数学欣赏2011版A

1、SZU http:/ 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 思考几个问题思考几个问题 数学是什么？数学是什么？ 为何学数学？为何学数学？ 数学有用吗？数学有用吗？ 数学容易吗？数学容易吗？ 数学有趣吗？数学有趣吗？ 数学美丽吗？数学美丽吗？ 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics A

2、ppreciationMathematics Appreciation p一个人不识字甚至不会说话可以生 活，但是若不识数，就很难生活。 p一个国家的科学进步，可以用它消 耗的数学来度量。 数学有多重要？数学有多重要？ 语言，交流的工具；数学，思维的体操！ 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 课程目的 u为你打开一扇窗户，开启你认识世界的为你打开一扇窗户，开启你认识世界的 通道，欣赏数学的美丽与神奇

3、；通道，欣赏数学的美丽与神奇； u帮你擦亮一双眼睛，丰富你观察世界的帮你擦亮一双眼睛，丰富你观察世界的 方式，认识数学的本质与价值；方式，认识数学的本质与价值； u给你武装一副头脑，提升你改造世界的给你武装一副头脑，提升你改造世界的 能力，掌握数学的思想与方法。能力，掌握数学的思想与方法。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 主要主要 内容内容 数学之魂 数学之美 数学之趣 数学之妙 数学之奇 数学

4、之问 数学之功 数学之旅 数学欣赏 数学欣赏数学欣赏A 数学数学之魂之魂 主讲：张文俊主讲：张文俊 深圳大学数学学院 2011年2月 The Soul of Mathematics 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学之魂，追根求源数学之魂，追根求源 研究对象研究对象数与形，为万物共有，是万物之本；数与形，为万物共有，是万物之本； 研究内容研究内容数形变化关系与规律，反映的是物质数形变化关系与规

5、律，反映的是物质 世界的运动规律与相互关系，是万物之理；世界的运动规律与相互关系，是万物之理； 建立基础建立基础公理系统，其结论直白，道理自明；公理系统，其结论直白，道理自明； 建立方法建立方法演绎推理（三段论），其形式简洁，演绎推理（三段论），其形式简洁， 层次清晰，结构严谨，推论无疑层次清晰，结构严谨，推论无疑. 数学关注万物共性与本质，揭示万象之理与奥秘，数学关注万物共性与本质，揭示万象之理与奥秘， 其基础简明稳固，方法科学普适，结论精准可靠，其基础简明稳固，方法科学普适，结论精准可靠， 这是数学的灵魂，是数学价值和美、理、奇、妙、这是数学的灵魂，是数学价值和美、理、奇、妙、 趣的根源趣

6、的根源. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 本章内容本章内容 数学的对象与内容数学的对象与内容1 数学的方法与特点数学的方法与特点2 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数数 学学

7、 做做 什什 么么 u对象：对象：万物之本万物之本数与形；数与形； u内容：内容：万象之谜，万事之理；万象之谜，万事之理； 数学的对象 1 1 数与形数与形万物之根万物之根 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学是研究现实 世界的数量关系和空 间形式（简称数与形） 的科学。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣

8、赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 世间万事万物，不论是有生命的，还是世间万事万物，不论是有生命的，还是 没有生命的；不论是动物，还是植物；不论没有生命的；不论是动物，还是植物；不论 是自然形成的，还是人工创造的；不论是气是自然形成的，还是人工创造的；不论是气 态、液态，还是固态；不论是在宏观世界，态、液态，还是固态；不论是在宏观世界， 还是在微观世界还是在微观世界, ,它们均以一定的它们均以一定的形形态存在态存在 于空间之中，并受诸如长度、面积、体积、于空间之中，并受诸如长度、面积、体积、 质量、浓度、温度、色度等各种

9、质量、浓度、温度、色度等各种量量的制约。的制约。 这种万事万物所共有的内在特质这种万事万物所共有的内在特质“数数 ( (量量) )”与与“形（态）形（态）” ，乃是数学科学的两，乃是数学科学的两 大柱石。大柱石。 形数 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 形形 数数 1,2,3 两大柱石两大柱石 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Apprec

10、iation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 世间万事万物不是 静态不变的，而是 不断在运动和变化 着。 运动和变化体现在运动和变化体现在 事物的内在特质上，事物的内在特质上， 就是就是“形”的变换 和和“量”的增减。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 形的变换有各种各形的变换有各种各 样，有描述位移的样，有描述位

