自动控制原理自控

1、授课时间】：、11.20 上午三四节授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4114 【授课时数】：2 授课题目】：频率特性及典型环节的频率特性教学目标】1、正确理解频率特性的概念；2、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。 教学重难点】重点：典型环节的频率特性难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线教学内容】复数的表示形式：(1) 代数式： A=a+bj(2) 三角式： A=R(cos +j sin )(3) 指数式： A=Rej (4) 极坐标式： A=R 5.1 频率特性一、频率特性定义频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，是研究自动控制系统的一

2、种工程求解 方法。系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节 或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向。频率特性的定义(1) 频率响应 : 在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。(2) 频率特性 : 频率响应 c(t) 与输入正弦函数 r(t) 的复数比。幅频特性：A()为幅频特性P(相频特性：输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的相位之差( ) 为相频特性实频特性： P( ) A( )cos ( )虚频特性： Q( ) A( )sin ( )例5-1 已知 ui ( t )= Asin t。其中， T=RCUiA22 s零初始条件uctAT1A

3、2 2 sin( t arctan T )上式表明：12T 2t2 2e T对于正弦输入，其输出的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞 后。G（ j ）幅频特性和相频特性数据1 j T频率特性的性质1）与传递函数一样，频率特性也是一种 数学模型 。且只适用于线性定常系统。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完全确定。2）频率特性是一种 稳态响应 。 系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态

4、性能、稳态性能等。3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率当频率?改变，则输出、输入量的幅值之比A（?）和相位移 ?（?）随之改变。这是系统中的储能元件引起的4）实际系统的输出量都随频率的升高而出现失真，幅值衰减。所以，可以将它们看成 为一个“低通”滤波器。5）频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去。、频率特性、传递函数、微分方程的关系频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。例：频率特性的求取：1）根据定义求取。即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得

5、到。2）根据传递函数求取。即用 s=j? 代入系统的传递函数，即可得到。（3）通过实验的方法直接测得。5.1.3 频率特性的图示方法频率特性的图形表示是描述系统的输入频率 从 0 到变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。常用频率特性曲线及其坐标系1幅相频率特性曲线极坐标图极坐标2对数频率特性曲线伯德图半对数坐标1. 幅相频率特性曲线对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅 值与相角在复平面上代表一个向量。当频率 从零变化到无穷时，当频率 从零变化到 无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相 曲线，又称 Ny

6、quist 图。例： RC电路的幅相频率特性。因此 RC网络的幅相频率特性是一个以 （0.5,j0） 为圆心，以 0.5 为半径的半圆2. 对数频率特性曲线( Bode 图)又称为伯德曲线(伯德图) ，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用 的一组曲线。在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。对数幅频 L( ) 20lg G(j )H(j ) 20lg A( ) (dB)相频( ) G( j )H(j ) (rad)横坐标是 的对数分度 , 纵坐标是 L() 的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。采用对数坐标图的

7、优点：(1) 将低频段展开，将高频段压缩。(2) 当系统由多个环节串联而成时，简化运算。G1(j )A1()ej1()G2(j)A2()ej 2() Gn(j)An()ej n( )(3) 所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。(4) 容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的这种坐标系称为半对数坐标系在横轴上，对应于频率每增大 10 倍的范围，称为十倍频程 (dec) ，如 1-10 ，5-50 ，而 轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性

8、的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程(即变化) 所对应的纵坐标分贝数的变化量。53 典型环节的频率特性典型环节比例环节： K惯性环节： 1/( Ts+1) ，式中 T0一阶微分环节： ( Ts+1) ，式中 T0积分环节：1/s延迟环节：振荡环节：2sn；式中 n0，0 1频率特性表达式为： G(Aj(A(1)比例环节传递函数为： G(s)=K=constconstconst 0 arctan0K对数幅频特性和相频特性分别是：L( )=20lg| G( j )|=20lg K 和 ()=02）积分环节G(s) 1s s积分环节的传递函数为频率特性表达式为：横坐标： x=lg 计量单位

