带电粒子在磁场中的运动

1、2、 无限长载流螺线管内外的磁场 设无限长载流螺线管通有电流 ，单位长度上绕有匝线圈。应用安培环路定理求得螺线管内外任一点的磁感应强度为由此可见，螺线管内任一点的磁感应强度均与轴线上相同，表明管内是均匀磁场；螺线管外磁感应强度处处为零，磁场集中在管内。3、载流螺绕环内外的磁场螺绕环就是绕在圆环上的螺线形线圈。设一螺绕环的平均半径为 ，线圈的总匝数为 ，通有电流 ，并且环上的线圈绕得很密。由电流的对称性可知，在与螺绕环共轴的圆周上，磁感应强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向。 在螺绕环内任取一点 ，以 为圆心、 为半径过 点作一闭合环路 ，绕行方向如图所示。由安培环路定理，得式中 是螺绕环单位长

2、度内的匝数。 在螺绕环外的空间作一圆形闭合环路 ，绕行方向如图所示。由安培环路定理，得并使它与螺绕环共轴，则穿过它的总电流为零，因而所以，对于绕得很密的细螺绕环来说，它的磁场几乎全部集中在螺绕环的内部，外部的磁场很弱。环内的磁感应线是与螺绕环共轴的圆，在同一条磁感应线上，的大小处处相等，方向遵从右手定则。如果螺绕环的半径趋于无穷大，而单位长度的匝数 和线圈的半径不变，则环内的磁场是均匀的。从物理实质上来说，这样的螺绕环就是无限长螺线管。这就证明了无限长螺线管内部磁场是均匀的，而外部磁场为零。5-5 带电粒子在磁场中的运动一、 洛仑兹力电流能产生磁场，而磁场反过来对电流有力的作用- 安培力，这种

3、力的本质在于磁场对运动电荷有作用力- 洛仑兹力。1、定义磁场对运动电荷的作用力称为洛仑兹力。实验明，洛仑兹力的大小与带电粒子的电量、粒子的运动速率、磁感应强度的大小以及与的夹角的正弦函数成正比。写成等式，得 写成矢量式，得洛仑兹力的方向有两种情况： 若为正电荷（），则与的方向一致； 若为负电荷（），则与的方向相反。的方向用右手螺旋法则判断：伸开右手，四指从方向开始经小于180度的角转向，拇指所指的方向就是的方向。 2、一个重要特征由于洛仑兹力的方向与运动电荷的速度方向总是互相垂直的，所以，即洛仑兹力永远不对运动电荷作功。洛仑兹力只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速率和动能。二、带电粒子

4、在磁场中的运动当电荷进入电场和磁场中时，它将受到电场和磁场的作用，这样就可以用一定的电场和磁场来控制带电粒子的运动。这在科学技术上有很广泛的应用，很多电子仪器，特别是电子光学仪器，都是利用电场和磁场来控制带电粒子的运动。 1、带电粒子的初速度与垂直一电量为的粒子以初速度射入磁场中，与垂直。所受洛仑兹力的方向与方向相同。由于，所以是法向力，它只改变速度的方向，不改变速度的大小。带电粒子所受洛仑兹力的大小为它是一个大小不变的法向力。在它的作用下，带电粒子在与垂直的平面内作匀速圆周运动。粒子是沿顺时针方向还是沿逆时针方向绕行，取决于粒子带的是正电还是负电。 回转半径带电粒子作圆周运动的半径叫回转半径

5、。根据牛顿第二定律，带电粒子作圆周运动的向心力为这里的向心力就是洛仑兹力，即所以，回转半径为对于一定的带电粒子，是一定的，如果也确定，则。只要入射时的初速度一定，粒子作圆周运动的半径就确定了。初速度越大，回转半径越大。 回转周期带电粒子绕行一周所用的时间叫回转周期。因为带电粒子绕行一周走过的路程为2r，绕行的速率为，所以回转周期为可见，回转周期与无关，只决定于。这说明虽然速率大的带电粒子回转半径大，速率小的带电粒子回转半径小，但它们各自绕行一周所用的时间相同。 回转频率带电粒子在单位时间内绕圆周转动的圈数叫回转频率。它是回转周期的倒数，即 2、带电粒子的初速度与成任意角度一电量为的粒子以初速度

6、射入磁场中，与成任意角度。这时的处理方法与在力学中分析抛体运动类似。将粒子的初速度分解为平行于和垂直于的两个分量。设平行于和垂直于的两个速度分量分别为和。在平行于的方向上，有该方向上带电粒子不受洛仑兹力作用，因而作匀速直线运动。在垂直于的方向上，有 这个方向上带电粒子受洛仑兹力作用，因而在垂直于的平面内作匀速圆周运动。将这两个方向上的运动合成，得知带电粒子的运动轨迹是螺旋线。螺旋线上相邻两个圆周的对应点之间的距离成为螺距，用表示。则综上所述，在一般情况下（与成任意角度），带电粒子在均匀磁场中的运动轨迹是以磁感应线为轴线的螺旋线。根据这个原理，可以利用磁场把电子束聚焦，这种磁聚焦现象可以用来制做

