中可见质点相对于振动中 心（平衡位置）的最大偏离心（平衡位置）的最大偏离 Axmax 2 0 0 2 0 )( x x 称为称为振幅振幅。（。（0t+）称为）称为相角相角，而，而称为称为初相角初相角。 由式由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始可见，振幅和初相角都和运动的初始 扰动扰动 ( ) 有关。有关。 00 , xx )sin( 0 tAx （a） ,)( 2 0 0 2 0

9、 x xA 0 00 tan x x （b） T A A O t x 自由振动的基本参数自由振动的基本参数 （2）周期和频率）周期和频率 每重复一次运动状态所需的时间间隔，每重复一次运动状态所需的时间间隔， 称为称为周期周期，并用，并用T 表示。表示。 每隔一个周期每隔一个周期T，相角应改变，相角应改变 0T=2。因此，周期可以表示成。因此，周期可以表示成 周期一般以周期一般以s计。计。 k m T2 2 0 周期仅和系统本身的固有参数（质量周期仅和系统本身的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初与刚度）有关，而和运动的初 始条件无关。始条件无关。 周期周期 T A A O t x 自由振

10、动的基本参数自由振动的基本参数 2 1 0 T f 每每2秒内振动的次数称为秒内振动的次数称为圆频率圆频率，表示为，表示为 m k f 2 0 单位时间内振动的次数，称为单位时间内振动的次数，称为频率频率， 记作记作 f。 0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此， 0称为系统的称为系统的固有频率固有频率或或自然频率自然频率。 频率频率 T A A O t x 自由振动的基本参数自由振动的基本参数 用用s代表当物块在重力代表当物块在重力G 和弹簧力和弹簧力 F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具的作用下在平衡位置静止时

11、弹簧所具 有的变形，即有的变形，即静变形静变形（如图（如图a）。）。 )(xkmgxm s 以平衡位置以平衡位置O作为原点，令轴作为原点，令轴Ox铅直铅直 向下，则当物块在任意位置向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力时，弹簧力F 在轴在轴x上的投影上的投影 Fx=-k(s+x)（如图（如图b）。）。 s kmg （1） 显然，由平衡条件显然，由平衡条件 G F0=0 有有 可得物块的运动微分方程可得物块的运动微分方程 M G F0 l0 s （a） M x x O G F （b） 铅直悬挂质量一弹簧系统铅直悬挂质量一弹簧系统 xkxm 或或 0 2 0 xx 其中其中 ，可见，可见，M 仍在平

12、衡位置附近作无阻尼自由仍在平衡位置附近作无阻尼自由 振动。振动。 mk 2 0 利用弹簧自由悬挂时的静伸长利用弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，来求出系统的固有频率， 有有 , 0 kmg g m k s g 0 考虑到关系式考虑到关系式 ，上式写成，上式写成 s kmg 与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系 统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变， 而不影响振动的规律（如而不影响振动的规律（如周期、频率、相位周期、频率、相位）。）。 即即 )(xkmgxm

13、 s M x x O G F 铅直悬挂质量一弹簧系统铅直悬挂质量一弹簧系统 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ， 圆盘对杆轴的转动惯量为圆盘对杆轴的转动惯量为J。 扭振系统扭振系统 n kJ 圆盘绕杆轴转动微分方程为圆盘绕杆轴转动微分方程为 或或 0 n J k J k T n n 2 振动周期振动周期 kn O 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ， 圆盘对杆轴的转动惯量为圆盘对杆轴的转动惯量为J。 扭振系统扭振系统 求单摆求单摆(数学摆数学摆)的运动规律。的运动规律

14、。 O m 0 l 例例1 O vM 0 l mg F 解解: : 任意瞬时任意瞬时, ,质点的加速度在切向和法向的质点的加速度在切向和法向的 投影为投影为 写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程 )2( cos ) 1 (sin 2 mgFml mgml 22 n 2 2 ) d d (, d d l t lal t la 例例1 化简化简(1)即得单摆的运动微分方程即得单摆的运动微分方程 0 sin l g O vM 0 l mg F 微小摆动中，微小摆动中， 值始终很小，可以认为值始终很小，可以认为 sin ，则则 0 l g t l g cos 0 考虑初始条

