正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用

1、正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘 要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方 法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的 例题，从而增加解决正项级数的证明方法。 关键词：正项 级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using

2、 typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods;compare、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。 级数理论是数学分 析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经 济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级 数的收敛性更是级数理论的核心问题， 要想解决正项级数的 求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。 正项级数收敛性 判断的方法虽然较多，但使用

3、起来仍有一定的技巧，根据不 同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最 大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用 典型方法，才能事半功倍。二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列 S n 有界，即存在某正数 M ，对? n N ，有 S n 2、几种不同的判别法 (1) 比较判别法 设u n 和v n 是两个正项级数，如果存在某正数 N ，对 一切 nN 都有 u n v nn =1n =1那么(ii )若级数 u n(i )若级数 v n 收敛，则级数 u n 也收敛； 发散，则级数 v n 也发散；n =1n =1n =1 n =1 比较判别法的极限形式 ：设

4、u n 和 v n 是两个正项级数。若 lim n =1n =1u n=l ，则n + v n(i )当时， u n 与 v n 同时收敛或同时发散；n =1n =1(ii )当 l =0 且级数 v n 收敛时， u n 也收敛；n =1n =1(iii )当 l 且v n 发散时， u n 也发散。n =1n =1(2) 比值判别法设 u n 为正项级数， ? N 0 N ，有n =1u n +1(i )若对一切 n N 0 ，成立不等式 q u n i =1 u n +1(ii )若对一切 n N 0 ，成立不等式 1，则级数 u n 发散。 u n i =1(3) 根式判别法设u n

5、是正项级数，且存在某正整数 N 0 及正常数 M n =1(i )若对一切 n N 0 ，成立不等式 u n (ii )若对一切 n N 0， 成立不等式根式判别法的极限形式：n =1设 u n 是正项级数，且 lim u n =l ，则 n +M i =1 u n ，1则级数 u n 发散。i =1(i )当 l 1 时，级数 u n 发散；(iii )当 l =1 时，级数的敛散性进一步判断。n =1n =1 (4) 柯西积分判别法 对于正项级数 u n ，设u n 单调减少的数列，作一个连续 的单调减少的正值函数n =1 f (x )(f (x )0) ，使得当 x 等于自然数 n 时，

6、其函数恰为 u n 那么级数 u n 积分，n =1A n =? f (x )d (x ) ，同时收敛或同时发散。1(5) 拉贝判别法设u n 是正项级数，且存在自然数 N 0 及常数 r ，n =1? u n +1?(i )若对一切 n 1，则级数 u n 发散；i =1n ? u n +1?(ii )若对一切 n N 0 ，成立不等式 n 1-u ? i =1n ? 拉贝判别法的极限形式：u n +1? 设 u n 是正项级数，且极限 lim n 1-?=r 存在，则 n + u n =1n ?(i )当 r 1 时，级数u n 发散。 n =1n =1(iii )当 r 1时，拉贝判别法

7、无法判断。(6) 阿贝尔判别法 如果： (i ) 级数b n 收敛；n =1(ii )数列a n 单调有界， a n 如果：K(n =1, 2, 3, ?)，则级数a n b n 收敛。 n =1(7) 狄立克莱判别法变量级数判别法(i )级数b n 的部分和 B n 有界， B nn =1M(n =1, 2, 3, ?)(ii )数列a n 单调趋近于零，则级数 a n b n 收敛。n =1 注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但 也适用正项级数。(8) 对数判别法设 a 0，n n 0，u n 为正项级数，若n =1 1(i ) 1+，a n 0，u n 收敛 ln n n

8、 =1ln1(ii )ln(9) 高斯判别法? a n +1? a ? 1? 设 u n 为正项级数，若 u 1- =1+ ? a n ? ln n ? ln n ? n =1?则在 1时，级数 u n 收敛 ;n =1 n =1三、判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或 通项为含有二项以上根 式的四则运算且通项极限无法求出时， 可以选用正项级数的 比较判别法判断。如：111（1） 1+ ?+ ?23n 1取 02111111S n +p -S n =+?+?+=0n +1n +22n 2n 2n 2所以级数发散2）n =1n +2-2n +2+nS n =3-22

