材料力学习题答案

1、轴向拉仲与压缩2-1试求图示直杆横截而1、2-2. 3-3 的轴力，并画出轴力图。3kN18kN10OFN(kN)1815Fn】= T8kNFN2=-15kNFN3= lOkN2-2图示中部对称开槽直杆，试求横截面1-1和2-2上的正应力。2FF=14kN解：2 轴力由截而法可求得，杆各横截面上的轴力为2.Fn =-F = -14kN 应力22L = ZliMPa = -175MPai A- 20x4-14x10-=7Z7 = (2oTT3MMPa=-35OMPaFn2-3图示桅杆起重机，起重杆力B的横截面是外径为20mm、内 径为18mm的圆环，钢丝绳BC的横截面面积为10mm试求起重杆 A

2、B和钢丝绳3C横截面上的应力。解：1. 轴力a取节点8为研究对象，受力如图所示，艺化=0 :Fnbc + Fnab cos30 + Fcos45 = 0Fv = 0 ：- Fkab sin30 一 Fsin45 =0由此解得： Fb = -2.83 kN FNBC =1.04kN2. 应力起重杆横截而上的应力为% =-=曲心 MPa = -47.4 MP Aab x（202 -182）钢丝绳横截而上的应力为Fnbc _ l04xl(P= io-MPa = 104MPa2-4图示由铜和钢两种材料组成的等直杆，铜和钢的弹性模量 分别为E, =100GPa和E2 =210GPa。若杆的总伸长为 A/

3、 = 0126mm,试求载荷F和杆横截而上的应力。2铜曲解：1. 横截而上的应力由题意有a/ = a/1 + a/, =2k+2k 爲 丄+土 盼砂 Id Ez)由此得到杆横截而上的应力为A/0.126 (J二丄+邑 d E2= - MPa = 15.9MPa600+400lOOxlO3 210x102.载荷/F=40kNB1CL,800AL 400rrn40Fn (kN)2-5图示阶梯形钢杆，材料的弹性模M = 200GPa,试求杆横 截而上的最大正应力和杆的总伸长。解：1. 最大正应力由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截而上的最大正应力发生 在BC段的任一横截而上，即2宀abc40x 10

4、-MPa-127.3MPa-x20242 杆的总伸长+ *BCFl AB f Fl BCEArc4x40xlQ3 f400200xlO3 UO2mm = 0.57 mm8002072-6图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构，圆筒材料的弹 性模M = 200GPao在秤某一沿圆筒轴向作用的重物时，测得筒壁 产生的轴向线应变 = -49.8x10 o试求此重物的重量G。解：圆筒横截而上的轴力为 fn=-g由胡克怎律a -G =E EA可以得到此重物的重虽:为G = -sEA=49.8 x IO-6 x 200 x IO3 x 1 x（802 -（80-9x2）2n= 20kN第三章材料的力学性质拉

5、压杆的强度计算3-1图示水压机，若两根立柱材料的许用应力为cr = 80MPa试校核立柱的强度。解:立柱横截而上的正应力为F/2600x02 “D “mm 1a = = MPa = 59.7MPa FzB即AC杆比&3杆危险，故Fc =aA = 160x200N = 32kNFnab = Fnac = 16J2 kN由另 Fy = 0:FrAb cos453 + F心。cos3(F 一 F = 0可求得结构的许用载荷为 F =437kN3-4承受轴力FN=160kN作用的等截面直杆.若任一截而上的 切应力不超过80MPa,试求此杆的最小横截而而积。解：由切应力强度条件r = = -rl max

6、 2 2A 可以得到A- = -16 -mm2 = 1000mm2 2r2x803-5试求图示等直杆&8各段内的轴力。解:AcXXX、y为一次超静怎问题。设支座反力分别为乙和耳 由截面法求得各段轴力分別为Fc = Fncq = J 一 2F , Fndb=Fb静力平衡方程为变形协调方程为A/ = A/1C + A/cd + N )b = 0物理方程为$DB -FndWEA由联立解得：gF，F厂一討7F5故各段的轴力分别为：也=,Fncd=-, 5= 一二F4443-6图示结构的横梁AB可视为刚体，杆1、2和3的横截而而 许用应力为6。试求许用载荷F 积均为儿各杆的材料相同,为一次超静左问题。由

