本-环境流体力学-No4(1)

1、流体动力学 续 4.1 矢量知识回顾 cos sin A+B = C A-B = D A B = A B AB =A BeG 直角坐标系下的矢量 xyzr = ijk xyz AAAA =ijk 直角坐标系中给定矢量直角坐标系中给定矢量 ，则可以表示为，则可以表示为A 标量积、矢量积 直角坐标系中任意两矢量直角坐标系中任意两矢量 则有则有 xyz BBBB =ijk xxyyzz A BA BA BA B = ()()() xyz xyz yzzyzxxzxyyx AAA BBB A BA BA BA BA BA B ijk AB = ijk xyz AAAA =ijk 梯度 标量标量 p p

2、沿沿s s方向的变化率方向的变化率, ,即方向导数为即方向导数为 标量场梯度为标量场梯度为 1( , , ) pp x y z= dp p ds n ppp p xyz ijk 散度、旋度 矢量矢量 则矢量的散度：则矢量的散度： 矢量的旋度：矢量的旋度： ( ,) xyz x y zVVVV = Vijk y xz V VV xyz V ()()() xyz xyz yy xxzz AAA BBB VV VVVV yzzxxy ijk V ijk 散度与流函数 散度：各速度分量在其分量方向上的方向导数之和散度：各速度分量在其分量方向上的方向导数之和 标定流体微团在运动过程中的相对体积变标定流体

3、微团在运动过程中的相对体积变 化率化率 y xz v vv V xyz 111 rr r vvvv Drv rrrrrrr 散度与流函数 流函数流函数： = 常数表示流线常数表示流线 流函数存在的充要条件：满足连续方程（不一定无旋）流函数存在的充要条件：满足连续方程（不一定无旋） 0 y x v v xy y x v v xy xy dv dyv dx x v y y v x 例 已知二维定常不可压流动的速度分布已知二维定常不可压流动的速度分布 ， a为常数。求势函数为常数。求势函数。 y v x v y x )( 2 1 )( 2 1 1 2 1 2 xfay yfax 2 1 2 1 2

4、1 )( 2 1 )( axxf ayyf )( 2 1 22 yxa xy vax vay； n旋度旋度为旋转角速度的两倍：为旋转角速度的两倍： n无旋运动无旋运动n有旋运动有旋运动 n无旋时：无旋时： 为速度势或速度势函数（位函数）为速度势或速度势函数（位函数） 2 ()()() yy xxzz vv vvvv v yzzxxy ijk 0 0 , yy xxzz vv vvvv yzzxxy xyz dv dxv dyv dzdxdydz xyz ( , , )x y z 旋度与速度势 线积分 曲线曲线C C的两个端点分别为的两个端点分别为a,ba,b， 矢量矢量 沿曲线沿曲线C C的积

5、分为的积分为 其中其中 如果曲线如果曲线C C为封闭曲线，则线积分为为封闭曲线，则线积分为 ( ,)x y zA = A b a A ds dsdsn C A ds 曲面积分 曲面曲面S S积分方式有三种积分方式有三种 如果曲面如果曲面S S为封闭式的，曲面积分可表示为为封闭式的，曲面积分可表示为 = = s s s p dS A dS AdS 矢 量 标 量 矢 量 , sss p dSA dSAdS ,A 体积分 在体积为在体积为 中分别对中分别对 进行体积分进行体积分 = d Ad 标 量 矢 量 线、面、体积分之间的关系 StokesStokes原理原理 散度原理散度原理 梯度原理梯度

6、原理 C s A dsAdS s A dSA d s pp dSd 4.2 基本原理 建立控制方程的三大原则：建立控制方程的三大原则： 1.1.质量守恒质量守恒 2.2.牛顿第二定律牛顿第二定律 3.3.能量守恒能量守恒 什么样的模型什么样的模型 合理？合理？ ( , , , )pp x y z t 流场描述 将矢量、标量理论应用到对流场描述中， 可得如下表述： Vuiviwi ( , , , )x y z t ( , , )TT x y z t 研究方法研究方法1：有限控制体：有限控制体 控制体：闭合的有限区域 控制面：控制体外边界 以对控制体有限区域内流体的研究代替对全 局的研究，简化计算

