高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版选修4-5

1、学必求其心得，业必贵于专精3。2 一般形式的柯西不等式课堂探究1一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题2正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用这要求在理论上认识柯西

2、不等式与实际应用时二者达到一种默契教材例1中数字“1的利用说明了处理问题与变形的灵活性 题型一 三维形式的柯西不等式【例1】已知a,b，c0，求证：9.分析:对应三维形式的柯西不等式，a1，a2,a3，b1,b2，b3，而a1b1a2b2a3b31,因而得证证明:由柯西不等式，知()()2（111)29,当且仅当abc时，等号成立故原不等式成立反思 由a，b，c构成新的数字，形成三维形式的柯西不等式这从所给的数学式的结构中看出，需要有较高的观察能力.题型二 多维形式的柯西不等式【例2】已知a1，a2，an都是正实数，且a1a2an1.求证:.分析：已知条件中a1a2an1,可以看作“1”的代换

3、，而要证的不等式的左边为，等数的平方和，所以a1a2an1，应扩大2倍后再利用本题还可以利用其他的方法证明证法一：根据柯西不等式，得不等式左边（a1a2）（a2a3）(a3a4)(an1an）（ana1)2（a1a2an）2不等式右边当且仅当a1a2an时，等号成立原不等式成立证法二：因为a0，则a2，即a2,当且仅当a1时等号成立利用上面的结论，知a1.同理，有a2,an1,an.以上式子相加整理，得（a1a2an)，当且仅当a1a2an时等号成立反思 通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此，对柯西不等式或其他重要不等

4、式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用。题型三 柯西不等式的综合应用【例3】设f（x）lg，若0a1，nn且n2，求证：f（2x)2f（x）分析:由题目可获取以下主要信息：已知f（x）的函数表达式变量的取值范围证明相关的不等式解答本题的关键是将f（2x）2f(x）具体化,再根据式子的结构特点选择合适的证明方法证明：f(2x）lg，要证f(2x)2f（x）只要证lg2lg.即证2也即证n12x22x(n1)2xan2x1x2x（n1）xanx2,(）0a1，aa2，根据柯西不等式得n12x22x(n1）2xan2x（1x）2(2x)2（n1)x2（anx)21x2x(n1)xanx2，即

5、（)式成立，故原不等式成立反思 对于较为复杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征.题型四 易错辨析【例4】已知a2b2c21,x2y2z29，axbyczt，求t 的最小值错解：求t的最小值,即求uaxbycz的最大值ax,by,cz，三式相加得：axbycz5，故uaxbycz的最大值为5，从而t的最小值为5.错因分析：基本不等式得到uaxbycz5是正确的，但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u的最大值一定是5。事实上，如果u的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“，于是ax，by，cz从而得出a2b2c2x2y2z2，即t5，这是不可能的产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢正解：求t的最小值,即求uaxbycz的最大值由柯西