7、对称性可知，Fnad=Fnbf，A/4D = o静力平衡条件:+ Fnce + Fnbf 一 F = 变形协调条件:即即 o由解得：Fd=Fnbf=2Fnce=-F由AD.BF杆强度条件7加=% =A可得该结构的许用载荷为F = |crM3-7图示绞接正方形结构，各杆的材料均为铸铁，英许用压应 力与许用拉应力的比值为%/ = 3,各杆的横截而而积均为久试求该结构的许用载荷F。解：8点受力如图(a)所示，由平衡条件可得：Fn = F/41由对称性可知，AD、BD、AC. BC四杆受拉，拉力均为尸/运， 由拉杆的强度条件可 得F W运QJAD点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：Fz=-4iFz=

8、-F CD杆受压，压力为F,由压杆的强度条件%二却小36A可 得由可得结构的许用载荷为F = J2la A o3-8图示横担结构.小车可在梁&C上移动。已知小车上作用的 载荷F = 15kN.斜杆AB为圆截而钢杆，钢的许用应力a = 170 MPa 若载荷F通过小车对梁AC的作用可简化为一集中力，试确左斜杆I0.8m解：A Q由几何关系，冇sin or = , = = 0.388V0.82 +1.92取AC杆为研究对象为My = 0 :sin a 1.9 - Er = 0由此可知：当x = 1.9m时,F 15皿n伽皿= = 5388kN = 38 66kN由6叫产牛晋W 瓜I卄4可得、|4F

9、N4Bmax Mx 38.66xlO3 门(1 2 | 、mm = 17 mmV 刃 6V 龙 X1703-9图示联接销钉。已知F = 100kN，销钉的直径 = 30mm， 材料的许用切应力r = 60MPao试校核销钉的剪切强度，若强度不 够，应改用多大直径的销钉。I解:1 校核销钉的剪切强度MPa = 70.7 MPa rF/2 2F 2x100x10,/rd2 /4 7Td2 x3O2I销钉的剪切强度不够2. 设计销钉的直径由剪切强度条件r = -r,可得 加4fI2F (2x100x10-7x60mm = 32.6 mm3-10图示凸缘联轴节传递的力偶矩为A/e=200N.m,凸缘之

10、 间用四个对称分布在q)=80mm圆周上的螺栓联接，螺栓的内径 = 10mm,螺栓材料的许用切应力r = 60MPao试校核螺栓的剪切 强度。nn解：设每个螺栓承受的剪力为Fq,则由仪守4 = Mc可得螺栓的切应力Fq 2D。2MC2x200xl03，一“ r ir =学=一厂 =5MPa = 15.9MPa = 5OxlOimm = 2()()mm hr 250x13-12 图示螺栓接头。已知F = 40kN,螺栓的许用切应力r = 130MPa，许用挤压应力% = 300MPa。试求螺栓所需的直径解：1. 由螺栓的剪切强度条件如4可得S=v2x40xl(P龙 xl30mm = 14mm2.

11、 由螺栓的挤压强度条件crhs = F w cr伙bs 20 可得宀 F 40xl03“a M=mm = 6.7 mm20( l Mj =FFlJ 2-4(b) 以整个梁为研究对象，求得支反力:由截而法，分别以1-1横截而的左半部分和2-2横截而的右半部分为研究对象，求得：Fq严牛，M严一牛2=-牛,”2=牛5-3试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1. 求支反力=0：F1vx6-12-10x3 = 0,F小.=7kNFv=0： 心+ F肌-10 = 0,FBy = 3kN2. 列内力方程M (x)=7 kN一 3 kN7x-123(6 - x)0 x 33 x 6kN m 0