9、：G(j纵坐标： y=Kx 计量单位： dB取 2=10 1lg =lg 2-lg 1=lg(10 1/1)=1 decL( )=L( 2)- L( 1)=-20 lg(10 1/ 1)=- 20dB/dec斜率为： kL( )lg( )20dB/dec双重积分：随着开环增益的增大，直线逐渐升高3）惯性环节G(s)1 Ts传递函数为：频率特性表达式为：此惯性环节的幅相频率特性是一个以 (1/2 ， j0) 为圆心，以 1/2 为半径的半圆采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。低频段： 1/T，T 1/T， T 1，1 可略去频率特性可近似为： L() -20lg T=-20lg -lg(1

10、/ T) 高频渐近线 的频率增大 10 倍时， L( ) L(10 1) L( 1) 20(dB)高频渐近线斜率为：k L( ) 20dB/ dec lg( )高频渐近线具有 -20dB/10 倍频程的斜率，记为 -20dB/dec 或-20 。高频渐近线正好4)振荡环节T=1处与低频渐近线相交，交点处的频率Im称为转+折 频率( ) 90Re 0A( )112T2 )2 (2 T)2()arctan 21T2T2arctan2T222T 2 1(0 0.707)A( r ) Am21低频段：在高频段：A11/ T， T1/ T， T1， 1 可略去2T 2 2T29020dB dec斜率为：

11、20dB/ dec授课时间】： 【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4113 【授课时数】：2【授课题目】：典型环节的频率特性【教学目标】1、熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲 线；【教学重难点】重点：典型环节的频率特性难点：典型环节的幅相特性曲线及对数频率特性曲线、 开环幅相特性曲线的 绘制教学内容】(5)微分环节纯微分环节的传递函数为 ：G(s) s频率特性表达式为： G( j ) jL( )=20lg ()=90o6)一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为 ：频率特性为： G( j ) 1 j低频段： 1/ ， 1/， 1，1 可略去频率特性可近似为：

12、 L( )20lg =20lg -lg(1/ ) 高频渐近线渐近线斜率 k=20dB/ dec(7)二阶微分环节22G(s) 1 2 s 2s200.707 时有峰值：8)一阶不稳定环节非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节(或系统) ，称为非最小相位环 节(或系统)。由上图看出， 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同， 但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节(9)延迟环节积分环节和微分环节、 惯性环节和一阶微分环节、 振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数。则有 G1( s)=1/ G2(s)1设G1jA1ej 1，则 G2jA2ej 2

13、= 1e- j 1A1则，传递函数互为倒数的典型环节， 对数幅频曲线关于 0dB线对称， 对数相频曲线关于 0线对称。例： 试将系统开环传递函数按典型环节分解2解: G(s)H (s) 2 50(s 3)(2s 1)2s(s2 4s 25)( s 1)(s 2) s 3授课时间】：2013.11.25 、 11.27 上午三四节授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4113 【授课时数】：2 授课题目】：开环系统的频率特性教学目标】1、掌握开环奈奎斯特图的绘制2、掌握开环 Bode图的绘制；教学重难点】重点：开环奈奎斯特图的绘制、开环 Bode 图的绘制难点：同上教学内容】5.4 系统开

14、环幅相频率特性一、开环幅相特性(1) 将开环传递函数按典型环节分解Gi(s) 为除 1/s 、k 外的其他典型环节(2)粗略画三个特殊点起点 低频段 ( 0 )终点 高频段 与坐标轴的交点曲线与实轴的交点令Im G(j )H(j ) 0求得 值代入 ReG(j )H(j ) 中，即可得与实轴 的交点。令Re G(j )H(j ) 0求得 值代入 Im G(j )H(j ) 中，即可得与虚轴 的交点。再取几个 点计算 A() 和( ) ，即可得幅相频率特性的大致形状。A( )() 只包含惯性环节的0A(0)(0)K0o0(n m) 90o0 型系统 Nyquist 图系统 Nyquist 图节的

