第4章多层平板波导

1、2021年6月23日星期三1 黄衍堂黄衍堂 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2 2 由于多层平板波导在模场分布、模式截止和功率约由于多层平板波导在模场分布、模式截止和功率约 束等方面具有许多独特的性质，因此，这种结构在束等方面具有许多独特的性质，因此，这种结构在半半 导体激光器、光波导定向藕合器、光波导偏振器导体激光器、光波导定向藕合器、光波导偏振器等波等波 导器件中有着重要的应用。本章首先分析非对称平板导器件中有着重要的应用。本章首先分析非对称平板 波导的色散性质，然后再讨论对称多层平板波导及其波导的色散性质，然后再讨论对称多

2、层平板波导及其 重要特性，最后，利用传输型色散方程和微扰理论分重要特性，最后，利用传输型色散方程和微扰理论分 析平板藕合波导及其重要性质。析平板藕合波导及其重要性质。 第章第章 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3 3 4 . 1 . 1 非对称四层平板波导非对称四层平板波导 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 4 4 1 转移矩阵理论转移矩阵理论 对图对图 4 . 1 所示的四层平板波导，传播常数所示的四层平板波导，传播常数有两种选择：有两种选择： 对于这种情况，可知

3、导波层位于（对于这种情况，可知导波层位于（ 0 , h1 + h 2）的范围，）的范围， 即在中间两层薄膜中电磁场都是振荡的，而在覆盖层和即在中间两层薄膜中电磁场都是振荡的，而在覆盖层和 衬底中，电磁场是指数衰减的。衬底中，电磁场是指数衰减的。 根据第根据第 3 章的理论，章的理论， UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 5 5 可立刻写出矩阵形式的模式本征方程：可立刻写出矩阵形式的模式本征方程： UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 6 6 由式（由式（ 4 2 ）和式（）

4、和式（ 4 3 ）两式，非对称四层平）两式，非对称四层平 板波导的模式本征方程由（板波导的模式本征方程由（4.1）可写成较为熟悉的）可写成较为熟悉的 形式形式 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 7 7 为说明模式本征方程（为说明模式本征方程（ 4 . 5 ）的物理意义，做以下处）的物理意义，做以下处 理，令理，令: UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 8 8 )tanarctan()( .2 , 1 , 0),arctan()arctan()( :),9 . 4()8

5、. 4(),5 . 4( )9 . 4()tan(arctan)arctan( )8 . 4.(3 , 2 , 1 , 0),arctan( ),6 . 4( )7 . 4() p (arctan 2 1 2 2 2 3 1 0 2211 2 1 2 1 2 2 3 222 2 2 2 s m pp mshh p m p mh 式中 可得下述方程和式式联合式 而 可得由 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 9 9 考虑方程（ 4 . 10 ) ，发现该方程与简单三层平板波导的模式 本征方程（ 2 . 7 ）十分类似，除了一项中(s)

6、之外，其他各 项的意义是非常清楚的。 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1010 而上式右边一项表示光从 n1介质射向 n2介质时 的反射系数。因此，(s)可理解为一阶反射 子波的相位贡献。 (s)是由两种介质界面引 起的一个反射量，该量的大小由两种介质的折 射率差决定。折射率差大，则(s)也大；折 射率差小，则(s)也小。 综合上述分析，可得以下重要结论：对多层平综合上述分析，可得以下重要结论：对多层平 板波导，不仅要考虑主波的相位贡献，而且要板波导，不仅要考虑主波的相位贡献，而且要 考虑层间反射子波的相位贡献。考虑层间反射子波

7、的相位贡献。 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1111 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1212 2 场匹配理论场匹配理论 设横向电场分布为设横向电场分布为 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1313 p.23 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1414 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共

8、2929页页 1515 而方程（ 4 . 19 ）中左边第二、三项前的振幅 分别是主波从 n1 介质射向 n2介质和主波从n2介 质射向 nl 介质时的反射系数。可见这两项代表 波导传输的反射子波。主波与反射子波的相干 叠加构成了四层波导中的导波. 式（ 4 . 19 ）可约化为如下形式： UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1616 4 . 1 . 2 非对称多层平板波导 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1717 对于如图 4 . 3 所示的非对称 l 十 2 层平

9、板波导，只 要推广 4 . 1 . 1 节的结果，便可得到 TE 波的矩阵形 式的模式本征方程: 式中，相应于第 i 层薄膜的转移矩阵 Mi由下式表示 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1818 化简式（化简式（ 4 . 23 ) ，容易得到，容易得到 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 1919 式中 式（式（ 4 . 25 ）和式（）和式（ 4 . 26 ）两式完全确定了非对）两式完全确定了非对 称多层平板波导的色散性质。称多层平板波导的色散性质。 式式 ( 4 .

10、 26 ）是一递推公式，在）是一递推公式，在 Pi + 1 已知的情况下，已知的情况下， 才可求得才可求得 pi，并以此类推，最终才可求得，并以此类推，最终才可求得 p2。当。当 l = 2 时，多层平板波导退化为简单的四层平板波导，时，多层平板波导退化为简单的四层平板波导， 而式而式 ( 4 . 26 ）也退化为四层平板波导相应的公式）也退化为四层平板波导相应的公式 （ 4 . 6 ）。）。 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2020 为区别主波与子波的相位关系，令: UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323

11、日星期三日星期三 共共 2929页页 2121 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2222 式中 式（ 4 . 34 ）是适用于任意多层平板波导的模式本征方 程 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2323 4 . 2 . 1 对称三层平板波导 设衬底和覆盖层的折射率均为n，折射率为n 1 的导波 层的厚度设为 2h 。于是三层对称平板波导矩阵形式的 模式本征方程为如下形式： UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页

12、页 2424 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2525 4 . 2 . 2 对称五层平板波导 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2626 对称五层平板波导矩阵形式的模式本征方程为： 式中式中 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2727 借用借用 4 . 2 . 1 节的结果，得节的结果，得 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2828 利用上

13、述方法，完全可把以上结果推广到对称利用上述方法，完全可把以上结果推广到对称 2k + 1 ( k 为正整数）层平板波导，而且所得模式本征方程的形式与为正整数）层平板波导，而且所得模式本征方程的形式与 三层平板波导完全一致，不同之处仅在于三层平板波导完全一致，不同之处仅在于 p 的定义 的定义 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 2929 五层平板波导约束电磁场的能力在一定条件下比 三层平板波导强，利用这个性质可以制成性能良 好的半导体激光器。 为了说明这一点，下面计算功率约束因子 r ，即 波导芯子功率占总功率的百分比。波导芯子是指

14、 厚度为 2h1 的薄膜。定义 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3030 利用第 2 章中给出的 TE 模的场分布，代人式（ 4 . 56 ) ，并应用归一化变量，可得 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3131 4 . 2 . 3 “W”型波导 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3232 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3333 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3434 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共 2929页页 3535 UPDOWNBACK 20212021年年6 6月月2323日星期三日星期三 共共