12、x 3kN m 3 a- 63. 作内力图(b)qi解：1. 求支反力严0：FAj 一押+曲学0,&,=oZFv = 0 :FAy + Fb、 ql_ql = 0, FBv = 2ql2. 列内力方程-qx 0 x / Fq(X)= ql I x 31/2 A/(x) = | /2-V-/一 g/(32_”)/ a- U 1 m去 1 mJ(d)F=20kNq| q=30kN/mFc40kN|Fv=40kN解:5-5试用伦、M与g之间的微分关系判断图示梁的内力图形态, 画岀内力图，并求出|F0|max和|M|max。解Fq图:&C段：q为常数，且90, Fq图从左到右为向上的斜直线，M图为 向

13、下凹的抛物线。在C截面处，Fq图连续，M图光滑。(b)解：1. 求支反力FAy x3u qx2ax2a qa1 = 0 ,工 F、=0 ： FAy + FBy - q x 2n = 0 ,2. 判断内力图形态并作内力图Fa图：AC段：q为常数，且q0,甩图从左到右为向下的斜直线，M图为向上凸的抛物线，在距A端*截而处，M取极大值。M图：段：g = 0,尽图为水平直线，且Fq0, M图从左到右为向下的 斜直线。在C截而处，Fq图连续，M图光滑。(c)解:1.求支反力FAy x 3a g x 2a x 2a - qa x 2d = 0工F、= 0 : F八、+ 仏 -qx2n-qa = 0.2.

14、判断内力图形态并作内力图FMAC段：q为常数，且qvO, Fq图从左到右为向下的斜直线，M图为 向上凸的抛物线。C截而处，有集中力F作用，心图突变， M图不光滑。M图：CD段：为常数，且qvO,心图从左到右为向下的斜直线，M图为 向上凸的抛物线。DB段：7 = 0, %图为水平直线，且70； M图从左到右为向下的斜直线。(d)HZ ny=6kZ/m解：1. 求支反力也=0：Flvx6-8-ix6x42=0, FAy = 9.3kN工 F、=0： +弘 -6x4 = 0, Ffiv = 14.7 kN2. 判断内力图形态并作内力图Fq图： &D段，q=o,为水平直线：D3段，q0,从左到右为向上

15、的斜直线：C截面处，有集中力偶A/。作用，有突变；CD段，q = 0,且Fq0,从左到右为向上的斜直线，且与AC段 平行；DB段，“0,为向上凸的抛物线：在距8端2.45m截而处，Fq=O, M取极大值。5-6图示起吊一根单位长度重量为q （ kN/m）的等截面钢筋混 凝上梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对 值相等，应将起吊点A、8放在何处（即“ = ?）解：作梁的计算简图如图（b）所 示，作梁的弯矩图，图（c）所示。由乩爲=乩爲，即笑d卜肚8 7 2即/+/“一匚=o4由此求得上述方程的非负解为qa = 1 = 0.20715-7图示简支梁受移动载荷F的作用。试求梁的弯

16、矩最大时载 荷F的位置。解：设载荷f移动到距人支座为x位置，梁的弯距图如图（b）所示梁的 最大弯矩发生在载荷F所在截而，其值为1、求支反力工 Mb=O： FAJ_Fa_x）=O, % =2、做M图，并求Mmax3、求Mmax最大时的位置由Ua)=f(z_2v)=qcLvIi由此求得1x =2即：当移动载荷F位于梁的中点时梁的最大弯矩Mmx达到最大。5-8 长度/ = 250 mm、横截而宽度b = 25 nun、髙度h = 0.8 mm的 薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60。的圆弧。已知 钢的弹性模量E = 210GPa,试求钢尺横截而上的最大正应力。解：根据题意I = pO ,