15、件：考虑初始条件：t = 0, 0 0。得单摆的运动规律。得单摆的运动规律 , 2 1 l g f 频率 g l T2 周期 与幅角和初始条件无关。与幅角和初始条件无关。 例例1 利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统 的固有频率的固有频率。 k1 k2 W 21 21 kk kk k k1k2 W k=k1+k2 W W 例例2 sss kkkkW)( 2121 m kk m k 21 0 2 1 2 1 1.1. 并联情形。并联情形。 固有频率固有频率 上式说明并联弹簧的等效刚度系数为上式说明并联弹簧的等效刚度系数为 k1k

16、2 W s 解：解： 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚度系数分别为k1和和k2 ， 在在W重力作用下作铅直平动，静变形重力作用下作铅直平动，静变形 为为s ，有，有 s k W 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形，使它在相等的变形 下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有 ss kkkW)( 21 21 kkk 例例2 设弹簧刚度系数分别为设弹簧刚度系数分别为k1和和k2 ， 在在W重力作用下，两弹簧的总静变重力作用下，两弹簧的总静变 形形s等于单个弹簧的静变形之和，等于单个弹簧的静变形之和，

17、有有 , 2 2 1 1 k W k W ss 2. 2. 串联情形。串联情形。 s2s1s k1 k2 W 1 s+2 s 由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是相等，于是 选择弹簧刚度系数为选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形，使它的静变形s等等 于串联的两弹簧静变形之和于串联的两弹簧静变形之和1 s+2 s。 k s W k W s 例例2 2 2 1 1 , k W k W ss )(2 1 21 21 kkm kk k 21 21 21 11 1 kk kk kk k s2s1s 固有频率固有频率 串联

18、弹簧的等效刚度系数为串联弹簧的等效刚度系数为 得得 , k W s , 21 k W k W k W , 111 21 kkk 弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。 c1 c2 W 1 s+2 s c s W 例例2 k1 O k2 1 2 1 2 k1 O k2 思考思考 m v 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截 面积面积S2.89104 m2，材料的弹，材料的弹 性模量性模量E200 GPa。重物的质量重物的质量 m6000 kg，以匀速以匀速v0.25 ms 1下降。当重物下降到 下降。当重物下降到l25 m时，时， 钢

19、丝绳上端突然被卡住，求重物钢丝绳上端突然被卡住，求重物 的振动规律。的振动规律。 l 例例3 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块 系统，弹簧的刚度为系统，弹簧的刚度为 16 mN10312. 2 l ES k m k 静平衡位置O x 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位这时重物的位 置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x 作为广义坐标，则系统的振动方程为作为广义坐标，则系统的振动方程为 0 xkx m 解：解： 方程的解为方程的解为 m k t Ax 00 ,sin 例例3 利用初始条件利用初始条

20、件 vvx (0)(0) 求得求得 0 v A m k 静平衡位置O x 0 0 xxm 方程的解为方程的解为 m k t Ax 00 ,sin 例例3 如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为如图为一摆振系统，杆重不计，球质量为 m ，摆对轴，摆对轴O的的 转动惯量为转动惯量为J。弹簧刚度系数为。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，杆于水平位置平衡， 尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频 率。率。 d l k F mg O m 例例4 D3蛤蟆夯2.mpg 例例4 解：解： 摆于水平位置处，弹簧已有压缩量摆于水平位置处，弹簧已有压缩量0

21、，由，由 平衡方程平衡方程MO(Fi)=0，有，有 )( 0 a dkmgl 以平衡位置为原点，摆在任一小角度以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹处，弹 簧压缩量为簧压缩量为0+ d。摆绕轴的转动微分方程为摆绕轴的转动微分方程为 ddkmgl t J)( d d 0 2 2 将式将式(a)代入上式，得代入上式，得 2 2 2 d d dk t J d l k F mg O m 例例4 2 2 2 d d kd t J 上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由 振动微分方程振动微分方程 )b( 0 d d 2 2 2 J kd t 则此摆振系统的固有频率为则此摆

