材料力学,弯矩剪力图[务实应用]

1、5-5 5-5 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 第五章第五章 梁的内力梁的内力 5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例 5-2 5-2 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式） 5-3 5-3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 1运用材料 构件构件 Component, Structural member 杆杆 bar 梁梁 beam 拉压杆：承受轴向拉、压力拉压杆：承受轴向拉、压力 扭扭 杆：承受扭矩杆：承受扭矩 梁：承受横向力梁：承受横向力 为什么梁特别

2、重要？为什么梁特别重要？ 地球引力场方向地球引力场方向 + 人类需要空间人类需要空间 墙墙 楼板楼板 桥板桥板 2 运用材料 一、弯曲实例一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁： 5-1 5-1 平面弯曲的概念及工程实例平面弯曲的概念及工程实例 3运用材料 火车的轮轴：火车的轮轴： F F F F 4运用材料 楼房的横梁：楼房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁： 5运用材料 6运用材料 7运用材料 二、弯曲的概念：二、弯曲的概念： 受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。 变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面

3、的曲线曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁梁。 q P M A R B N 8运用材料 常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面 目录 9运用材料 平面弯曲平面弯曲 具有纵向对称面具有纵向对称面 外力都作用在此面内外力都作用在此面内 弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线 目录 10运用材料 静定梁的分类（三种基本形式）静定梁的分类（三种基本形式） M 集中力偶集中力偶 q(x) 分布力 分布力 1 1、悬臂梁：、悬臂梁： 2 2、简支梁：、简支梁： 3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力 F q 均布力 均布力 L L L L （L称为梁的跨

4、长）称为梁的跨长） 11运用材料 12运用材料 FN FS M 0 x F0 N F 0 y F 1AS FFF y 0 Mc F)( 1 axFxFM Ay F FS S剪力剪力，平行于，平行于 横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于 横截面的内力系的横截面的内力系的 合力偶矩合力偶矩FBy FN FS M n5-2 剪力和弯矩及其方程 3 FAy 13运用材料 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针顺时针 转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。 n5-2 剪力和弯矩

5、及其方程 Fs(+) Fs(+) Fs() Fs() 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 14运用材料 FAy FN FS M FBy FN FS M 截面上的弯矩使得梁呈截面上的弯矩使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。 n5-2 剪力和弯矩及其方程 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负 M(+) M(+) M() M() 15运用材料 FN FN FQ FQ 内力方向规定内力方向规定 16运用材料 解：解： 1. 确定支反力确定支反力 FAyFBy 0 y FFFF ByAy 2 0 A M aFFaaFBy23 3 F FBy 3 5F FAy 2. 用截面法

6、研究内力用截面法研究内力 FAy FSE ME 0 y F 3 5 2 F FF SE 0 E M 2 3 3 5 2 2 aF M a F E 3 F FSE 2 3Fa M E n5-2 剪力和弯矩及其方程 例题例题5-15-1 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力 FAy 17运用材料 FBy FByFAy FSE ME O 3 F FBy 3 5F FAy 分析右段得到：分析右段得到： FSE ME O 0 y F0 BySE FF 3 F FF BySE 0 o MFa a FM ByE 2 3 2 3Fa M E n5-2 剪力和弯矩及其方程 18运用材料 FAyF

7、By 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。 n5-2 剪力和弯矩及其方程 FSE FAy 3 5F FSE 2F FSE F2 3 F 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 19运用材料 FAyFBy 3 F FBy 3 5F FAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任 一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代 数和。数和。 n5-2 剪力和弯矩及其方程 ME FAy 2 3 3 5aF M E 2 2 a F Fa 2 3 2F ME 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负 2

8、0运用材料 计算任意截面的剪力和弯矩计算任意截面的剪力和弯矩法则法则 横向力：载荷和约束反力横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力分布力和集中力 方向：左上右下为正，方向：左上右下为正， 反之为负反之为负 外力：载荷和约束反力外力：载荷和约束反力 分布力、集中力和集中力偶分布力、集中力和集中力偶 方向：左顺右逆为正，方向：左顺右逆为正， 反之为负反之为负 任意截面的剪力一侧横向力代数值 任任意意截截面面的的弯弯矩矩 一一侧侧外外力力对对截截面面形形心心之之矩矩代代数数值值 21运用材料 三、剪力方程、弯矩方程三、剪力方程、弯矩方程： 注意注意： 不能用一个函数表不能用一个函数表 达的要分段，分