7、量。 n宏观无穷小、微观无穷大 n连续介质 研究方法研究方法2：流体微元法：流体微元法 4.3 连续方程 连续方程是质量守恒定律在流体力学中 具体表达形式 以下针对一个微分六面体推导微分形式 的连续方程。由于连续方程仅是运动的 行为，与动力无关，因此适应于理想流 体和粘性流体 流场中边长分别为dx，dy，dz的矩形六 面体，其空间位置相对于坐标系是固定 的，不随时间变化，被流体所通过 假设六面体中心点为(x,y,z)， 过中心点分速u,v,w，密度是 T时刻，dt时段内经过从 ABCD面进入的流体质量为 T时刻， dt时段内经过从 ABCD面流出流体质量为 1 () () 2 u dx mud

8、ydzdt x dydzdt dx x u um) 2 )( ( 2 ()u dxdydzdt x ()() ()() 22 u dxu dx udydzdtudydzdt xx 12 x mmm 在dt时段内，由x面储存在在微分六面体 的流体质量为（净流入量） ()()() () uvw dxdydzdt xyz xyz mmmm 同理可得，在dt时段内，由y,z面储存在 微分六面体的流体质量为 由此可得，在dt时段内由所有侧面流入 到微分六面体的净流体总质量为 () y v mdxdydzdt y () z w mdxdydzdt z dt内，由密度变化引起微分六面体质量 的增加量为 据质

9、量守恒定律，dt时段内从侧面净流 入微分六面体的总质量应等于其内流体 质量因密度随时间变化的引起增量 t mdt dxdydzdxdydzdxdydzdt tt dxdydzdt x dxdydzdt z w y v x u m ) )()()( ( 上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微 分形式的连续方程。即: ()()() 0 uvw txyz ()0V t ()0 uvw uvw txyzxyz 0 d V dt 对于不可压缩流体，连续方程变为 根据散度的定义，有 0 d dt 0V 0 uvw xyz 0 () ()()lim A VndA divVV 根据高斯公式，有 这样可以回

10、溯为有限控制体方式的推导 不可压：每个质点的密度在流动过程中 保持不变，但是不同流体质点的密度可 以不同，即流体可以是非均值的，因此 不可压缩流体的密度并不一定处处都是 常数，例如变密度平行流动 ()() A VnV dA 均值流体的定义是0，即密度在空间 处处均匀，但不能保证随时间不变化 只有既为不可压缩流体，同时又是均值时 ，流体的密度才处处都是同一个常数；由 不可压条件得到 均值流体条件得到 0 d dt 0 从而有 于是=C，即流体密度既不随时间变化，也 不随位置变化，在整个流场中是个常数。 () d uvwV dttxyzt 0 t 4.4 动量方程 牛顿第二定律的普遍形式为牛顿第二

11、定律的普遍形式为 是理论流体力学的基础，其物理原则为：是理论流体力学的基础，其物理原则为： 力是动量随时间的变化率力是动量随时间的变化率 () d Fm dt V 上述原则在有限控制体中应用：力来自两 个方面 (1)体积力，包括重力、电磁力等； (2)压力及作用在控制面上的应力 体积力= 面积力= 则 其中 代表粘性流体的粘性力 V fdV s pdS viscous Vs FfdVpdSF viscous F 通过控制面的动量净流量 控制体中非定常波动引起的动量变化 () S GdS VV HdV t V 则动量变化率为 带入到动量定理得 ()() S d mGHdSdV dtt VVVV

12、() viscous SVs dSdVfdVpdSF t VVV 偏微分形式的方程推导 S ppdV ds () () viscous S dVpdVdV t V V ds VfF uvwV = ijk () ()() xxviscous S up dVudVf dVF tx V ds x方向上 流场中各点积分为0，故 () ()0 xxviscous up ufFdV tx V () () xxviscous up ufF tx V ()()() SSV uuudV V dsVdsV 考虑到 有 在y、z方向上分别有 () () yyviscous vp vfF ty V () () zzv