22、振系统的固有频率为 J d k 0 d l k F mg O m 例例4 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成 正比的介质阻力，这种阻力称为正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力线性阻力（或（或粘滞阻力粘滞阻力）。）。 如图示系统在介质里运动中，质点如图示系统在介质里运动中，质点 M将受到介质阻力的作用。将受到介质阻力的作用。 vFc d 其中，其中，c称为称为粘滞阻力系数粘滞阻力系数（以（以 为单位），为单位）， 表示质点在单位速度时，所受的阻力值，表示质点在单位速度时

23、，所受的阻力值， 其大小与介质和物体的形状等因素有关，其大小与介质和物体的形状等因素有关， 可由实验测定。式中负号表示阻力与速度可由实验测定。式中负号表示阻力与速度 的方向恒相反。的方向恒相反。 s kg MM x x k G Fd v F O l0 + s 在微振动情况下，速度不大，可以认在微振动情况下，速度不大，可以认 为阻力为阻力Fd与速度与速度v 的一次方成正比，即有的一次方成正比，即有 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 取物块的平衡位置作为坐标原点取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴，轴Ox沿直线向下。当物块在位沿直线向下。当物块在位 置置O时，弹簧拉力时，弹簧拉力F0=

24、ks,与表观重力与表观重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有（已扣除浮力）相互平衡，即有 s kG 物块运动时，物块运动时， ， xcRx)(xkF sx xcxkGxm s )( 考虑到，考虑到， 上式简化成上式简化成 s kG 0 xkxcxm 代入参量代入参量 , 2 0 m k m c 2 则上式写成则上式写成 质点的运动微分方程写成质点的运动微分方程写成 02 2 0 xxx (称为称为阻尼系数阻尼系数) （1） MM x x k G Fd v F O l0 + s 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 这就是在这就是在线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标线性恢复力和线

25、性阻力作用下质点运动微分方程的标 准形式准形式。式中。式中称为称为阻尼系数阻尼系数。 此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如此式是二阶常数线性齐次方程，这个方程具有形式如 ezt 的解，的解， 把把 ezt 代入，得到特征方程，即代入，得到特征方程，即 z值与比值值与比值/ 0有关。有三种不同的情形：有关。有三种不同的情形： 02 2 0 2 zz （1） 0 称为大阻尼。称为大阻尼。 2 0 2 2, 1 z特征方程的解为特征方程的解为 02 2 0 xxx 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 当当 0 时，特征方程具有一对共轭复根时，特征方程具有一对共轭复根 22 02,

26、1 iz 引入参量引入参量 ，则式，则式(1)的通解可以写成的通解可以写成 22 0d 我们将只讨论我们将只讨论小阻尼小阻尼 0情形情形。 tititztz eBeBeBeBx d )( 2 )( 121 d21 )( dd 21 titit eBeBe 式中，式中，B1和和B2是积分常量，由运动的初始条件来决定。是积分常量，由运动的初始条件来决定。 02 2 0 xxx (1) 02 2 0 2 zz 特征方程特征方程 2 0 2 2, 1 z 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 sincosie i 令令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成，则上述通解可改写

27、成 )sincos( d2d1 tCtCex t 式中，新的积分常量式中，新的积分常量C1和和C2仍可以由运动的初始条件来决定。仍可以由运动的初始条件来决定。 根据欧拉公式根据欧拉公式 把上式对时间把上式对时间t求导数，得质点速度的一般表达式求导数，得质点速度的一般表达式 )sincos( d2d1 tCtCex t )cossin( d2d1 d tCtCe t )( dd 21 titit eBeBex 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 , 10 Cx 2d10 CCx 从而解得从而解得, 01 xC d 00 2 xx C 于是，质点的运动方程写成于是，质点的运动方程写成 或