9、段点为：达的要分段，分段点为：集中力集中力 作用点、集中力偶作用点、分布作用点、集中力偶作用点、分布 力的起点、终点。力的起点、终点。 )( SS xFF 剪力方程剪力方程 )(xMM 弯矩方程弯矩方程 反映梁的横截面上的剪力和弯反映梁的横截面上的剪力和弯 矩随截面位置变化的函数式矩随截面位置变化的函数式 显示剪力和弯矩随截面位移的显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为变化规律的图形则分别称为剪力剪力 图图和和弯矩图弯矩图。 L q AB ,)(qxxFs , 2 1 )( 2 qxxM)0(lx )0(lx x s F x ( (- -) ) M x ql 2 5 . 0 ql

10、 22运用材料 F(x) x F FFxF AYs )( 解解：求支反力求支反力 )( )( LxF MxFxM AAY 写出内力方程写出内力方程 FL MFF AAY ; 根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。 F A B )0(lx )0(lx FAY MA L x x M(x) FL 注意：弯矩图中正的弯矩值注意：弯矩图中正的弯矩值 绘在绘在x x轴的下方轴的下方( (即弯矩值绘即弯矩值绘 在弯曲时梁的受拉侧在弯曲时梁的受拉侧) )。 23运用材料 例例 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图的满布荷

11、载作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。 解：解：1 1、求支反力、求支反力 2 ql FF BA 2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 qx ql qxFxF A 2 S 222 2 qxqlxx qxxFxM A x FBFA B l A q 24运用材料 ql 2 FS ql2 8 l/2 M 3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图 2 max,S ql F 8 2 max ql M 22 2 qxqlx xM qx ql xF 2 SB l A q * 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称 * 剪力为零的截面弯矩有极值。 25运用材料 例例 图示简支梁受集

12、中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图 和弯矩图和弯矩图。 解：解：1、求支反力求支反力 l Fb FA l Fa FB 2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出 B FBFA x l A F a b C 26运用材料 AC段段 CB段段 lxa l Fa FxF B S ax l Fb xF0 S lxa xl l Fa xlFxM B )( axx l Fb xM0 FA x A M(x) FS(x) FB B FS(x) M(x) B FBFA x l A F a b C l Fb FA l Fa FB 27运用材料 3

13、3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图 xl l Fa xM)( 2 l Fb xF S1 x l Fb xM 1 l Fa xF S2 FS Fb l x Fb l M x Fab l B FBFA x l A F a b C 28运用材料 FS Fb l x Fb l M x Fab l 为极大值。为极大值。时，时， 4 2/ max Fl Mlba * 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折 x l A F a b C 29运用材料 例例 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用。试的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。作

14、梁的剪力图和弯矩图。 解解: : 1、求支反力、求支反力 l M FA e l M FB e 0 A M 0 e lFM A Me FA FB B l A C ab 30运用材料 2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lx l M FxF A 0 e S 弯矩方程弯矩方程两段：两段： AC段：段： CB段：段： x l M xFxM A e xl l M MxFxM A e e lxa ax 0 FA FB x A FA M(x) FS(x) x FB B FS(x) M(x) B l A C ab l M FA e l M FB e 31运用材

15、料 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图 ba时时 l bM M e max l M xF e S 发生在发生在C截面右侧截面右侧 Fs l x Me l M x Mea l Meb * 集中力偶作用 点处剪力图无影 响，弯矩图有突 变，突变值的大 小等于集中力偶 的大小。 B l A C ab x l M xM e xl l M xM e lxa ax 0 32运用材料 解解：1、支反力 2、写出内力方程 ),(2)(: 1 kNFxFAC AYs 1kN/m2kN A B C D 1m1m2m x1 x3 x2 FAYFBY )( 2);( 2 0432121, 0 0212, 0 kN

16、FkNF FM FFY BYAY AYB BYAY 例例 画出梁的内力图。 ),.(2)( 111 mkNxxFxM AY , 0222)(: 2 AYs FxFCD ,21)(: 333 xxFxFBC BYs ),.(2) 1(2)( 222 mkNxxFxM AY , 2 2 2 1)( 2 3 3 3 333 x x x xxFxM BY 33运用材料 3、根据方程画内力图 1kN/m2kN A B C D FAYFBY x Fs(x) x 2kN 2kN )20( 2 2)( )20(2)(: )21 (2)( )21 (0)(: ) 10(2)( ) 10(, 2)(: 3 2 3