15、 II 型系统 Nyquist 图例 5-2 设系统的开环频率特性为 G( j )(1 jT1 )(1 jT2 ) 已知：K10，T11，T25，绘制开环幅相频率特性。P( ) 解：Q( )()A( )arctan T1arctanT2K(1 T1T2 2)2 2 2 2 (1 T12 2)(1 T22 2)K(T1 T2)2 2 2 2 (1 T12 2)(1 T22 2)求交点：令 ReG( j ) 0解得， =0.447rad/s例 5-3 设某系统的开环频率特性为 G( j ) 绘制开环幅 j (1 jT1 )(1 jT2 )相频率特性。解： G(0 )90o G( ) 0 270o例

16、5-4: 绘制G(s) 5(s2 2)(s 3)的幅相曲线。s2 (s 1)解：G(j0 )180o G( j ) 0 90o求交点： 令 ImG(j ) 0解得 1令 ReG( j ) 0 4 2 6 0 无实数解，与虚轴无交点 曲线如图所示：二 系统开环对数频率特性的绘制 如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：步骤：( 1)将开环传递函数表示为时间常数表达形式m1m2G(j )K(j )v(j i 1) k2(j )2 2 k k( j ) 1 i 1k 1n1n222(jTj1) Tl2( j )2 2 lTl(j ) 1j 1 l 12）求 20lgK 的值，

17、并明确积分环节的个数 v；3）确定各典型环节的转折频率，并按由小到大排序；4）求出低频渐近线的斜率和位置低频段频率特性为：对数幅频特性为： L（20lg K 20lgKv) 20lg A( ) 20lg20lg K v20lg对数相频特性为： =-v 90o上述表明：A 低频段的对数幅频特性直线的斜率为 20 v （ dB/dec） ，相频角度为 v90；B当 =1时，低频段直线或其延长线（在 1 的范围内有转折频率）的分 贝值为 20lgK ，这是因为由低频段的幅频方程，可得到1 C低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为0=Kv ，对于型系统交点频率为 0=K ，型系统交点频

18、率为 0= K ；这是因为由低频 段的幅频方程，可得到 L( ) 20lg K v20lg =0 20lg K=20 v lg =20lg于是有： v=K0=K v然后，依转折频率及转折后斜率变化量的确定 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出个转折频率。次在各转折频率处改变直线的斜率，改变的多少取决于转折处环节的性质。i 1 i ，经过 i后，斜率变化量为 +20dB/dec 。（一阶微分环节） k 1 k ，经过 k后，斜率变化量为 +40dB/dec。（二阶微分环节） j 1Tj ，经过 j后，斜率变化量为 -20dB/dec 。（惯性环节）l 1 Tl ，经过 l 后，斜率变化

19、量为 -40dB/dec 。（振荡环节） 相频特性的表达式为：其中 1/ 且 T2）它们的对数幅频和相频特性为显然, 两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见，2 的变化范围要比 1 大得多。G1 s 最小相位系统G2 s 非最小相位系统例 5-7 已知系统的开环对数幅频特性如下，试确定系统的开环传递函数解：由图可见， 低频段的斜率为 ?20 dB/dec，所以开环传递函数有一个积分环节判断系统稳定的几种方法：系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部代数稳定判据 Ruoth 判据由闭环特征多项式系数(不解根)判定系统稳定性 不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的

20、问题。5.5 频域稳定判据奈氏判据是利用开环幅相特性判断闭环稳定性的图解方法； 可用于判断闭环系统的绝对稳定性， 也能计算系统的相对稳定指标和研究改善系统性能的方法 .一 奈氏判据的数学基础1. 映射定理(幅角定理)s 为复数变量， F(s)为 s 的有理分式函数。s1代入 F(s) 得 F(s1)，s2代入 F(s)得 F(s2)；s沿 s连续变化一周(不穿过 F(s) 的零、极点)，则 F(s) 沿封闭曲线 F连续变化一周s包围一个 F(s) 的零点，当 s1 沿 s顺时针连续变化一周， (s-zi) 的相 角积累 - 2 ，或者说，F顺时针绕 F平面原点一周 ;s不包围 F(s) 的零点