17、可以得到M E E0 =,Q p I故钢尺横截而上的最大正应力为max /. / 221OxlO3x-x2MPa2502=351.9 MPa5-9图示矩形截而简支梁。试求2横截而上、b两点的正应力和切应力。1. 求横截面上的剪力和弯矩40=0：F4vx2.2-8xl = 0, /v=_ kN4040截面上的剪力和弯矩为：FQM= kN,= kN-m、1111122. 求横截而上cr、b两点的应力L = 7?； mm4=21 丿灯。“】2 40iz21.1X106MPa = 6.0 MPaF e 巴 x2x75x40x(竺-巴=J 卜I = _2_2 MPa = 0.4 MPa75x21.Ixl

18、O6=Ml2 = JJv ? MPa = -12.9 MPalz21.1X1065-10为了改善载荷分布，任主梁AB 安置辅助梁C6若主梁 和辅助梁的抗弯截而系数分别为1叫】和用：2,材料相同，试求a的合 理长度。色McdT 仝 F(/_a) 4 Q-解:1. 作主梁AB和辅助梁CD的弯矩图2. 求主梁和辅助梁中的最大正应力丄未岭4WJMCD max _ ,：a辅助梁:CDmax3. 求的合理长度最合理的情况为 CD maxFa 4W:l = 4W：2 a =/叫+咋钢油管外径 = 762mm ,壁厚/=9mm ,油的重度=8.3 kN/m3 ,钢的重度/2 = 76 kN/m3 ,钢管的许用

19、正应力a = 170MPa若将油管简支在支墩上，试求允许的最大跨长人qKP：2由此求得:5-11解：2油管的内径J = D-2/=744nm 作油管的受力简图如图所示，其中 nd1 tt(D2 - J2)q=r“4=8.3X 宀 70 肿 + 76X 宀(76八 744U x 沪 kN/mk / 川/8= 52kN/m2.求允许的最大跨长/= 1.51xI03m4ql1 D 2由务狄=讥 8 2 =吐W Q,得到lz/.16/.H6/4a (16xl.51xlO3xl7OxlO6 “ i / W -=J m = 32.1 mv qD 5.23xlO3 x762xlO3允许的最大跨长为32.1

20、mo5-12图示正方形截而悬臂木梁承受均布载荷作用。已知木材的 许用正应力a = 10MPao现需要在梁的C截而中性轴处钻一直径为 d的圆孔，试问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径d可达多 少（不考虑圆孔处应力集中的影响）要保证在C截而钻孔后的梁的强度条件，即要求C横截而上的最 大正应力不超过材料的许用正应力故= -43kN m/. = 160xl60160xmm4 上佔一，）佔12123 f160 Qn3max= = 80mm由洛=警=牆鵜訥，可得d W4g _3x4,3xl080mm = 115mm40x105-13 图示T形截面铸铁梁。已知铸铁的许用拉应力9J = 40MPa,许用压

21、应力ac = 160MPao试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变.将横截而由T形倒置成 形，是否合理为什么1. 求支反力，作弯矩图.并求比和Lc200x30x215 + 200x30x100200x30 + 200x30nun = 157.5 nun12+200x30x57.5-8截而:loJm Mpa = 24 MPa0f2OOx3（P “ 杯 “J 3Ox2O（Phr =+ 200 x30x 57.5- +、 12 = 60xlO6 mm2. 强度校核aBc = aBV = 2（）xl（）、lJ5 MPa = 52.4MPa % =:MPa = 26.2MPa |aj!zC10x10

22、6 x 72.5x | at |,OCc = % 上=；MPa = 12.1 MPa |Af|max=l6.2kN-m2. 按正应力强度条件选择工字钢型号由6心=唱严冬6,得到IV. 2 Hnax = 16-2xl()6 mm3 = 101.25cn?4a160查表选No 14工字钢，其Wz = 102cm3, b=5.5mm, /./5*max = 12.0cm3. 切应力强度校核5.5x120rmax = Pdmj亠max = |AqLx_ =严屿 Mpa = 33.3 MPa b = 2/3 2 139 mm。5-18试问在用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数试 列岀相应的边界条件和连