17、 33 333 22 22 111 11 x x xxM xxxFBC xxM xxFCD xxxM xxFAC s s s ， ， ， ， ， 2kN.m2kN.m M(x) 34运用材料 5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系 1 1、支反力：、支反力： 2 ql FF BYAY L q FAyFBy 2 2、内力方程、内力方程 qxqlxF s 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、讨论如下、讨论如下 qxql dx xdM 2

18、1)( q dx xdFs )( x ),(xFs )(xq s F M A R A 35运用材料 对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有： 0)(d)(d)()( 0 xFxFxxqxF Y sss )(dd)( s xFxxq dx x q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+dFs (x) Fs(x) M(x) q(x) dx A y xq x xF d d s 剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 36运用材料 q(x) M(x)+d M(x)Fs(x) M(x) dx A y , 0)( iA Fm )

19、( d )(d xF x xM s 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切 线斜率等于该点处剪力的线斜率等于该点处剪力的 大小。大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM 0)(d( 2 1 )()d(-)(d)( 2 xxqxMxxFxMxM s Fs(x)+dFs (x) xq x xF d d s )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM q、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系 37运用材料 载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系： 2 2 ( )( ) ( ) S dF xd M x q x dxdx 1.1. q q0 0，F

20、 Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线剪力图为直线, ,弯弯 矩图为斜直线。矩图为斜直线。 2.q2.q常数，剪力图常数，剪力图 为斜直线，弯矩为斜直线，弯矩 图为抛物线。图为抛物线。 3.3. 剪力剪力F FQ Q=0=0处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集处，弯矩取极值或驻点。大小可用（无集 中力偶）一侧中力偶）一侧Q Q图面积的代数和计算。（左侧面积或图面积的代数和计算。（左侧面积或 右侧面积的相反数）右侧面积的相反数） 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 目录 q 下雨下雨 池塘池塘 Fs 图：图： M图：图： Fs图：图： M图：图： 38运用材料 从左到右

21、，向上集中力作用处，剪力图向上从左到右，向上集中力作用处，剪力图向上 突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处 为尖点。反之亦然。为尖点。反之亦然。 从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯从左到右，顺时针集中力偶作用处，弯 矩图向矩图向M M正向突变，突变幅度为集中力偶的大正向突变，突变幅度为集中力偶的大 小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。小。剪力图在该点没有变化。反之亦然。 4 4、集中力、集中力 5、集中力偶、集中力偶 u 剪力图按横向力走向可直接画剪力图按横向力走向可直接画 u 弯矩图的段端值可用剪力图面积计算弯矩图的段端值可用剪力图面积计算 3

22、9运用材料 确定剪力、确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。 d d s M F x 22 11 s dd xx xx MF x 2 1 21s x x M xM xA F s d d F q x 22 11 dd xx s xx Fq x 2 1 21 x ss x FxFxA q 载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系载荷集度、剪力和弯矩间的积分关系 12 xx区间 )(xq P 0 M x 从左向右从左向右 从右向左从右向左 2 1 12 x ss x FxFxA q 2 1 12s x x M xM xA F40运用材料 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分

23、布荷载间积分关系定值定值 梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图 所包围的面积所包围的面积 梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所 包围的面积包围的面积 积分关系积分关系: : 41运用材料 控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。 三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）；

24、 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。 42运用材料 左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。 qa x aa qa q 解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略） AB： BC： 2、画内力图、画内力图 Fy m 2 2 3 ; 0qamFY A B C s F x s F s F, , 0qaqaF cs ,qaF As 右右 ； , 0q q 0, ； M, 2

25、 qaM B , 0 A M ;5 . 1 2 qaMC ,qaF Bs M qa2 (Fs 0, 所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜) ( 积分关系积分关系FsB=FsA+0) MC= MB+(-1/2qa a)= qa2 1/2 qa2 MB= MA+(-qa a)=0-qa2 ) M ;5 . 1 2 qa 43运用材料 例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图 组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 2 F FF CyAy 2 3F FDy 2 3Fa M D 1. 受力分析受力分析 44运用材料 特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连 的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零 2. 画画 FS 图图 水平直线水平直线 3. 画画 M 图图 直线直线 2 3 max S F F 2 3 max Fa M M Fa/2 -Fa/2 3Fa/2 45运用材料 aa q AB aa 46运用材料 解解 （一）求支座反力（一）求支座反力