21、，当 s1 沿 s顺时针连续变化一周， (s-zi) 不积累 角度;s包围 Z 个 F(s) 的零点，当 S1沿 s顺时针连续变化一周， (s-zi) 的 相角积累 Z * (- 2) ，或者说，F顺时针绕 F平面原点 Z圈。如果：s包围一个 F(s) 的极点，当 s1 沿 s顺时针连续变化一周，因为 pi 映 射到 F(s) 上是在无穷远，所以，相对应 F逆时针绕 F 平面零点一周， ( s-pi ) 的相角积累是 2 角度；s包围 P个 F(s) 的极点，当 s1 沿 s顺时针连续变化一周， s-pi 积累的 相角为 2*P，或者说， F逆时针绕 F 平面零点 P周；s包围P个F(s)的极

22、点，又包围 Z个F(s)的零点，当 s1沿s顺时针连 续变化一周后，F 顺时针绕 F 平面零点( Z-P)周，或：F逆时针绕 F平面零点 R = (P- Z )周若 s 平面上的封闭曲线 s包围着 F(s) 的 Z 个零点，则在 F(s) 平面上映射 的曲线 F将按顺时针方向围绕着坐标原点 Z 周。若s平面上的封闭曲线 s包围着 F(s)的P个极点，当 s沿着 s平面上的 封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在 F(s) 平面上映射的曲线 F将按逆时针 方向围绕着坐标原点 P 周。映射定理 ( 幅角定理 ) ：设 s 平面上不通过 F(s) 任何奇异点的某条封闭曲线 ，它包围了 F(s) 在 s

23、平面上的 Z个零点和 P个极点，当 s 以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时， 则在 F 平面上相对应于封闭曲线 的像 F将以顺时针的方向围绕原点旋转 R 圈。R与 Z、P的关系为 : R=Z P。当 ZP，则 R0，F顺时针包围原点 R 圈当 ZP，则 R1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2 ，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定；K0 的部分；单位圆内部 Bode图 L( )0 范围内的与 180线的穿越点正穿越 对应于 Bode图 ()曲线当 增大时，从下向上穿越 180线；负穿越 对应于 Bode图 ()曲线当 增大时，从上向下穿越 180线。2. Bode 图上

24、的稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：当 由 0 变到 +时，在开环对数幅频特性L( ) 0的频段内，相频特性 ()穿越- 线的次数(正穿越与负穿越次数之差)为 p/2 ，p 为 s 平面右半部的开环极点数。若开环传递函数无极点分布在 S 右半平面，即 P 0，则闭环系统稳定的充要条件是：在 L()0 的频段内，相频特性 ()在- 线上正负穿越次数代 数和为零，或者不穿越 - 线例 5-15 ：开环特征方程有两个右根， P=2，试判定闭环系统的稳定性例 5-16 ：开环特征方程无右根， P=0，试判定闭环系统的稳定性 解：正负穿越数之差为 0系统闭环稳定例 5-17 已知系统开环传递函数判据判别

25、闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图由开环传递函数可知 P=0。所以闭环稳定例 5-18 已知系统开环传递函数 G(s)H(s)2 试用对数稳定判 s(s2 2s 100)据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图在 n 处振荡环节的对数幅频值为 闭环特征方程的正根数为 闭环不稳定。1、当s 平面虚轴上有开环极点时， 奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小 的圆弧； G 平面对应要补充大圆弧。2、N 的最小单位为二分之一。00有误！无论开环传递函数的系数怎样变化， 系统总是闭环不稳定的， 这样的系统称 为结构不稳定系统。3. 条件稳定系统若开环传递函数在右半 s平面的极点数 P=0