11、移的 平移、旋转等平移、旋转等刚体刚体 变换变换 也有描述缩放、透也有描述缩放、透 视的相似、仿射、视的相似、仿射、 直射等直射等射影变换 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 还有描述物体拉伸、还有描述物体拉伸、 扭转的扭转的拓扑变换拓扑变换。 这就形成了各种各样的几何学。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏

12、数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 量的增加，衍生出一种基本运量的增加，衍生出一种基本运 算算加法加法。 在量的变化中，先增加，再增在量的变化中，先增加，再增 加，与先增加，再增加，其结加，与先增加，再增加，其结 果无异，这就衍生出加法运算的交换果无异，这就衍生出加法运算的交换 律律 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学欣赏

13、数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数字或者更一般的抽象元素等被数字或者更一般的抽象元素等被 赋予运算，具有一定规则和规律，就赋予运算，具有一定规则和规律，就 构成了代数学。构成了代数学。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Apprec

14、iation 作为万事万物 所共有的内在特质“数”与“形”， 附以反映万事万物变化规律 的运算、变换及其规则， 就是数学。 古典数学如此， 现代数学的本质也是如此。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 23 代代 数数 数量关系的科数量关系的科 学：学：数量关系 、顺序关系占 主导，培养计 算与逻辑思维 能力。 分分 析析 数形关系的科学数形关系的科学 ：量变关系、瞬 间变化与整体变 化关系占主导，

15、 函数为对象、极 限为工具，培养 逻辑思维能力和 建模能力。 几几 何何 空间形式的空间形式的 科学：科学：位置 关系、结构 形式占主导 ，培养直觉 能力和洞察 力。 数学的内容 2 2 共性、本质、规律共性、本质、规律万物之理万物之理 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 概念 （事物分类） 数学的内容数学的内容 结论 （定理 公式 法则） 一种对象的内在性质 不同对象的联系 多种对象的共性 数学欣

16、赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation p发现本质 p探索奥秘 p揭示规律 p建立联系 p寻求共性 数学的内容数学的内容 永恒 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 27 (1)数学的研究内容数学的研究内容结构与模式

17、结构与模式 数学是研究结构与模式的科学 基本对象: 集合 + 结构。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 28 数学中基本的集合包括：数学中基本的集合包括： 各种数的集合； 各类图形； 各类函数； 各种空间； 一般的抽象集合等 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreci

18、ationMathematics Appreciation 29 数学中的基本结构有三种：数学中的基本结构有三种： 代数结构代数结构（反映“合作”关系的各 种运算及其算律）; 顺序结构顺序结构（反映对比关系的大小、 先后，反映隶属关系的蕴涵）; 拓扑结构拓扑结构（反映亲疏程度与规模大 小的距离）。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 30 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciat

19、ion Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 31 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 32 比如： 实数集实数集 就是数学的一种道具，就是数学的一种道具， 要在其上赋予要在其上赋予 代数结构、顺序结构代数结构、顺序结构、拓扑结构，拓扑结构， 才能展开数学理论。才能展开数学

20、理论。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 33 （2）数学的目标 u发现各种事物的本质； u建立不同事物的联系； u寻找不同事物的共性。 探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘， 用以描述与理解自然和社会现象，以便对发 展方向进行判断、控制、改良和预测。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Math

21、ematics AppreciationMathematics Appreciation 魔术大师刘谦使用魔术大师刘谦使用 但却不明白的问题：但却不明白的问题： 刘谦预测：64 选定数字和18+13+26+7=64 刘谦的依据：刘谦的依据： 四角数字和4+7+25+28 = 64 我的答案：我的答案：4n + 48 一个例子 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 其它规律： （1）设n为右上角数字，

22、则和 S = 4n + 36； （2）设n为第二行首位 数字，则和S = 4n + 20； （3）设n为第二行末位 数字，则和S = 4n + 8； 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 更多方案：更多方案： 对角线（主或副）数字之和；对角线（主或副）数字之和； 中间四个数字之和；中间四个数字之和； 三角形四数字之和；三角形四数字之和； n 斜矩形四角数字之和斜矩形四角数字之和 规规 律律 数学欣赏数

