2021-2022学年九年级上册人教版数学教学课件 21.4一元二次方程小结

1、第1课时 21.4 一元二次方程小结一元二次方程小结 九年级上册九年级上册 RJ 初中数学初中数学 1.一元二次方程的定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)， 并且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程叫做一元二 次方程 2.一般形式：ax2 bx c0 (a，b，c为常数，a0) 3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是 这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根 知识梳理知识梳理 4.解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法适用方程 直接开平方法(ax+b)2=n(a0，n0)型方程 配方法所有一元二次方程 公式法所有一元二次方程 因式分解法 能化

2、为一边为0，另一边为两 个因式乘积的形式的方程 5.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根与系数的关系 数学 语言 文字 语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的 比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用 条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 0. 重要 结论 (1)若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. (2)以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方 程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 重难剖析重难剖析 -1 解： 一元二 次方程 的

3、概念 m=-1 未知数的最高 次数是2 二次项系数不为0 m-10 m2+1=2 解：根据题意得，x=0是原方程的根 所以m2-1=0，解得m=1. 又二次项系数不能为0，所以m1，即m=-1. 例2 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个 根为0，则m= . -1 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例3 解下列方程 (1)x2+x-1=0 ; (2)(x-3)2=-2x(x-3) . 解：(1)a=1,b=1,c=-1 =b2-4ac=1-41(-1)=5， 2 415 22 bbac x a 12 151- 5 , 22 xx 根据方程的特征选择 适当的方法进行解

4、答， 若多种方法都可以， 则选择自己擅长的方 法进行解答. ， . 例3 解下列方程 (1)x2+x-1=0 ; (2)(x-3)2=-2x(x-3) . 解：(2)(x-3)2=-2x(x-3) 移项,得(x-3)2+2x(x-3)=0, 因式分解,得(x-3)(3x-3)=0, x1=3，x2=1. 本题可以移项、因式 分解，也可以化成一 般式后用配方法或公 式法，但是不能两边 同除以(x-3). 解：解方程x2-13x+36=0得 x1=9，x2=4， 即第三边长为9或4 9，3，6不能构成三角形， 4，3，6能构成三角形， 三角形的周长为3+4+6=13 例4 三角形两边长分别为3和6

5、，第三边的长是方程 x213x+36=0 的根，则该三角形的周长为( ) A.13 B.15 C.18 D.13或18 A 例5 关于x的一元二次方程 (m-1)x2-2x+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2) 若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另一 个实数根. 由得 m1. 由得 =(-2)2-4(m-1)1 解得 m2. m0. 例5 关于x的一元二次方程 (m-1)x2-2x+1=0. (2) 若方程的一个实数根为-1，求m的值及方程的另 一个实数根. 解：(2) 把x-1代入原方程，得 (m-1)(-1)2-2(-1)+10. 解方程，得 m-2

6、. 原方程为 -3x2-2x+1=0. 解方程，得 x1=-1，x2= 1 . 3 m-2，方程的另一个实数根为x= 1 . 3 例6 已知一元二次方程x24x30的两根分别为m，n， 则m2mnn2 25 解：根据根与系数的关系可知 m+n=4，mn=-3. m2mnn2 =m2+n2-mn =(m+n)2-3mn =42-3 (-3) =25. 化为含m+n与mn的形式 1.填空 (1) 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次项系 数是 ，常数项是 . 4 -20 (2) 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则 p 的值 为 . -1 能力提升能力提升 一般式：4x

7、2-2x=0 把 x=2代入方程，得 4+2p-2=0， 解得 p=-1 2.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 解：方程x2-7x+12=0可化为(x-3)(x-4)=0， 所以x-3=0或 x-4=0，解得x1=3，x2=4， 因为菱形ABCD的一条对角线长为6， 所以边AB的长是4，所以菱形ABCD的周长为16 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求：写 出必要解题步骤). 3.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出 必要

8、解题步骤). 4.下列所给方程中，没有实数根的是( ) A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 4.下列所给方程中，没有实数根的是( ) A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 D 5.关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围. (1) 证明：=-(k+3)2-41(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2. (k-1)20， 方程总有两个实数

9、根. 5.关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1，求k的取值范围. (2) 解： 2 (3)(1) 2 1 kk x 即 x1=k+1，x2=2. 方程有一个根小于1， k+11， k0， k的取值范围是k0. (3)(1) . 2 kk A 解：因为方程 2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2， 第2课时 21.4 一元二次方程小结一元二次方程小结 九年级上册九年级上册 RJ 初中数学初中数学 知识梳理知识梳理 1.列一元二次方程解实际应用题的步骤. 审审：审清题意 设设：设未知数 列列：列一元二次方程 解解：解一元二次方程 检检：检验所得