13、iscous wp wfF tz V 上述为守恒形式狭意N-S方程 将微分方程应用到非定常无粘流中可得 Euler方程 上述为守恒形式狭意Euler方程 x f x p u t u )V( )( y f y p v t v )V( )( z f z p w t w )V( )( 注意到前述方程 一点分析 ()DV pf Dt n速度增加，压力降低，反之则反 n分离区压强几乎一致 积分形式动量方程应用 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 预测物体所受阻力 应用例1 () ()F S dVpdVdV t V V ds Vf 11212 F() x S uV VVdym VV

14、V ds F 求发动机推力：喷气飞机以800km/h速 度在8000m高空飞行。假设发动机进口 截面直径为0.86m，流量系数为1。尾喷 气速度为650m/s，喷气压强与外界相同 应用例2 2 67.8/ in mVrkn s 12 67.8 42829 x Fm VVKN 4.5 动量方程的积分 伯努利方程伯努利方程 结合流量连续，前述Euler方程可改写为 不守恒形式如下： 1 (1) 1 (2) 1 (3) x y z uuuup uvwf txyzx vvvvp uvwf txyzy wwwwp uvwf txyzz 动量方程积分 (1)*dx+(2)*dy+(3)*dz，得： 222

15、 () 222 1 ()()0 (4) xyz VVV udxvdywdzdxdydz txyz ppp dxdydzf dxf dyf dz xyz n如果dudxvdywdz () xyz df dxf dyf dz 速度位势(无旋) 彻体力位势 n则(4)式为 2 0.50 (5)dtd Vdpd 用于不可压(=c)定常( )流，则 n如果再忽略彻体力，则 2 (6) 2 pV C 0t 2 (7) 2 pV C 2 * (8) 2 V pp n即伯努利方程 *p称为总压或驻压，有相对和绝对之分 venturi管(变截面管中)的流动 连续方程：连续方程： 对于定常流动有对于定常流动有 0

16、 s d t V dS 0 s V dS （a） 将方程（将方程（a）运用到准一维变截面管中。）运用到准一维变截面管中。 由于在壁面处，气流速度与壁面相切，因此由于在壁面处，气流速度与壁面相切，因此 与壁面与壁面 正交，那么正交，那么 ，也就有，也就有 对于变截面管进口位置，气流速度对于变截面管进口位置，气流速度 与与 方向相反方向相反 12 0 AAwall V dSV dSV dS（a1） 0V dS dS 0 wall V dS 1 111 A A V V dS VdS （a2） （a3） 同理，出口位置气流速度同理，出口位置气流速度 与与 方向相同方向相同 将（将（3.15-3.17）

17、代入（）代入（3.14）化简可得）化简可得 对于不可压流体对于不可压流体 ，则有，则有 方程（方程（a6）是准一维不可压变截面管的连续方程）是准一维不可压变截面管的连续方程 2 222 A A V V dS VdS （a4） 111222 A VA V（a5） 1122 A VA V const （a6） 由（由（a6）可知，对于不可压流体，变截面管截面积减）可知，对于不可压流体，变截面管截面积减 小（收缩管道），气流速度增大；反过来，截面积增小（收缩管道），气流速度增大；反过来，截面积增 大（扩张管道），气流速度减小。由伯努利方程可知大（扩张管道），气流速度减小。由伯努利方程可知 ，收缩管道

18、中，气流速度增大，压强则减小；而在扩，收缩管道中，气流速度增大，压强则减小；而在扩 张管道中，气流速度减小，压强则增大。张管道中，气流速度减小，压强则增大。 对于对于不可压不可压流体流过收缩流体流过收缩-扩张扩张 管道，气体在收缩管道加速，管道，气体在收缩管道加速， 在管道截面积最小处速度达到在管道截面积最小处速度达到 最大，压强则达到最小；而在最大，压强则达到最小；而在 扩张管道，速度减小，而压强扩张管道，速度减小，而压强 则增加。如图所示则增加。如图所示 (venturi管管) 由伯努利方程得由伯努利方程得 由由(a6)可得可得 将（将（a7）代入到（）代入到（b），可以解得），可以解得