9、+1+)4-2+)-24+. +)n +2-2n +1+n)=1-2+n +2-n +11=1-2+n +2+n +1S=lim S n =1-2n P 级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。12、当级数表达式形如 u n ， u n 为任意函数的因子可以进 行适当的放缩，并与几何级u n +1u n +110lim =1lim n n + u n +、u n n +数、 P 级数、调 和级数进行比较不易算出或、等此类无lim法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时， 应选用比 较判别法。例：1? 1? 2（ 1） 级数收敛 （） a 1? n? a ? n =11+a1111（

10、2） 级数收敛 =ln n ln n ln ln n 2ln n 2e e n n =1ln n 比较判别法使用适用于大部分无法通过其它 途径判别其敛散性的正项级数。3、当级数含有 n 的阶乘， n 次幂， 形如 a ! 或 a n 或分子、 分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。当通项含 a n 的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：n1?3?（2n -1）（ 1） n ! n =1u 2n +1lim n +1=lim =2 级数发散 n + u n n +1n11( 2) n n +12n =1arctan a a ，利用 a 0时，有等价无穷小关系3若记 a n =n ?a

11、rctana则 lim n +1=lim n + a n n2n +1(n +1)? n +2(n +1)?=limn n ?n +1212 所以级数n n +1收敛2n =1n +2n ?2n +11当4、当级数含有 n 次幂，形如 a n 或(u n )n 或通项 u n =1即分母含有含 ln x 的函数， pn ln n分子为 1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。例如：?n ?(1) ?n =1? 2n +1?n 1lim n =lim = 级数收敛 n n 2n +12一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用 比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比

12、值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更13优。例如：（2）1+b +bc +?+b n c n +?4 （0lim 2n b n -1c n -1= n nlim 2b n c n =n bc1，级数发散 bcbc=1，原式 =1+b +1+b + ? 级数发散 用 比值判别法u n +1lim =c n u n c 1 级数收敛 b 1 级数发散limu n +1=bn un由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别 法与比值判别法相比得出的收敛范围更小， 约束条件更为详 细。因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。在使用 判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收

13、敛条件。同 时也存在只能使用根式判别法， 使用比值判别法无法判断的14情况。例如：(3) 2-n -(-1)5111 级数收敛 =(- 1)n n n 222 不可使用比值判别法nu n +1-1+2(-1)无法判断敛散性 lim =lim 2n u n n 因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于 以选用比值判别法或根式判别法。lim n =lim5、当级数表达式形如11，u n 为含有 ln n 的表达式或可以找到原函数， n u n为 1, + 上)非负单调递减函数， u n 含有 ln n 找到原函数，可以选用柯西积分判别法。例： 110 时，我们可或级数 u n u等的因子可以15(

14、)u x =，其中 x ln x ln ln x n ln n ln ln n n =3 因为?u (x )dx 发散，所以级数发散 36、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减 且极限趋于 0 的数列，另一部分为部分和有界的数列；或可 化为(-1)，如： (-1)nn (n -1)2=(-1) ；也可以行如n sin (u ，) un n 为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。阿贝尔判别法也 可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。例：3n +1? 1?设b n 收敛，则级数 b n 1+?，b n ln 等都是极限。162n ? n ? n =1n =1n =1n7、当通项可通过泰勒

15、展开式等方法找到其等价式，则可以 通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性， 这 需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用， 以及对各种等价式 能够熟练的运用。例：sin (2 en ! )n a (a 0) 11Qe =1+ ?+ ?(泰勒展开式)1! n !? 1? ? 11sin (2 en ! )=s?in2 n ! 1+?+?n ! ? ?1! 2! ?(1)?1?22? 1+ 2 =sin? 2n ! 1?+?+? +n ! ?n +1n +1n +2?n ? 2 2?1? 2 (n ) + ? 2 =sin ?n +1n +1n +2n n ? ?sin (2 en ! )2