28、者通过三角函数的变换，把上式写成或者通过三角函数的变换，把上式写成 运动的初始条件：当运动的初始条件：当t=0时，时， ；将它们代入上式，得到；将它们代入上式，得到 0 xx 0 xx txex t d0 cos( )sin d d 00 t xx (2) )sin( d tAex t (3) )sincos( d2d1 tCtCex t )sincos( d2d1 tCtCex t )cossin( d2d1 d tCtCe t 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 2 d 00 2 0 ) ( xx xA 00 0d tan xx x 1. 由式由式(2)或式或式(3)可以看到，由

29、于小阻尼的可以看到，由于小阻尼的 影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。 式中式中 结果分析讨论结果分析讨论 txex t d0 cos( )sin d d 00 t xx (2) )sin( d tAex t (3) t eA T1 A2 A1 A3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 2. 因子因子sin(t+)表明物块仍周期性表明物块仍周期性 地通过平衡位置地通过平衡位置O而交替地向点而交替地向点O的两的两 侧偏离。侧偏离。 这样的运动称为衰减振动，但习惯这样的运动称为衰减振动，但习惯 上仍把上仍把 称为它的称为它的周期周期，而，而 Ae

30、t称为它的 称为它的振幅振幅。与无阻尼自由振动。与无阻尼自由振动 相比较，衰减振动也称为相比较，衰减振动也称为有阻尼自由振有阻尼自由振 动动。 d d 2 T )sin( d tAex t (3) 3。 因子因子Ae t表示这些偏离的可能最 表示这些偏离的可能最 大值，但它是随时间而不断减小的，最大值，但它是随时间而不断减小的，最 后趋近于零。后趋近于零。 t eA T1 A2 A1 A3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 22 0 d d 22 T 上式可改写成上式可改写成 21 2 0 21 2 00 d ) (1) (1 2 TT 式中，式中，T是无阻尼自由振动周期。是无阻尼

31、自由振动周期。 因为衰减振动中因为衰减振动中 0，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期 Td相对于无阻尼时的周期相对于无阻尼时的周期 T 来说有所增长。来说有所增长。 , 2 0 m k m c 2 t eA T1 A2 A1 A3 阻尼对周期阻尼对周期Td的影响的影响 例如，当例如，当 时，时，05. 0 0 ,00125. 1)05. 0( 2 1 1 2 d TTT 可见，当阻尼系数可见，当阻尼系数 比比 0 小得多时，阻尼对周期的影响并不小得多时，阻尼对周期的影响并不 显著，在初步计算中甚至可以直接用显著，在初步计算中甚至可以直接用 T 代替代替

32、Td 。 2 0 d )( 2 1 1 TT 1。当。当 0 时，周期时，周期 Td 无限地增长，无限地增长，(Td), 从而运动失去往复性。从而运动失去往复性。 2。而当。而当 很小时，即很小时，即 0 时，时，Td可近似地表可近似地表 示为示为 仅增加仅增加0.12 5 %. 21 2 0 21 2 00 d ) (1) (1 2 TT t eA T1 A2 A1 A3 , 2 0 m k m c 2 阻尼对周期阻尼对周期Td的影响的影响 在任意瞬时在任意瞬时t1，振幅是，振幅是 由于阻尼的存在，振幅由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 随时在减小。为随时在减小。为 了说明振幅衰减的快慢，可作如

33、下分析了说明振幅衰减的快慢，可作如下分析 1 1 t AeA 时间逐次增加半周期时间逐次增加半周期 ，则瞬时振幅将分别是，则瞬时振幅将分别是 d 2 1 T 2 1 2)2( 2 dd1d1 TTt Tt eAeAeAeA 2 2 )22( 3 dd1 TTt eAAeA 因此，有比值因此，有比值 2 3 1 2 A A A A 2 d T e =常数常数 即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。 )sin( d tAex t (3) t eA T1 A2 A1 A3 阻尼对振幅阻尼对振幅Ae-t的影响的影响 减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的

