北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试理科数学试题及答案

1、北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（理科）本试卷分第i卷和第ii卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第i卷（选择题 共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 设u=r，集合，则下列结论正确的是a. b. c. d. 2. 双曲线的焦距为a. 6b. 12c. 36d. 3. 设二项式的展开式中常数项为a，则a=a. -6b. -4c. 4d. 6 4. 如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内不能填入a. ？b. c. ？d. ？ 5. 已知有唯一的零点，则实数

2、的值为a. 0b. -1c. -2d. -3 6. 设为非零常数，则“与解集相同”是“”的a. 既不充分也不必要条件b. 充分必要条件c. 必要而不充分条件d. 充分而不必要条件 7. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是a. b. c. d. 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是a. b. c. d. 第ii卷（非选择题 共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 复数的虚部为_。 10. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是_。 11. 如图，abc内接于o，点d在oc的延长线上，a

3、d与o相切，割线dm与o相交于点m，n，若b=30，ac=1，则dmdn=_。 12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案。方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择_方案最合算。 13. 数列的前项和记为，若，则数列的通项公式为_。 14. 圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图装置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点a第一次回到点p的位置，则点a

4、走过的路径的长度为_。三、解答题。（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 15. （本小题满分13分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为，满足，且。（i）求c的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值时角a，b的值。 16. （本小题满分13分）如图，四棱锥中，pa平面abcd，abc=bad=90，ad=2pa=2ab=2bc=2。（i）求三棱锥的外接球的体积；（ii）求二面角与二面角的正弦值之比。 17. （本小题满分13分）设集合，从s的所有非空子集中，等可能地取出一个。（i）设，若，则，就称子集a满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；（ii）所

5、取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望。 18. （本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为f（，0），过点m（-3，0）作一条斜率大于0的直线与椭圆w交于不同的两点a、b，延长bf交椭圆w于点c。（i）求椭圆w的离心率；（ii）若mac=60，求直线的斜率。 19. （本小题满分13分）已知定义在上的函数，。（i）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（ii）若且对任意的恒成立，求的最大值。 20. （本小题满分14分）给定正奇数，数列：是1，2，的一个排列，定义e（，）为数列：，的位差和。（i）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；（ii）若位差和e（，）=4，求满足

6、条件的数列：，的个数；（iii）若位差和，求满足条件的数列：的个数。参考答案：一、选择题。（共8小题，每小题5分，共40分） 1. a2. b3. b4. d5. b6. a7. c8. d 7. 提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（）位于直线的下方，即，由此解得。原题等价于函数的最大值小于2，即。 8. 提示：为r上的减函数，故，从而，所以，得。二、填空题。（共6小题，每小题5分，共30分） 9. -110. 11. 312. 乙 13. 14. 提示：a走过的路径由9段圆心角均为的劣弧组成，其中6个劣弧所在圆的半径为1，3个劣弧所在圆的半径为，所以点a走过的路径的长度为。三

7、、解答题。（共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（i）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，（4分）因为，所以0，从而，即。（6分）（ii）由余弦定理，得，又，所以，于是，（11分）当时，取到最大值。（13分） 16. （本小题满分13分）解：（i）连接ac，则accd，又pa平面abcd，pacd，cd平面pac，又pc平面pac，pcd=90，（2分）而pad=90，从而三棱锥p-acd外接球的球心为pd中点e。（4分）直径，所以三棱锥p-acd外接球的体积。（6分）（ii）建立坐标系，以点a为坐标原点，分别为轴正方向，则b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0

8、），p（0，0，1）。设平面pbc的法向量，则即=（1，0，1）由（i）知cd平面pac，故平面pac的一个法向量为=（-1，1，0），（8分）所以。二面角b-pc-a的大小为，其正弦值为，（10分）由cd平面pac，得平面pcd平面pac，二面角a-pc-d为直二面角，其正弦值为1，（12分）综上，二面角bpca与二面角apcd的正弦值之比为。（13分） 17. （本小题满分13分）解：可列举出集合s的非空子集的个数为：个。（2分）（i）满足性质的非空子集为：，共7个，所以所取出的非空子集满足性质的概率为：。（6分）（ii）的可能值为1，2，3，4，5。12345p（11分）。（13分） 1

9、8. （本小题满分14分）解：（i）由题设，解得，（3分）所以椭圆w：，离心率。（5分）（ii）设直线的方程为。联立得，由直线与椭圆w交于a、b两点，可知，解得，设点a，b的坐标分别为，则，（8分）因为f（-2，0），设点a关于轴的对称点为c，则c（），所以，又因为，所以b，f，c共线，从而c与c重合，连接mc，则，（12分）则mac为等边三角形，所以直线的斜率，符合，综上，直线的斜率为。（14分） 19. （本小题满分13分）解：（i），则，故在上单调递增，（3分）而，所以存在唯一的零点。（6分）（ii）由（i）存在唯一的零点显然满足：，且当时，；当时，当时，等价于，设。则，故与同号，因此当

10、时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）故，由题意有，又，而，故的最大值是3。（13分） 20. （本小题满分14分）解：（i）e（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（ii）若数列：，的位差和e（，）=4，有如下两种情况：情况一：当，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）情况二：当分别等于，或，或，其他项（其中）时，有种可能；（7分）综上，满足条件的数列：的个数为。（8分）例如：时， 情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情况二：形如3，2，1，

11、4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（iii）将去绝对值符号后，所得结果为112233的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明，（10分）此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，2个和1个。（11分）上面的讨论表明，题中所求的数列是使得e（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的

12、排列作为，的对应值，较小的个数的排列作为，的对应值，于是所求数列的个数为。综上，满足条件的数列的个数为（14分）例如：时，e（）。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。若e（）=12，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，鉴别师事先不知道物品的标