23、学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 多种方案：多种方案： 4n+48； 对角线（主或副）数字之和；对角线（主或副）数字之和； 中间四个数字之和；中间四个数字之和； 三角形四数字之和；三角形四数字之和； 斜矩形四角数字之和斜矩形四角数字之和 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Apprec

24、iationMathematics Appreciation 38 （3）数学结论的形式 u确立对象，形成概念； u探索性质、关系等本质规律。 数学理论的建立与表达依靠数学思维。数学思 维包括多个方面，归纳、模拟、演绎、计算 等，但概括地讲，包含三大方面：“构造”、 “计算”与“证明”。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 39 （3）数学结论的形式 u对象存在性 u对象结构 u对象性质 u不变性与

25、不变量 u建立模型与设计算法等。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数数 学学 如如 何何 做做 u建立的程序：建立的程序：由自明事实出发，合情由自明事实出发，合情 推理（归纳、类比）找方向，演绎推推理（归纳、类比）找方向，演绎推 理定结论。理定结论。 u建立的方法：建立的方法：分类、化归、归纳、类分类、化归、归纳、类 比、抽象化、符号化、模型化、公理比、抽象化、符号化、模型

26、化、公理 化、最优化。化、最优化。 数学建立的程序 1 1 始于公理，成于推理，表为定理始于公理，成于推理，表为定理 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学理论建立的方式 u从少许自明的结论（公理）出发 u用逻辑演绎（三段论）的方法 u推出新的结论（定理、公式） 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏

27、Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 44 定义定义公理公理、公设公设 命题命题 定义定义 命题命题 定义定义 命题命题 命题命题 命题命题 公理公理、公设公设 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 1.一组自明公理是数学论证的出发点 u不能自相矛盾（相容性）不能自相矛盾（相容性） u不要相互包含（独立性）不要相互包含（独立性） u能够导出有

28、关数、形及其关系的所有规能够导出有关数、形及其关系的所有规 律及性质（完全性）律及性质（完全性） 自明？自明？相当主观，也相当深刻相当主观，也相当深刻 数学结论可靠性的前提。数学结论可靠性的前提。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 1.一组自明公理是数学论证的出发点 相容性相容性保证了系统内部的无矛盾性；保证了系统内部的无矛盾性； 独立性独立性保证了公理体系的简洁性；保证了公理体系的简洁性； 完备

29、性完备性？不存在！（不存在！（哥德尔不完备性定理哥德尔不完备性定理） 多种公理系统。多种公理系统。不同的公理系统导出不不同的公理系统导出不 同的数学，但是它们的内部都是健康的。同的数学，但是它们的内部都是健康的。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 2.合情推理（归纳、类比）找方向， 演绎推理定结论 合情推理：发散性合情推理：发散性 归纳、类比、迁移、想象归纳、类比、迁移、想象 演绎推理（三段论）：

30、收敛性 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学论证只承认演绎推理（三段论） u大前提大前提 （一个一般性的普遍规律）（一个一般性的普遍规律） u小前提小前提 （一个特殊对象的判断）（一个特殊对象的判断） u结结 论论 （这个特殊对象的结论）（这个特殊对象的结论） 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏

31、Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学论证只承认演绎推理（三段论） u大前提大前提 （人是要死的）（人是要死的） u小前提小前提 （张三是人）（张三是人） u结结 论论 （张三是要死的）（张三是要死的） 举例、实验、思辨、猜测等得到的结论均举例、实验、思辨、猜测等得到的结论均 不被承认。不被承认。 数学结论可靠性的保证。数学结论可靠性的保证。 可可 靠靠 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciat

32、ionMathematics Appreciation 人类的发明创造人类的发明创造 开始于感性的发散性思维开始于感性的发散性思维 终止于理性的收敛性思维终止于理性的收敛性思维 数学思维是人类发明创造的源泉和数学思维是人类发明创造的源泉和 动力动力 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 3.演绎推理所得到的结论必须是新的 u数学的首创是在全人类首创数学的首创是在全人类首创 u新定理指在人类历史中新发现

33、、新建立新定理指在人类历史中新发现、新建立 数学与工程的评价标准大不相同数学与工程的评价标准大不相同 数学填补的都是人类空白数学填补的都是人类空白 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 实验结论不可靠物理教授的经验方程 物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎 与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后与实验数据吻合，他请数学教授看一