26、，当开环传递函数的某些系数 （如 开环增益） 改变时， 闭环系统的稳定性将发生变化。 这种闭环稳定有条件的系统 称为条件稳定系统。【授课时间】：2013.12.3 、12.6 上午一二节【授课形式】：多媒体 【授课地点】：4306 4114 【授课时数】：2【授课题目】：稳定裕度和系统闭环、开环频率特性与阶跃响应的关系【教学目标】1、掌握稳定裕度的计算；2、了解闭环频率特性的性能指标；3、掌握系统稳态性能、动态性能及抗干扰性能和开环频率特性的关系；【教学重难点】重点：稳定裕度的计算、闭环频域性能指标；难点：稳定裕度的计算、【教学内容】四 稳定裕度通常用相角裕度 ? 和幅值裕度 h表示系统稳定裕

27、度 (开环频率指标 )。若 Z=P-2N中 P=0，则 G(j )过(-1, j0) 点时，系统临界稳定，见右图：特点：G(j )曲线过(-1, j0) 点时， G( j ) 1 o 同时成立！ G(j ) 180o1 相角裕度剪切频率 c： A( c) G( j c)H( j c) 1在控制系统的剪切频率 c 上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相 GH 超前或滞后相移)量，称为系统的相角裕度，记作移2、幅值裕度c幅值裕度 h： h11 A(x ) G j x H j x穿越频率 x ： ( x) 180o以分贝表示时： h(dB) 20lg G jx H j x dB含义：如果系统的开

28、环传递系数增大到原来的 h 倍，则系统处于临界稳定状态h 大于 1 ，则对数幅值裕度为正值，系统稳定。h 小于 1 ，则对数幅值裕度为负值，系统不稳定系统稳定，则 h1、?0系统稳定当0时，相位裕度为负，系统不稳定相角裕度和幅值裕度的几点说明般而言L( c)处的斜率为 20dB/ dec 时，系统稳定L( c)处的斜率为 40dB/ dec 时，系统可能稳定，可能不稳定，即使稳定，也很小L( c)处的斜率为 60dB/ dec 时，系统肯定不稳定为了使系统具有一定的稳定裕量， L( )在c处的 斜率为 20dB/ dec为了得到满意的性能，一般要求：30 : 60oh2例 5-20 ：一单位反

29、馈系统的开环传递函数为G(s)s(1 0.2s)(10.05s)求： K=1时系统的相角裕度和幅值裕度；调整 K 使系统的增益裕度为 20dB，相位裕度40解：幅值裕度穿越频率0.2 x0.05 x1 0.2 x 0.05 xtg( 12)tg 1 tg 21mtg 1tg 2幅值裕度： h(dB) 20log G(j x)H(j x)相角裕度根据 K=1时的开环传递函数G(j c)H( j c) 由题意知 h20lg G( j x)H( j x)20dB G( j x)H(j x)0.1Kx (1 0.04 x2)(1 0.0025 x2 )0.1 K 0.1 10 1 4 1 0.252.

30、5验证是否满足相位裕度的要求180 G(j c)H( j c)根据 40 的要求，则得：arctg 0.2 c arctg 0.05 c 50 0.2 c 0.05 c 1.20 c 4rad /sc c 1 0.2 c 0.05 c c1 K 4 1.28 1.02 5.2 c (1 0.04 c2)(1 0.0025 c2)可见， K=2.5，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。K1, 2.5, 5.2 时的相角裕度和幅值裕度56 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系图示单位反馈系统的闭环传递函数为由： (j ) |OA| (j ) PAO | PA|可得闭环幅频特性曲线1. 直流增益 (零频幅值 )(0)直接反映了系统的稳态精度。 (0) 越接近于 1 表示系统的稳态误差越高。2. 谐振峰值 Mr表明系统对某个频率的正弦信号反应强烈， 有谐振的趋势， 反映系统的相对 稳定性和阶跃响应超