34、衰减程度。减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。 由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速 的。的。 即，每经过半个周期，振幅就缩减即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过。经过10个周期，振幅将变成个周期，振幅将变成 原来振幅的原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的，只有原来的4.3%。 通过以上讨论可见，小阻尼通过以上讨论可见，小阻尼（ 0）对周期的影响很小，可以忽对周期的影响很小，可以忽 略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当 0

35、时，运动将失去往复时，运动将失去往复 性。性。 公比公比 称为称为减缩率减缩率。 2 d T e 2 ln d 2 d T e T 称为称为对数减缩率对数减缩率。 仍以仍以 = 0.050 为例，这时减缩率是为例，这时减缩率是8550 2 d .e T 1. 小阻尼小阻尼 ( 1)情形情形 , 1 2 02, 1 vz 临界阻尼临界阻尼(v1)情形情形 , 21 zz t- etCCx 21 02 2 0 xxx 2 0 2 2, 1 z 0 v 2.大阻尼大阻尼( 0)情形与临界阻尼情形与临界阻尼( 0)情形情形 令令 v1 v1 x O t 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰

36、减。这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减。 阻尼对振幅阻尼对振幅Ae-t的影响的影响 k M A B 图示为一种液体减振器装置的简化模图示为一种液体减振器装置的简化模 型。悬挂在弹簧下端的物块型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒与圆筒A 内的活塞内的活塞B相固连，简内充满粘性液体。相固连，简内充满粘性液体。 活塞上钻有许多圆孔，当物块活塞上钻有许多圆孔，当物块M上下上下 振动时，液体从孔中往复流过，给活振动时，液体从孔中往复流过，给活 塞一正比于速度的阻力。设物块连同塞一正比于速度的阻力。设物块连同 活塞的质量活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数弹簧的刚度系数 k=3 920 N

37、m。已知物块开始运动后经。已知物块开始运动后经 过过10个周期，振幅减到初值的个周期，振幅减到初值的1 40。 求阻尼系数求阻尼系数和阻力系数和阻力系数c。 例例5 解：解：由题意知，物块由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数的运动是衰减运动。阻尼系数 可通过减缩率来求出。已知经过可通过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初周期，振幅减缩到初 始的始的140，即有，即有 40 1 )( 202 d T e 22 0 d d 22 T 22 0 d 2 T 1)( 2 0 故有故有 取自然对数，求得对数减缩率取自然对数，求得对数减缩率 另一方面，考虑到另一方面，考虑到 40 1 ln

38、20 1 2 ln d 2 d T e T =0.184 4 k M A B 例例5 因而阻尼系数为因而阻尼系数为 (2) 1) ( 2 0 07.171) 1844. 0 142. 3 ( 2 0 srad6 .62 1 3920 0 m k srad67. 3 07.17 6 .62 07.17 0 即即 以以值代入式（值代入式（2），求得），求得 但固有频率但固有频率 于是，求得阻尼系数为于是，求得阻尼系数为 c=2 m=213.67=7.34 kgs (1)(1) 22 0 d 2 T 1)( 2 0 k M A B 例例5 其实，当其实，当 0 时，在式时，在式（1）和式和式（2）的

39、的 根式中，与根式中，与 (0 )2 相比较可以忽略相比较可以忽略1，用这种用这种 近似计算求得的结果是足够精确的。近似计算求得的结果是足够精确的。 1844. 0 2 2 0 d TT ,0587. 0 1844. 0 0 srad68. 36 .620587. 0056. 0 0 在本例中在本例中 0，可以取可以取Td近似地等于近似地等于T。于是有于是有 因而因而 (2) 1) ( 2 0 ) 1 ( 1)( 2 0 k M A B 例例5 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 O AB O1 O2 C l l M 振动筛振动筛 夯土机夯土机 强迫振动实例强迫振动实例 钢板钢板 振