23、续性条件。(a) 四个当x = 0时，Via = 0 a =0 当x = n时，Vie = yic 9 &C = 2C。(b) 六个当A =n时，yA=yiA = 14=24 -当x = “ + 时，yis = 3(c) 六个当x = 0时，=0,久 1=0：当x = a时，当x = a +方时， yic = V3C =0，（d）二个当 x = 0时，yA =0 ,当x = /时,2产斎5-19试用积分法求图示外伸梁的无.0及打. 忙 设梁的 抗弯刚度曰为常数。V-牙TF=ql/1q工44444解：AB 段（03呂）：EZyf = -M（x） = i- EM=；q2+C4Ehi =qlx3 +

24、Clx + DY1 3/ bc a（ix_）：2 2E&； = -M (a) = iy-xpl 彳丰-J13131-x2,1(31 f ! f3l(31E/y? = -X +-d-边界条件:qiJi =0站+4+心12当x =-时,2连续性条件：q=&2：如曰 +G =_*+ 广+c?1.2由求得：C=D=0 C, = qly )=丄q/4。4824.转角和挠曲线方程为48E/5qP段：y；=-A-2-4EI 48EI八亠12Z48E/24E/氓廿朗A卜朗A)yi = 2AEI2由此可得到:=,1L=O5qP48EI24EZM4384E/5-20试用叠加法求图示梁指立截而的挠度和转角 刚度7为

25、常数。设梁的抗弯解:1.2.1 n| 1/2C4| 1/2当F单独作用时.査表得如仝16E/F/3ycF =48EZ当A/。单独作用时，査表得= AV = H1AMc 6EI 6EIMl1 Flyci =c 16E/ 16EZ3. 当F和A/。共同作用时，竺+竺a af amc WEI 6EI 48E/yeF + ycMc =48/ +X6Ei = nEi(b) 0Cfyc解：1. 当g单独作用时，査表得% =%产一貉也“呦3 =-貉2. 当F单独作用时，査表得a _a丄q _(1(广 X qaxcr _ SqcrCF- BMt CF 3E/ 2EI 一 TZT八qa x2qJycF叫 3 +

26、畑 px 気一茹3. 当q和F共同作用时，色=知+知=_皿+创=虫24EI 6EI 24EZqa4 2qa4 5qaAyc = ycg + ycF =_24ez+ 3ei sei解：欲使抗弯刚度7二最大，当E怎时,5-21欲在直径为d的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截而梁。试求 该截而髙度h和宽度b的合理比值。方法一：由dL_(3J2-4/:22_nd 力122-/,2得到/? = 6/, = J2_2 =丄2 2髙度与宽度的合理比值为:h/b=y/3.方法二：12_ bh _ d cos a (cl sin a )5 _ d4 cos a sin 3 a z 12 12 12由 ! = (-s

27、in4 a + cosa-3sin2 a cos or)da 12 7=-sin2 ar cos2 arftan2 -3)=012 和 0 a解：1. 作轴的受力简图，如图(b)所示2. 由刚度条件确定轴的直径 由图(c),Faxb_ Fab 18060x64/?3EI c 厂加 n F Ed364可得mm = 112 mm60x(AFab _4|60x64x20xl03 xlxlO3 x2xl037r2E0B V宀200x10、xO5qk/2 /2 1/2 ()g43qlf4ql/2g/8 Qg8qF八65-23试用叠加法画出图示梁的弯矩图。5皿8b(g)乙”一|I nb0JtAdb5-24

