第三章 受弯构件

1、2021-6-231 为满足微分方程的特解其中 程：非齐次四阶微分方 ， 由弯矩平衡： 由剪力平衡： )( )(cossin / 0 22 xf xfDCxkxBkxAy EIqyky EI P k qyPEIy dx dy PQ dx dM q dx dQ x IV x IV x x x x 2021-6-232 可求得： ，时 ，时利用边界条件： 解：此时 例 kl kl Pk q A Pk q DB yylx yyx P qx x EIk q xf ll sin cos1 00 000 22 )( 1 2 2 00 2 2 2 )( 2 1cossin 2 2 2 2 xl xk kxk

2、x kl tg Pk q y P ql C 2021-6-233 EE E P P P P u uuuu u uu EI ql P P EI Plkl u u u u EIu ql y 4674. 2 4 720 61 24 5 2 1 1sec 5 )2sec2(12 384 5 222 2cos cos1 16 2 2 642 4 24 2 4 4 max 考虑到： 式中 2021-6-234 效应力的考虑轴 P P P M P P P P M P P EI Plql P ql M P P P P P P P P P P y E E E E E EE EE ) 1 1 ( 1 028. 1

3、 1 )1 (48 5 1 8 8 1 1 )(1 ( )(0038. 10034. 11 ( 0 0 22 2 max 0 2 0 2 0max 2021-6-235 3 4 2 4 4 4 3 4 2 4 864 2 )(032. 1)(032. 1028. 11234. 1 )(273. 1)(273. 1)(268. 1234. 1 ) 8064 277 720 61 24 5 2 ( ) 1(sec) 1 2 (sec 2 P P P P P P P P e P P P P P P P P e uuu u e ue kl e EE E 例 2021-6-236 ) 1 234. 01

4、 (sec)( 1 028. 01 1 1 028. 11 )004. 1004. 11 (028. 11 88 234. 1 max 00 2 2 0 0 22 E E E E E E E EEE E P P P P MuMePM P P P P P P P P P P P P P P P P EI Ml EI Pel P Pe 2021-6-237 0000 22 )( 3 0 2 2 2 ll yyyy P qx EIk qx xf ，边界条件 该情况的特解为 件均匀横向荷载的固端构例 l kx kl tg kx kl tg kx kx EIk ql y kl tgEIk ql D EI

5、k ql C kl tgEIk ql B EIk ql A 2 3 3 2 3 3 2 1 2 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 ， 2021-6-238 式中： 32 432 2 2 2 2 2 2 2 2 0 max 013. 1017. 1030. 1097. 16 . 01 608. 0610. 0618. 0658. 01 )( 3 8696. 9, 5 . 0, 2 )( 2222 )( 3 12 crcrcrcr crcrcrcr crcr crcr cr EE lxx P P P P P P P P P P P P P P P P tguu utgu P P u P

6、P l EI l EI P P P P P P P Pkl u tguu utguql yEIyEIM 2021-6-239 cr m cr cr m cr cr P P P P P P A M P P P P M 11 1 1 4 . 01 0max 弯矩放大系数 cr cr crcr crcrcrcr P P P P PPP P P P P P P P P P 1 4 . 01 /1 1 6 . 01 16 . 01 32 2021-6-2310 EI M yylx EI M yyx DCxkxBkxAy yPEIy B ll A IV 0 00 cossin 0 22 22 sin co

7、s EIk M D lEIk MM C EIk M B klEIk MklM A ABA ABA ， ，可求得 10 2021-6-2311 klM MklM tgkxy dx dM M l x kx klEIk M l x kxkx kl kl EIk y A BA B A sin cos 00 sin sin 11 1cossin sin cos1 2 2 得，取 2021-6-2312 kl klMMMM M yEIMM kxkx kx P P kl MklMMM klM kx MklMMM MklM kx BABA B xx E BBAA A BBAA BA 2 2 max 22 22

8、 sin 1cos)/(2)/( 0cos0sin cos2 sin cos cos2 cos sin ， 故 由上图知 2021-6-2313 值，方向可直观判定。求取绝对值的原因是只需 取正，同向曲率取负。反向曲率时 受同向曲率弯矩作用时 MM MM M M kl klMMMM MM klM MklM tgkx kl klMMMM MM MM B BA B A BABA B A BA BABA B AB /0 . 1 sin 1cos)/(2)/( sin cos sin 1cos)/(2)/( 2 2 max 2 2 max 2021-6-2314 E E eq eqeq P P P P

9、 M kl M kl kl M kl klMMMM MM 1 234. 01 2 sec sin )cos1 (2 sin 1cos)/(2)/( 2 2 12 2 12 1max 2021-6-2315 放大系数 杆中最大弯矩： 等效弯矩系数 1 1 sin )cos1 (2 sin )cos1 (2 )cos1 (2 1cos)/(2)/( 1 11 1 2 1 2 max 1 12 2 12 1 E m E m meq m meq P P B MB P P M kl kl M kl kl MM M kl klMMMM MM 2021-6-2316 率为负同向曲率为正，反向曲 中国普钢：

10、中国薄钢规范： 同向为负，双向为正 美国规范 年 年如： 的近似表达式、 4 . 035. 065. 0 4 . 04 . 06 . 0 4 . 0/4 . 06 . 0 1961 3 . 0)/(4 . 0)/( 3 . 0 1959 2 1 2 1 2 1 2 21 12 12 2 12 M M M M M M MM MM Austin MMMM Massonet m m m m m 2021-6-2317 式吻合较好该 公式：年 16 . 025. 01 1989 1 2 3/1 M M P P P P chensohalDuan EE m 2021-6-2318 则平衡微分方程为： 得

