高中数学 第四章 定积分 4.3 定积分的简单应用教案 北师大版选修2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精定积分的简单应用一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2、掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。二、教学重点与难点：1、定积分的概念及几何意义；2、定积分的基本性质及运算在物理中应用.三、教学方法：探究归纳,讲练结合四、教学过程（一)、复习：(1）、求曲边梯形的思想方法是什么？（2)、定积分的几何意义是什么?（3）、微积分基本定理是什么？ （二）、定积分的应用【定积分在物理中应用】1、求变速直线运动的路程我们知道,作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v （t） （ v(t） 0） 在时间区间a,b上的定积分,即例

2、 1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示求汽车在这1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：答:汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m 。2变力作功一物体在恒力f（单位:n）的作用下做直线运动，如果物体沿着与f相同的方向移(单位：m)，则力f所作的功为w=fs .探究如果物体在变力 f（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 f (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b （ab） ,那么如何计算变力f(x）所作的功w呢?与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲解决变力作功问题可以得到 例2如图17一4 ，在

3、弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处,求克服弹力所作的功解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 f ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 f （ x ）= kx ， 其中常数 k 是比例系数由变力作功公式，得到答:克服弹力所作的功为。例3a、b两站相距7。2km，一辆电车从a站b开往站，电车开出ts后到达途中c点，这一段的速度为1。2t（m/s），到c点的速度为24m/s，从c点到b点前的d点以等速行驶,从d点开始刹车，经ts后,速度为(24-1。2t）m/s，在b点恰好停车，试求（1）a、c间的距离;(2）b、d间的距离；（3）电车从a站到b站所需的时间

4、。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v（t)(v（t）0)在时间区间a，b上的定积分，即略解：（1）设a到c的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则ac（2）设d到b的时间为t21则241。2t2=0, t21=20(s),则db（3)cd=7200-2240=6720(m),则从c到d的时间为280（s),则所求时间为20+280+20=320（s）练习:如果1n能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ a ） a 0。18j b 0。26j c 0.12j d 0.28j略解：设,则由题可得,所以做功就是求定积分。（三）、课堂小结： 本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积,要注意微积分的基本思想的应用与理解。（四）、作业:课本p86页7 p95页9、11五、教后反思根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等