19、类似的类似的 22 1212 2 ()VppV （b） 1 21 2 A VV A （a7） 12 1 2 12 2() /1 pp V AA （c1） 12 2 2 21 2() 1/ pp V AA （c2） 低速风洞就是由电动机带动风机产生气流流动的低速风洞就是由电动机带动风机产生气流流动的 venturi管。管。 低速风洞可以分为开式和封闭式两种低速风洞可以分为开式和封闭式两种 venturi管的应用 4.6 能量方程 能量方程 对于不可压流动，连续方程和动量方程足以描对于不可压流动，连续方程和动量方程足以描 述压力和速度。对于可压流动，则增加了变述压力和速度。对于可压流动，则增加了变

20、 量量密度，需要补充能量方程进行描述密度，需要补充能量方程进行描述 能量守恒：能量守恒：能量变化率生成热传热外力能量变化率生成热传热外力 功率，能量既不能创造也不能消失，只能从一功率，能量既不能创造也不能消失，只能从一 种形式转化为另一种形式种形式转化为另一种形式 闭合系统单位质量物质的能量为e，外部 环境对其传热 对其做功 则 做如下定义： B1 =外部对控制体传热效率 B2 =外部对控制体做功效率 B3 =控制体能量变化率 q w deqw 123 BBB 定义单位质量物质的体积增热率为 则体积增热率 对于粘性流体需考虑粘性项，则 q V q dV 1viscous V Bq dVQ 功率

21、 则面积力功率 体积力功率 对粘性流体考虑粘性项，则 FV () s pdS V () V fdV V 2 () viscous sV BpdSfdVW VV 对于运动的控制体，单位质量的能量为 内能与动能之和，即 则穿过控制面的能量流率为 对于非定常流，由于流场的波动会引起 控制体中物质量的变化进而导致能量有 所变化，该能量变化率为 2 2 e V 2 ()() 2 S dS e V V 2 () 2 V edV t V 从而有 将各式带入 可得 以上就是能量方程的积分形式 22 3 ()()() 22 VS BedVdS e t VV V 123 BBB () viscousviscous

22、 VsV q dVQpdSfdVW VV 22 ()() 22 VS edVedS t VV V 能量方程的微分形式为 对定常无粘不传热无体积力流体，能量 方程可简化为 22 () () 22 ()() viscousviscous ee t qpfQW VV V VV 2 () 2 Ss edSpdS V VV 2 () () 2 ep V VV 连续方程、动量方程、能量方程是流动 的基本控制方程，包含 等变量， 在补充了气体状态方程 后是封闭 的(针对无粘流) , , ,p v e pRT 4.7 物质(随流)导数以及相应方程 物质导数 对于速度场对于速度场 其中其中 密度为密度为 假定假

23、定t1t1时刻密度为时刻密度为 假定假定t2t2时刻密度为时刻密度为 uvwV = ijk ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) uu x y z t vv x y z t ww x y z t = = = ( , , , )x y z t= 11111 ( , )x y z t= 22222 (, )xyz t= 由由TaylorTaylor展开式展开式 整理，并忽略高阶小量整理，并忽略高阶小量 212121 1 1 2121 11 ()() ()() xxyy xy zztt zt = 高阶小量 212121 1212121 1 21 1121 xxyy ttxtty

24、tt zz zttt = 当当t t2 2趋近趋近t t1 1时，时， 由于由于 则有则有 21 21 21 lim tt D ttDt = 2121 21 2121 2121 21 21 lim, lim; lim tttt tt xxyy uv tttt zz w tt D uvw Dttxyz = 在直角坐标系中有在直角坐标系中有 如果如果 那么那么 D uvw Dttxyz = xyz ijk () D Dtt V 物质导数形式的基本方程 ()VVV ()0 t V 连续方程连续方程 已知已知 则有则有 0 t VV 有前面物质导数公式可知有前面物质导数公式可知 0 D Dt V 在在x方向上，动量方程为方向上，动量方程为 其中其中 则有则有 () ()() xx