28、图示桥式起重机大梁上小车的每个轮子对大梁的压力均为F，小车的轮距为d，大梁的跨度为仁试问小车在什么位置时梁解：1.求支反力，作弯矩图内的弯矩最大其最大弯矩值等于多少最大弯矩在何截而得当小车的左轮运动到距梁左端 人为X位置时，由乞4=0：由耳=0： 2尸_心一心=0/一一 d=Mc + （仏.-F）d = Mc +Fd2. 求最大弯矩及其所在截而和小车的位置当/-2x-J0.即x!-时，小车右轮所在截而（即C截而）上 的弯矩为最大弯矩，即Mmax = Mc令学=0,得二巴，故此时Mmax = -irdLv48/一当/-2兀- FcV所以梁中的最大弯矩发生在D截而M D (a) =(6a +10/

29、8-a)令M；/x) = O,求得当x= m时，梁的最大弯矩为6Mmax = M&19/6) = 140.2 kN m 一根工字钢承担的弯矩为M 爲x =kN - m = 70kN - m由正应力强度条件6仆=巴竺乩冬0,得到Wz-M爲x 70.1X10633W.豪一旦竺=nmr = 438.75 cnra160查表选No28“工字钢，KV： = 508 cm3 1S； = 24.6 cm , h = 8.5 nim o3. 考虑梁的首重时强度校应查表得No28“工字钢的理论重量为43.492kg/m ,两根工字钢的重量相当于7 = 851N/m的均布载 荷，其受力简图和相应的内力图如 右图所

30、示。当起重机的c轮运动到距梁 左端A为x位置时，得到Fy = 54.26 6a*FBy = 6x + 14.26(1)正应力强度条件校核Md (x)=(643x +10.85X8 一 x)令M；/a) = 0 ,求得当 x = 3.16m时，梁的最大弯矩为 Mmax = M(3 16) = 150.9 kN mlOkN 50kN54.26-6.x- 54.26-6.85x44.26-6.85x42.56-6.85xFq6.85x+744:6.v+14.26(54.26-6.43x)；(心。.)一根工字钢承担的弯矩为Mmaxl =150.9kN - m = 75.5 kN mM爲x 75.43X

31、1O.D t 1QCKfD r 】max=M Pa= 148.5M Pa crlVK 508xlO3（2）切应力强度条件校核 当起重机的D轮运动到梁右端&即x = 8m时，梁的剪力最大,心唤=仏 L-广 x 8 +14.26 kN = 62.26 kN一根工字钢承受的最大剪力为心mad =乞竺=313kN2maxQmaxlbIS；.满足强度要求。31.13x10 MPa=14.9MPa*F1 + yEF2 = o *3EI(b) 由禅簧伸长引起的F点位移yEd = d(c) 点的总位移2Fr九=0 +畑+ d3EIy = 1.5J4. 求梁段CDE的抗弯刚度根据题意由式求得g 4F.a34x2

32、20x0.45和 2, obKT 2EI = = = N m = 4.8 kN m3J 3x5.6x10“5-29图示悬臂梁A3和简支梁CD均用N2I8 I字钢制成，BG为 圆截而钢杆，直径d = 20mm ,钢的弹性模M E = 200GPa 0若 F = 30kN,试求简支梁CD中的最大正应力和G截面的挠度。解：为一次超静肚问题匚变形协调方程：yn +/（；=九FnRb * F皿 _（F-Fn 滋3EI.EA48E/.8Fn _ 1.4Fn4（F-Fn）查表得 由式求得:3/,A3I:/=1660 cm4 W. = 185 cm3Fn =9.8 kN乙4CD 梁中的最大弯矩:MCDmax = Mg =I RN_m = 20.2kN m4梁CD中的最大正应力：ainax =竺严竺=2（）2X1（）6 MPa= 109.2MPa 孔 185xl03砧賊耐（30-9.8）x103 x43x109o fG 点的挠度:vG =:r mm = & 1 mm48x200x103x1660x1045-30 图示悬臂梁的抗弯刚度E/=30kN-nr ,弹簧的刚度 /C = 175xl03 N/m,梁端与弹簧间的空隙为5 = 1.25 mm。当F = 450 N 时，试问弹簧将分担多大的力75()F寸丄.25解：若无弹簧，悬臂梁自由端的挠度为Fl3