40、动台振动台 强迫振动实例强迫振动实例 假定振动物块假定振动物块 M 还受到扰力还受到扰力F的作用的作用 FH=Hsint，其中，其中 H 称为力幅，称为力幅， 表示扰力的最大值；表示扰力的最大值； 称为扰力变化的频率。称为扰力变化的频率。H 和和 都可以认为仅决定都可以认为仅决定 于扰力的来源而与物块的运动无关。于扰力的来源而与物块的运动无关。 取物块取物块M的平衡位置作为原点的平衡位置作为原点O，轴，轴 Ox铅直向下。在任意瞬时铅直向下。在任意瞬时t，物块，物块M的运动的运动 微分方程写成微分方程写成 tHxcxkGxm s sin)( M M x x k G Fd v F O l0 +s

41、FH 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 tHxcxkGxm s sin)( 考虑到平衡关系考虑到平衡关系 ，仍引用，仍引用 ，并引入新的参，并引入新的参 数数 ，则上式化为，则上式化为 s kG, 2 0 m k m c 2 mHh 这就是这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式质点强迫振动的微分方程的标准形式，它，它是非齐次的二阶常系是非齐次的二阶常系 数线性微分方程数线性微分方程。 thxxxsin2 2 0 (*) 21 xxx方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即 其中其中x1是与方程（是与方程（*）相对应的齐次方程）相对应的齐次方程的通解。的通解。02 2 0 xxx )si

42、n( d 1 tAex t 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 21 xxx 特解特解x2可以写成可以写成 )sin( 2 tBx 把特解把特解x2及其导数及其导数 ),cos( 2 tB x )sin( 2 2 tB x )sin()cos(2)sin( 2 0 2 tBtBtBthsin 代入微分方程方程的标准形式得代入微分方程方程的标准形式得 方程的通解由两部分组成，即方程的通解由两部分组成，即 thxxxsin2 2 0 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 cos)( 22 0 hB 22222 0 4)( h B 22 0 2 tan 从而可以解得从而可以解得 故得在小阻尼故得在小阻尼 1 ，即

43、扰力频率即扰力频率 p 远大于固有频率远大于固有频率k时，时， 表示强表示强 迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。 , 0 2 00 2 2 0 2 0 ). 2()1 ( 1 B B 222 )2()1 ( 1 vzz 引入无量纲参数引入无量纲参数 0 z 0 v z v 来不及振动来不及振动 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 , 2 0 , 2 0 h B 可见，这时强迫振动的振幅可见，这时强迫振动的振幅 B 和阻尼系数成反比。特别是如和阻尼系数成反比。特别是如0,则则 B（共振）。（共振）。 （3）当）当 z=1，即，即 =0时，由式时，由式 可得

44、可得 22222 0 4)( h B 222 )2()1 ( 1 vzz z v 0 z 0 v 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 当当 1-2v2 0 时，时， z = 0 给出给出的极小值。而的极小值。而 给出给出的极大值，的极大值， 这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰值峰值。对应的扰力频率称。对应的扰力频率称 为为峰值频率峰值频率，用，用m代表，则由式代表，则由式(a)得得 2 21vz （4）放大系数）放大系数具有极大值。具有极大值。 22 0 2 0m 221v 222 )z 2()1 ()(zzf 取函数取函数 求导数求导数 )21 (48)

45、1 (4 d )( d 2222 zzzzz t zf )321 (4 d )( d 22 2 2 z t zf 由极值条件由极值条件，得，得 0 d )( d t zf 2 21 , 0zz （a） 222 )2()1 ( 1 vzz 0 z 0 v 有阻尼强迫振动有阻尼强迫振动 在式在式3)中，令中，令=m，可得，可得强迫振动的振幅峰值强迫振动的振幅峰值，以，以Bm代表，有代表，有 如果阻尼很小，如果阻尼很小，0，则由式（，则由式（2）和式（）和式（4）可得）可得 22222 0 4)( h B (3) 22 0 m 2 h B (4) (5) 0 2 0 0 2 0m ) (2121 v 0 z 0 v 02 0 0 22 0 m 2 ) (12 2 hhh B 峰值频率峰值频率 (2) 2