16、1+a a172因为 1+a 收敛n 所以原级数收敛? ? ?8、当（ 1） u n 的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如：u n +12 n =1- ln x 6 log 2e， 级数收敛 log 2，e 级数发散1? x ln n ?（2） p 1- ?n ?n ?x ln n Q lim =0 ，当 n 充分大时， u n 0 n n1当 x =0，级数为 p 如果 p 1 ，则级数收敛；如果 p ，1则 级数发散18? x ln n ?当 x ，0ln (u n n p +x )=x ln n +n ln 1- ?n ?u x ln n 2n +ln (1-u n )u = 0,

17、n 1 =nu n +n ln n (1-u n )=nu 其中 n 2n u n 当 x 时， x 0, nu n 由0, 洛必达法则 limn 7u n +ln (1-u n )2u nulim ln (u n n p +x )=0, lim n =1 级数收敛 n n 1 n p +x ln g (x )9、当通项 u n =n ln x 或 u n =ln f (x ) 可以选用对数判别法 例：=lim +ln (1- )=lim n n 2191- 11=lim 1=-n 22 -12u n =ln18ln xln ln n1u n=ln ln (ln n ) 对 a 0, ? n

18、0, 当 n n 0时， ln n ln ln (ln n )级数1+收a 敛四、应用举例例 1 u n =1! +2! + ?+n !2n ! 分析：本题无法使用根式判别法与比值判别法，因此选择比 较判别法进行判断 解 0n ?n ! n 1=n ! n +1 ?2n n +1?2n 2n -1?2n 且级数 20收敛n =12n -12n 所以级数收敛 例 2a n 1+a 1+a ?1+a n =112n 分析：本题无法使用根式判别法、比值判别法，或比较判别 法以及其他的判别法进 行判断，因此选用充要条件进行判断。11解 u n = -1+a 11+a 2?1+a n -11+a 11+

19、a 2 ?1+a n a n 1S n = =-11+a 11+a 2 ?1+a n 1+a 11+a 2 ?1+a n n =1S n 单调递增且有界 所以级数收敛? 1? 1?3? 1?3?5? 9例 3 ?+ ?+ ?+? 2? 2?4? 2?4?6?(2n -1)! ! 含有阶层， 但不能使用根式判别式或比值判别式进 分析：本题中通项 u n = 2n ! !21行判断，因此选用拉贝判别法p p pu ?2n +2? 解 n = ?u n +1? 2n +1?1? 2n +2? 1? 1+? -1 ? -1 ? u n ? p 2n +1? 2n +1? n ? Q lim n =li

20、m =lim = ? n n u n ? n1 1+21?n np所以当 1，即 p 2，级数收敛2 n2+(-1)例 4 n2n分析：本题中分子含有 (-1) ，无法用比值判别法或其他方法 判别，这种类型也是根式判别法的典型类型，取上极限进行 判断，因此，选用根式判别法。pp2+-1122解 lim n =lim =n n 22 n例5? 1? 1?-ln 1+? ?n? n ? n =1?分析：通过观察，本题可以使用充要条件进行判断，但等价 判断法进行判断更为便捷。1? 1? 1?1?解 ln 1+? =-2+o 2? (n )? n ?n 2n ?n ?所以又 11? 1? 1?-ln

21、1+? 2+o 2? (n ) n? n ? 2n ?n ?1收敛 2n 2? 1? 1? -ln 1+? 收敛 ? nn ? n =123五、总结与展望 判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为 0 则发散，若不为 0 则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若 级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法， 或可 以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一定的特点时， 则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法 或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积 分判别法、柯西判别法、库默判别法或高斯判别法。库默尔 判别法可以推出比值判别法、 拉贝尔判别法与伯尔特昂判别 法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法， 当比值判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别 法还是无法判别时再使用充要条件进行断。由此，我们可以 得到正项级数的判别法是层层递进使用的， 每当一种判别法 无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项 级数的判别法有无穷多种。 正项级数收敛性判断的方法虽然较多， 但使用起来仍有一定 的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进 行判断， 能够最大限度的节正项级数收敛性判