四省八校2020届高三第三次教学质量检测考试数学理试题含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精四省八校2020届高三第三次教学质量检测考试数学理试题含解析 “四省八校”2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）注意事项：1。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。1。已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高

2、三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见,现从全体高中学生中抽取作为样本.若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取( )a. 100人b. 80人c。 600人d。 240人【答案】b【解析】【分析】由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可。【详解】由分层抽样的定义可知，应在高二学生中抽取人数为：。故选：b。【点睛】进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比2.已知复数，则在复平面内对应点的坐标为( ）a. b. c. d。 【答案】b【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后结合化简结果即

3、可确定其所在的象限。【详解】，则在复平面内对应的点坐标为，故选：b.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数所对应的点的坐标的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。3.已知命题：,，命题：，则下列判断正确的是( ）a。 是真命题b. 是真命题c. 是真命题d. 是假命题【答案】a【解析】【分析】由题意首先确定命题p,q的真假,然后判定所给的复合命题的真假即可。【详解】当时，命题p为假命题；当时，命题q为真命题；则：是真命题，是假命题，是假命题，是真命题。故选:a。【点睛】本题主要考查命题真假的判定,复合命题的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。4.在的展开式中，含的项

4、的系数是（ ）a. -100b. -60c。 60d。 100【答案】a【解析】【分析】由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含的项的系数即可。【详解】由题意可得：含的项为，则含的项的系数是。故选:a.【点睛】本题主要考查二项式展开式系数的计算，排列组合与二项式展开式的联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知直线:，：,若,则( )a。 b. 1c. -1d. 不存在【答案】c【解析】【分析】由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.【详解】由直线平行的充分必要条件可得:且，据此可得:。故选:c。【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，属

5、于基础题.6。已知，,，则，,的大小关系为( ）a。 b. c. d。 【答案】b【解析】【分析】由题意利用对数函数的性质和作差法比较所给的数的大小即可.【详解】很明显，且：，故选：b.【点睛】本题主要考查对数的运算性质，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。7.已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，点，为坐标原点.若的面积为1,则的值为( ）a. 1b. c。 2d. 【答案】a【解析】【分析】由题意首先确定渐近线方程和准线方程,然后结合三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可确定m的值。【详解】双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为：，联立得,，则。

6、由，解得，故选：a.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线的性质，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。8.我国某省新高考将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式。某校高一新生甲、乙分别选了历史、物理，若他们都对后面四科没有偏好且彼此选课互不影响,则他们选课恰有一科相同的概率为（ )a。 b。 c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意首先确定所有的选课方法种数和满足题意的选课方法数，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】由题意可得，所有的选课方法有种,满足题意的选课方法

7、有种,结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：，故选：b。【点睛】有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图列举（2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.9。在直角三角形中,，取点、，使,那么（ ）a. 8b. 4c. 4d。 8【答案】d【解析】【分析】首先将向量均表示为以为底的线性组合形式,然后结合向量数量积的运算法则和题意整理计算即可求得最终结果。【详解】，,化简得，同理可得,，可得,，故选:d.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，平面向量数量积的

8、运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。10.若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）a. b。 c. d. 【答案】b【解析】【分析】由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关于实数a的不等式组即可确定实数a的取值范围.【详解】由题可转化为,令，则，则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,当时，做出函数的图象如图所示，结合题意可知:要使原方程恰有4个不相等的实数根，则,且关于的方程在有两个不相等的实数根，即在有两个不同的零点，则，解得，表示为区间形式即。故选:b。【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研

9、究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。11.已知实数，满足条件,则的最大值为( ）a. b。 c. d. 【答案】c【解析】【分析】由题意首先将问题转化为定点到两个动点之间距离的问题，然后利用椭圆的定义进行等价转化，最后利用三点共线的结论即可确定满足题意的最值。【详解】根据题意，点在椭圆上，且，表示点到点和到点的距离之和，即。其中点是椭圆的右焦点，左焦点为。，又因为，于是，据此可知:的最大值为。故选：c。【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，椭圆的定义的应用,最值的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。12.存在函数，满足对任意,都有（ ）a. b.

10、 c。 d。 【答案】d【解析】【分析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可.【详解】根据函数的定义可知，a选项：当时，有和，因此不符合函数的定义。b选项:当时，.于是当为偶数时，,当为奇数时，因此不符合函数定义。c选项：当时，。于是当为偶数时，,当为奇数时,因此不符合函数的定义。d选项，由可得，满足函数的定义。故选：d。【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用,属于中等题.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_【答案】【解析】乙不输的概率为,填。14。有

11、一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下图：数据分组频数281020164根据样本的频率分布估计，总体的平均数为_.(保留小数点后两位)【答案】12367【解析】【分析】由题意利用平均数公式计算平均数即可。【详解】由题意可得,平均数为：.故答案为：【点睛】本题主要考查频率分布表的应用,平均数的计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力。15.已知圆：与圆：相内切,则的最小值为_。【答案】1【解析】【分析】首先确定两圆的圆心和半径,然后结合两圆内切的条件得到关于m，n的等量关系，最后利用基本不等式即可确定的最小值。【详解】：，圆心，：,圆心，圆，内切，,，即，当且仅当即时等号成立，