11、 内弯矩 外弯矩 l xP l x M l x M EI yky l x yP l x M l x MyEI l PMM QM yEIM PyxQMM BA BA BA A AAext )1 ( 1 )()1 ( 0 2 int 2021-6-2319 代入通解得： 由边界条件： 通解为： l x l x kl kx P M lxkxkx kl kl P M y klP klMM Ay P M By l x l x P M l x P M kxBkxAy B A AB l A BA sin sin 1/cossin sin cos sin cos 0 )1 (cossin 0 2021-6-2

12、320 l MM tg EI l P P EI P lkl l M klkl klklkl M klkl klkl EI l ly l M klkl klkl M klkl klklkl EI l y lklkl kx EIk M klkxkx kl kl EIk M y BAA E BAB BAA B A 22 22 22 sin/1/1 sin)( cossin sin)( sin )( sin)( sin sin)( cossin )0( 1 sin cos /1sincos sin cos 代入上式有：若令 两端转角为： 2021-6-2321 lsccs l EI M lscsc l

13、 EI M lssss l EI M lssss l EI M l M tg M EI l BAB BAA jjjiBjjAjiB ijiiBijAiiA BAB /)( /)( /)( /)( /1sin/1 22 移方程如下：由前两式可解出转角位 2021-6-2322 ikli EI P il EI Pl P P P P sc sc sss ssc tt E jiij jjii 2 2 2 2 sincos22 sin sincos22 cossin 为负为拉时， 压为正 代表远端代表近端， 称为抗弯刚度系数，称为稳定系数， 式中： 2021-6-2323 2021-6-2324 shc

14、h sh sss shch shch ssc ichiish jiij jjii 22 22 cossin 2 2 稳定函数变为： ， 数间的关系考虑三角函数与双曲函 2021-6-2325 FBBAB FABAA Mlsccs l EI M Mlscsc l EI M /)( /)( 2021-6-2326 弯矩轴力压弯构件 、弯曲屈曲的特点 1 响不大，可不必区分。平面屈曲的压弯构件影 结果表明对路径有关。但数值计算弹塑性时其性能与加载 时与加载路径无关可有无穷多组合，弹性 P M (b) (b) (a) (c) (c) (P,M) P P e e (a) 2021-6-2327 载称为压

15、弯构件的极限荷 现的三种应力分布截面进入屈服时可能出 u P Pu PE P d dP 2021-6-2328 由轴力引起的二阶弯矩 由外荷引起的一阶弯矩式中： ：和外弯矩的平衡方程为压弯构件的内弯矩 ）平衡方程 外力平衡）只考虑跨中截面的内（ 半波正弦曲线）构件变形曲线近似为（ ）材料为理想弹塑性体（ ）基本假定 方法、极限荷载的近似求法 Pv M aPvMM M Jezek ex exix ix )( 2 3 2 1 1 2 2021-6-2329 )( )( )()( )( ) 3 0 0 eydAM ddAP cF y by P PM A i A i 内力 材料的应力应变关系为 号计算

16、点的坐标，有正负 截面形心的应变式中 ：截面上任意一点的应变 ，由平截面假定可求出和曲率设已知 关系 2021-6-2330 )(, )()( )()( 0 g P P f M M PM AfPWfM fPfM eb yyy i i yyyyy i 关系相应项得无量纲 除以率，以及边缘屈服时的曲，上式用 ， 解得：由方程 u m u mmll ml e l i m P dv dP P vPvPfPf iPvMM h l z v l v 可求出令求 之间的隐函数关系、得到 跨中截面处的内力平衡 ）得：由假设（ 曲率的近似计算 0,)6 ),(),( )( )5 )(sin 2 )4 22 22

17、2 2 P104页 2021-6-2331 页。量计算，得到大量数据式的弯曲方向开展了大 和截面形以及的余应力分布形式和不同对不同长细比、不同残 国内外已应用此种方法线性的较精确的解法。是一种考虑双重非 、数值积分法 P107 , 3 py M M P P 2021-6-2332 得：来考虑初始缺陷的影响用等效偏心 式称为压弯构件的相关公 或 、边缘纤维屈服准则 0 1max max max )(1 )1 ()1 ( )( 1 )( 1 e c P P M M Af P f P P W M A P b P P M MBM af W M A P Ex y xmx y y Ex x xmx Ex

18、xmx x y x 2021-6-2333 得：代入将 式变为，临界力 达到有缺陷的轴压杆的时，构件上的轴力应能当 )()( )(11 1 )1 ( )( 0 )(1 )1 ( 0 0 0 de e P M P P P P e P P M eP P P dP M d P P M PeM P P crx y Ex crx y crx Ex crx y crx y crx crx x Ex y xmx y 34 2021-6-2334 )()1)(1 ( )1 () 1( )1)(1 ()1)(1 ( )1)(1 ( )1 ( )1 ()1 ( )( 1)1)(1 ( )1 ()1 ( g P P P P P P M M P P P P PP PP P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P M M f f P M P P P P P P M P P P M M P P y crx Excrxy xmx crxcrxExy crx Ex crx y crx crxyEx Ex crx y crx crx Ex yExy xmx crx y Ex crx y crx Ex y Ex y xmx y 式如下：变换 ）（ 35 2021-6-2335 式