10、的解是否符合题意 答答：写出答案 2.一元二次方程的实际应用. (2)变化率问题：a(1x)2=b (1)疾病传播问题：(1+x)n=b (4)双循环问题：n(n-1) (5)几何图形问题 (6)商品销售问题 (7)数字问题 (3)单循环问题： (1) 2 n n 实际问题 一元二次方程 ax2+bx+c=0 实际问题 的答案 配方法 公式法 因式分解法 降 次 解 方 程 检验 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长 出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 13，则每个支干长出( ) A.2根小分支B.3根小分支 C.4根小分支D.5根小分支 解：设每个支干长出 x 个小

11、分支. 根据题意，得1+x+xx=13，整理，得x2+x-12=0， 解得x1=3，x2=-4（舍去） B 重难剖析重难剖析 2.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元， 调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价 每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1) 若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该 公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 分析：销售问题的基本数量关系： 单件利润=单件的售价-单件的成本 总利润=单件的利润销售量 总利润=总销售额-总成本 2.某机械公司经

12、销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元， 调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价 每上涨2元，平均每天就少售出4件. (1) 若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该 公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 解：基本数量关系列表分析如下： 单件利润销售量/件 正常销售 涨价销售 432 x-20 (1)每天的销售量为 32-(x-24)2=80-2x. 32-(x-24)2 解：(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25，x2=35. 由题意知x28，

13、x=25, 即销售价应当为25元. (2) 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该 公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 3. 随着经济建设的发展，某省正加速布局以5G等为代表的战略 性新兴产业. 据统计，2020年全省5G基站的数量约3.6万座. 若计 划到2021年底，全省5G基站的数量是2020年的 倍； 到2023年底，全省5G基站的数量将达到17.34万座. (1) 计划到2021年底，全省5G基站的数量是多少万座？ (2) 按照计划，求2021年底至2023年底，全省5G基站数量的年 平均增长率. 5 3 解:(1) (万座). 5 3.66 3

14、 答: 计划到2021年底，全省5G基站的数量为6万座. 到2023年底，全省5G基站的数量将达到17.34万座. (2) 按照计划，求2021年底至2023年底，全省5G基站数量的年 平均增长率. 解: (2) 设2021年底至2023年底，全省5G基站数量的 年平均增长率为x. 列方程，得 6(1+x)2=17.34. 解方程，得 x1=0.7，x2=-2.7. 答: 2021年底至2023年底，全省5G基站数量的年 平均增长率为70%. 4.为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m，宽为20m的长方形 空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵

15、向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如 图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽 度应为多少米？(所有小道的进出口的宽度相等且每段 小道为平行四边形) 解：设小道进出口的宽为 x m. 列方程，得 (30-2x)(20-x)=532， 整理，得x2-35x+34=0， 解得x1=1， x2=34(舍去). 答：小道进出口的宽度应为1米. 面积相 等转换 平移转换 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过 两轮感染后就会有100台被感染.设每轮感染中平均每一 台电脑会感染 x 台其他电脑,由题意列方程应为( ) A.1+2x=100B.x(1+x)=100 C.(

16、1+x)2=100D.1+x+x2=100 C 能力提升能力提升 2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和是8,把 十位数字和个位数字调换位置后,所得的两位数乘原来 的两位数得1855,求原来的两位数. “数字”问题公式：十位 个位 ab 10a+b 2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和是8,把十 位数字和个位数字调换位置后,所得的两位数乘原来的 两位数得1855,求原来的两位数. 解：设原来个位数为x,则十位 数为8-x,由题意，得10(8-x)+x(8-x)+10 x=1855. 整理，得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5. 经检验,x1=3,x2=5均是原方程的解

17、,所以原来两位数为 53或35. 十位 个位 ab 10a+b 3.（2020上海中考）去年某商店“十一黄金周”进行 促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天 的营业额是前六天总营业额的12% （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8,9月 份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的 总营业额与9月份的营业额相等求该商店去年8,9月 份营业额的月增长率 解：（1）450+45012%504(万元) 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504万元 (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； 解：（2）设

18、该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x. 依题意，得350(1+x)2504， 解得x10.220%，x2-2.2(不合题意，舍去) 答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20% (2) 去年，该商店7月份的营业额为350万元，8,9月份 营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总 营业额与9月份的营业额相等求该商店去年8,9月份 营业额的月增长率 4.某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m 的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m) 围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示) (1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求养鸡场的长(AB) 和宽(BC)； (2)该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一 想法能实现吗？请说明理由 D A C BE F 解：(1)设BC=x m，则AB=(33-3x)m. 依题意，得x(33-3x)=90，解得x1=6，x2=5