12、因此最小值为1.故答案为:1【点睛】本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）:全月应缴纳所得额税率不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况,实施了个人所得税税前专项附加扣税暂行办法,具体如下表:项目每月税前抵扣金额（元)说明子女教育1000一年按12月计算，可扣120

13、00元继续教育400一年可扣除4800元，若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600元大病医疗5000一年最高抵扣金额为60000元住房贷款利息1000一年可扣除12000元，若夫妻双方在同一城市工作，可以选择一方来扣除住房租金1500/1000/800扣除金额需要根据城市而定赡养老人2000一年可扣除24000元,若不是独生子女，子女平均扣除。赡养老人年龄需要在60周岁及以上老李本人为独生子女,家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照个人所得税税前专项附加扣税暂行办法，则老李

14、应缴纳税款（预扣）为_元.【答案】890【解析】【分析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数,然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.【详解】根据题意,老李应纳税的工资、薪金为元，其中应纳税额所得额为。缴纳的个人所得税（预扣）为元，故答案为：890【点睛】本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17。已知正项数列的前项和为，且和满足：。（1）求的通项公式；（2）设数列，求的前项和.【答案】(1）（2）【解析】【分析】（1)首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合

15、等差数列通项公式可得数列的通项公式;(2）结合（1）的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减求解其前n项和即可.【详解】（1）当时，,解得：，当且时，整理可得：，数列以2为首项，4为公差的等差数列，.（2）由（1)知，,则则,由-得化简得.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地,如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解18。已知向量,，且函数。（1）求的最小正周期及对称中心;（2）在中，内角，的对边分别为，,，角为锐角，若，且的面积为.求的周长。【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，

16、.（2）【解析】【分析】（1)首先将函数的解析式化简为的形式，然后确定其最小正周期和对称中心即可；（2）由题意首先求得a的值,然后利用正弦定理求得a的大小，最后结合余弦定理求得b+c的值即可求得三角形的周长.【详解】（1），由,故最小正周期为。由,，,的对称中心为,.（2)由于，故，于是，又，解得.，解得.故或（舍去）.由余弦定理，则化简得：,，三角形的周长为.【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力。19。为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生,七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校数

17、学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“，”三个不同的等级,并按照不同的等级,设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示.测试分数的范围分数对应的等级贡献的积分等1分等2分等3分(1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“等”和“非等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人,求3人中至少1人数学测试为“等”的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体,若从乙学校全体考生中随机抽取3人，记3人中数学测试等级为“等”

18、的人数为，求的分布列和数学期望；（3)根据考生数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为和，用样本估计总体，求和的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1)由题意首先确定需要抽取的人数,然后结合对立事件公式即可求得满足题意的概率值.(2)由题意可知随机变量服从二项分布，结合二项分布的概率公式求得相应的概率值即可得到其分布列，然后求解数学期望即可;(3）设和的估计值为和，求得其相应的值即可给出相应的结论。【详解】（1)由题意知抽取的10人中,数学成绩为“等

19、和“非等”的人数分别为2人和8人。设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“等”的事件为,则.（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则每位考生数学测试等级为“等”的概率为.记3人中数学测试等级为“等”的人数为，则.，,.0123故.(3）由题可知，设和的估计值为和，(分）（分)则，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看,本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，分布列与数学期望的计算，实际问题中的概率统计问题决策方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知抛物线：的准线经过点.（1）求抛物线的方程；

20、（2）设是原点,直线恒过定点,且与抛物线交于，两点,直线与直线，分别交于点，.请问：是否存在以为直径的圆经过轴上的两个定点?若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1)（2)存在，以为直径的圆经过轴上的两个定点分别为和【解析】【分析】(1）由题意首先求得p的值，然后确定抛物线方程即可;（2)设出直线ab的方程,与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得圆的方程，结合圆的方程即可确定圆是否过定点。【详解】（1）由于知，故抛物线:；(2）设直线：，且，联立知，由韦达定理知,由于直线：,故点。直线:，故点,故以为直径的圆的方程为,令知，代入知解得，.故以为直径的圆经过轴上的两个定点分

21、别为和.【点睛】（1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知函数,.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2）【解析】【分析】（1)首先求得切点坐标，然后利用导函数的几何意义求得切线的斜率即可确定切线方程;（2）结合函数的解析式分离参数，然后构造新函数，利用导函数研究构造的新函数的最值即可确定实数a的取值范围。【详解】(1）当时，则，又因为，则.故切线方程为，化简得。（2）若对恒成立，即对恒成立，记，则，记，则恒成立，则在单调递减，则，即，故函数在单调递减，则，故。【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性;已知单调性，求参数 (3）利用导数求函数的最值（极值)，解决生活中的优化问题 （4)考查数形结合思想的应用请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角