34、看这个方程。一周后 数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的 方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请 数学教授再审查一下这个方程。再一周后，他们再次碰头。数学教授再审查一下这个方程。再一周后，他们再次碰头。 数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立， 但仅仅对但仅仅对 于正实数的简单情形成立。于正实数的简单情形成立。 精精 确确 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Apprecia

35、tion 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 观察结论不可信苏格兰高原上的羊 天文学家：天文学家： 原来苏格兰的羊是黑色的原来苏格兰的羊是黑色的. . 物理学家：物理学家：“得了吧得了吧, , 仅凭一次观察你可不能这么仅凭一次观察你可不能这么 说，你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的说，你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.“.“ 数学家：数学家：也不对，由这次观察你只能说也不对，由这次观察你只能说: : 在这一时在这一时 刻刻, , 这只羊这只羊, , 从我们观察的角度看过去从我们观察的角度看过去, , 有一侧表

36、有一侧表 面上是黑色的面上是黑色的. . 准准 确确 数学的思考方式 2 2 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 数学研究万事万物的数与形有其特有的思想、 原则和方法，这体现为数学的独特思考方式。 这些方式包括： 模型化模型化 最优化最优化 公理化公理化 抽象化抽象化 符号化符号化 类类 比比 化化 归归 分分 类类 归归 纳纳 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation M

37、athematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 分类研究是按照研究对象的属性不同进行是按照研究对象的属性不同进行 科学分类、逐一研究的重要思想，科学分类、逐一研究的重要思想， 其分类的具体原则与方法以及分其分类的具体原则与方法以及分 类理念都为人类解决复杂问题提类理念都为人类解决复杂问题提 供了宝贵的思想方法。其价值在供了宝贵的思想方法。其价值在 于于化难为易、化繁为简、化整为化难为易、化繁为简、化整为 零、积零为整零、积零为整。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics App

38、reciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 化归思想：是指把数学问题通过观察、分析、是指把数学问题通过观察、分析、 联想、类比等思维过程，进行变换联想、类比等思维过程，进行变换 与转化，归结到某个已经解决或比与转化，归结到某个已经解决或比 较容易解决的问题去研究，以最终较容易解决的问题去研究，以最终 解决原问题的思想。化归就是解决原问题的思想。化归就是转化转化 与归结与归结，它包含了运动与变化、联，它包含了运动与变化、联 系与转换的观点，可以系与转换的观

39、点，可以化生为熟、化生为熟、 化新为旧、化繁为简、化难为易、化新为旧、化繁为简、化难为易、 化异为同、化抽象为直观化异为同、化抽象为直观。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 化归的表现化归的表现 u一方面表现在处理数学问题的过程中，一方面表现在处理数学问题的过程中， 可以将复杂对象或陌生对象化归为简单可以将复杂对象或陌生对象化归为简单 对象或熟悉对象；对象或熟悉对象； u另一方面也表现在数学结论表

40、述中，数另一方面也表现在数学结论表述中，数 学中许多结论都表现为对一种数学对象学中许多结论都表现为对一种数学对象 的多个等价刻画，数学中的的多个等价刻画，数学中的“充分必要充分必要 条件条件”是描述这一现象的典型语句，它是描述这一现象的典型语句，它 本质上也是对数学对象性质的化归。本质上也是对数学对象性质的化归。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 类比方法是指由两个对象内在性质在某些方面是指由两个

41、对象内在性质在某些方面 的相似性推出他们在其它方面也可能的相似性推出他们在其它方面也可能 相似的一种思维方法。它是数学研究相似的一种思维方法。它是数学研究 中最基本的创新思维形式，在数学中中最基本的创新思维形式，在数学中 扮演着极为重要的角色，许多陌生对扮演着极为重要的角色，许多陌生对 象的性质和研究方法都来自于数学家象的性质和研究方法都来自于数学家 的类比思想。类比方法具有的类比思想。类比方法具有启发思路、启发思路、 提供线索、触类旁通提供线索、触类旁通的作用的作用。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣

42、赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 归纳方法是从若干个别前提得出一般结是从若干个别前提得出一般结 论的推理方法，是通过个性发论的推理方法，是通过个性发 现共性，通过特性寻找规律，现共性，通过特性寻找规律， 通过现象认识本质，是一种重通过现象认识本质，是一种重 要的创新思维形式。人们可以要的创新思维形式。人们可以 通过归纳去通过归纳去清理事实、概括经验、清理事实、概括经验、 处理资料，从而形成概念、提出处理资料，从而形成概念、提出 规律规律。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathem

43、atics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 抽象化与符号化是数学独特的思维特征和是数学独特的思维特征和 表达方式，它使得数学概表达方式，它使得数学概 念脱离了事物的物质属性，念脱离了事物的物质属性， 形式简洁、内涵丰富、应形式简洁、内涵丰富、应 用广泛用广泛。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciati

44、on 公理化方法首先找出最基本的概念、命题作首先找出最基本的概念、命题作 为逻辑出发点，然后运用演绎推为逻辑出发点，然后运用演绎推 理建立各种进一步的命题，从而理建立各种进一步的命题，从而 形成一套系统、严谨理论体系的形成一套系统、严谨理论体系的 思维方法。这是人类认识论的一思维方法。这是人类认识论的一 大创举，大创举，是数学可靠性的基础是数学可靠性的基础， 她使数学丰富的理论建立在最简她使数学丰富的理论建立在最简 单明了、不容怀疑的事实基础之单明了、不容怀疑的事实基础之 上，容易明辨是非。上，容易明辨是非。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathemat

45、ics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 最优化是数学追求的目标之一是数学追求的目标之一； 模型化是人类将实际问题转化为数学问题、是人类将实际问题转化为数学问题、 具体问题转化为抽象问题的重要手段。具体问题转化为抽象问题的重要手段。 二者都为人类圆满解决实际问题发挥二者都为人类圆满解决实际问题发挥 了重要作用。了重要作用。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics App

46、reciationMathematics Appreciation 这些既是数学体系的特征，也是数学能力 的体现。它们保证了 p 数学体系的简洁性与严谨性数学体系的简洁性与严谨性 p 数学结论的可靠性与普适性数学结论的可靠性与普适性 p 数学方法的有效性与便利性数学方法的有效性与便利性 p 数学思想的科学性与深刻性数学思想的科学性与深刻性 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 一种民间游戏一种民间游戏

47、“取石子取石子” 道具：道具：地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目地面上摆着若干堆石子，每堆的石子数目 任意任意. . 规则：规则：甲乙轮流从中拿取石子，每人每次只能在甲乙轮流从中拿取石子，每人每次只能在 其中一堆中拿取石子，其中一堆中拿取石子， 数量不限数量不限. . 以最后把石以最后把石 子取完者为胜子取完者为胜. . 问题：问题：有没有必胜的诀窍？有没有必胜的诀窍？ 一个例子 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics App

48、reciation 极端原理（特殊化，分类）： （1 1）只有一堆石子，）只有一堆石子， 结论显然，你只要把它们一次取完即胜结论显然，你只要把它们一次取完即胜. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation （2 2）两堆石子）两堆石子 （2-1）两堆石子数相同）两堆石子数相同. 此时，对方取走几此时，对方取走几 子，你就从另一堆中取走同样多子，子，你就从另一堆中取走同样多子， 最后一颗石子必然属于你最后一颗

49、石子必然属于你. 因此，因此，留留 给对方给对方“两堆石子数相同两堆石子数相同”就是赢局就是赢局. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation （2 2）两堆石子）两堆石子 （2-2）两堆石子数不同，你只要从较多石子）两堆石子数不同，你只要从较多石子 的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆的一堆中取走若干颗，使剩下的两堆 石子数相同即可石子数相同即可. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciat

50、ion Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation （3 3）三堆石子）三堆石子 （3-1）三堆石子中至少两堆石子数相同）三堆石子中至少两堆石子数相同. 化归：化归：此时，把那堆可能不同的一次取走，此时，把那堆可能不同的一次取走， 转化为转化为 留给对方留给对方“两堆石子数相两堆石子数相 同同”，赢局，赢局. 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics App

51、reciationMathematics Appreciation （3-23-2）三堆石子数各不不同）三堆石子数各不不同 假设假设3堆石子数分别为堆石子数分别为mn 3，先抓者胜先抓者胜. 化归化归：将第三堆取剩：将第三堆取剩3，转化为（，转化为（1，2，3）：）： 后续情况后续情况2. 2. （1，3，k），），k 3，先抓者胜先抓者胜. 化归化归：将第三堆取剩将第三堆取剩2，转化为（，转化为（1，3，2） 后续情况后续情况3. 3. （1，4，k），），k 4， 特例特例：（：（1，4，5），），穷举穷举, ,后抓者胜后抓者胜. 结论结论：留给对方（留给对方（1 ,2 ,3），（），（1