7、电子显微镜等电子光学器件。 5-6磁场对载流导体的作用把一段直导线水平地悬挂在方向竖直向上的磁场中，当有电流通过导线时，载流导线会摆动起来。载流导线在磁场中运动的现象反映出磁场对载流导线有力的作用，这个力叫安培力，研究磁场对载流导线作用的规律叫安培定律。一、安培定律载流导线是各式各样的，磁场对不同形式的载流导线的作用各不相同。然而，无论什么形状的载流导线，都可以看成是电流元的集合。这样，研究磁场对载流导线作用的规律，就是研究磁场对电流元作用的规律。1、安培定律的内容在载流导线中取一电流元，电流强度的方向为线元的正方向，电流元所在处的磁感应强度为。安培通过大量的实验发现：磁场对电流元有作用力，其

8、大小不仅与电流、线元长度和电流元所在处的磁感应强度成正比，而且与电流元与的夹角的正弦也成正比。即是一个矢量，它的方向与方向相同。用右手螺旋法则判断：伸开右手，四指从方向开始经小于180度的角转向，拇指所指的方向就是的方向。写成矢量式，得上式称为安培定律。根据力的叠加原理，磁场对一段载流导线的安培力为对一段长为的载流导线，若电流强度为，电流方向与均匀磁场的夹角为，则当，即电流方向与垂直时，有2、洛仑兹力与安培定律的关系 安培力的公式与洛仑兹力的公式很相似，反映了两者之间的内在联 系。由于电流是大量电荷定向运动形成的，磁场对运动电荷的洛仑兹力就是磁场对载流导体的安培力的根本起因。所以，安培力是洛仑

9、兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观本质。在电磁学的发展史上，人们首先由实验得出安培定律，然后导出洛仑兹力公式。实际上，从洛仑兹力公式也可以推导出安培定律。二、载流线圈在均匀磁场中所受的力矩 一矩形载流线圈置于均匀磁场中，磁感应强度方向水平向右。规定矩形平面线圈的单位法线矢量的方向与线圈中的电流方向构成右手螺旋关系。设初始时线圈的法线方向与外磁场的磁感应强度之间的夹角为，线圈可绕中心轴自由转动，线圈两对边的边长为和。根据安培定律，矩形线圈的边所受安培力的大小为 的方向垂直向外。同样可得边所受安培力的大小为 由于边中的电流方向与边相反，所以的方向与相反。矩形线圈边所受的安培力的大小相等，方向相

10、反，在同一直线上，因此这两个力互相抵消，不影响整个线圈的状态。而作用在两边上的力和虽然大小相等，方向相反，但不在同一直线上，这两个力不能抵消，它们对轴产生力矩，使线圈绕轴转动。这个力矩的大小为式中为线圈平面的面积。令，则这个力矩可以用矢量式表示。已知线圈平面的单位法线矢量与的夹角为，即有所以或力矩的方向沿轴向上。上式中的整体作为一个矢量，在讨论磁场对线圈的作用或平面线圈对外产生磁场时，反映线圈本身的磁学性质，我们将它定义为线圈回路的磁矩，用表示，即 力矩的矢量式可以写成上式虽然是从单匝的载流矩形线圈导出的，但这个结论对任意形状的单匝载流线圈都适用。当线圈匝数为匝时，线圈回路的磁矩为但力矩的公式

11、不变。总之，载流线圈在均匀磁场中所受的力矩，总是使线圈回路的磁矩 转向外磁场的方向。直流电动机和电流计都是根据载流线圈在磁场中受力矩作用而发生转动的原理制成的。 5-8平行无限长载流直导线间的相互作用电流强度的单位安培是在平行无限长载流直导线的相互作用力的基础上定义的，而电流间的相互作用力又可通过安培定律和毕-萨定律求出。一、平行无限长载流直导线的相互作用力在两根平行放置的无限长直导线上取相互对应的一部分，当两根导线中都通有电流时，发现它们之间有相互。随着两根导线中电流方向的改变，这个作用力可以是吸引力，也可以是排斥力。设两根导线分别通有电流和。导线1中通有电流，它在导线2处产生磁场，给载流导线一个作用力。同理，电流的磁场也给载流导线1一个作用力。现在两根平行无限长载流直导线上分别取处两段，设间的距离为。根据毕-萨定律，在处产生磁场的磁感应强度大小为在处的方向向里，与的夹角为。根