52、 ,4 ,5），）， （1 ,6 ,7），（），（1 ,8 ,9）为赢局）为赢局 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 三堆石子三堆石子归纳猜想归纳猜想 猜想：猜想： 留给对方（留给对方（1 , 2m , 2m+1）为赢局）为赢局. 证明证明. 彻底解决：用二进制，演绎推理彻底解决：用二进制，演绎推理 （见第五章第三节）（见第五章第三节） 数学的特点对人的影响数学的特点对人的影响 3 3 数学欣赏数学

53、欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 75 数学的特点 概念的抽象性 推理的严密性 结论的确定性 应用的广泛性 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 76 1. 1. 概念的抽象性概念的抽象性 数学来自于实践，其最本质的

54、东西是数学来自于实践，其最本质的东西是 抽象，抽象是人类创造性思维最基本的特抽象，抽象是人类创造性思维最基本的特 征。数学的概念、方法大多是通过对现实征。数学的概念、方法大多是通过对现实 世界的事物对象及其关系，通过分析、类世界的事物对象及其关系，通过分析、类 比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象比、归纳，找出其共性与本质特征而抽象 得来的。得来的。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 77 抽象表

55、现：抽象表现：全程全程 起点起点：概念抽象；：概念抽象； 过程过程：推理严密；：推理严密； 结论结论：确定；：确定； 结果结果：应用广泛。：应用广泛。 数学是用简明而又严格的方式描述复杂现数学是用简明而又严格的方式描述复杂现 象。象。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 78 抽象的功能：抽象的功能：找共性，抓本质 把表面复杂的东西变得简单 把表面混沌的东西变得有序 把表面无关的东西得到统一 数学欣

56、赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 79 数学抽象特色：数学抽象特色： u在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式，在数学抽象中只保留了量的关系和空间形式， 舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、舍弃诸如色彩、品质等因素；（比如：数、点、 线等原始概念）线等原始概念） u数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度数学抽象是一级一级逐步提高的，其抽象程度 远远超过了其它学科的一般抽象；（比如：从远远超过了其

57、它学科的一般抽象；（比如：从 点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般点到线，到面，到体，到欧氏空间，再到一般 的拓扑空间等）的拓扑空间等） u数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相 互关系之中。互关系之中。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 80 抽象对数学教育的价值： 受过良好数学教育的人，善于抓 住事物的本质，做事简练、不拖泥带 水，具有统一处理一类

58、问题的能力， 具有创新的胆略和勇气。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 81 2. 推理的严密性 在数学的发展过程中，数学每前进一在数学的发展过程中，数学每前进一 步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从 已知到未知的合乎逻辑的思维过程。已知到未知的合乎逻辑的思维过程。 从认识论的角度来看，推理有三种：从认识论的角度来看，推理有三种： 归纳推理 类比推理 演绎推理

59、这也是数学的主要推理方法。这也是数学的主要推理方法。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 82 演绎推理是从一般到特殊的推理。先是从一般到特殊的推理。先 有一个普遍规律，然后从这个规律导出特有一个普遍规律，然后从这个规律导出特 定事例的性质。定事例的性质。它可以通过对事物的某些它可以通过对事物的某些 已知属性，按照严密的逻辑思维，推出事已知属性，按照严密的逻辑思维，推出事 物的未知属性。物的未知属性。 在数学演绎推理中在数学演绎推理中分析必须细致，论 证务求严谨，不允许用感知替代分析，用 举例充当论证。 数学欣赏数学欣赏 Mathematics Appreciation Mathematics Appreciation 数学欣赏数学欣赏 Mathematics AppreciationMathematics Appreciation 83 归纳推理是从个体认识群体，即从 许多特例中总结出一般性的普遍规律，是 从特殊到一般的推理。 但完全归纳法是演绎推理。 类比推理是从一个个体认识另一个 个体。 二者对培养人的发散性思维和创造 性思维具有重要作用。 数学欣赏数学欣赏 Ma