求轮胎的回正力矩——侧偏角特性的数值解并绘制曲线1

1、某轮胎额定载荷 Fz 8000N ，在此载荷作用下附着系数 y 0.8 ，侧偏刚度 K 81000N / rad ，转折系数 Ey 0.1。该轮胎半径 R 0.36m，接地印迹长度 l 0.3m ，2 l l载荷在印迹上的分布为抛物线 （P a bx2,x ） ，沿宽度分布为常数。设侧向力22侧偏角的关系为FyyFz1 eEy 3式中 , Ktg , 是侧偏角。 yFz回正力矩侧偏角特性的解析解与数值解，并绘制曲线。 设轮胎的滚动阻力系数为 f 0.01，此时垂直压力沿印迹方向的分布为2x忽略轮胎侧向变形产生的附加回正力矩的情况下，求（1）2P a bx csin（2）求解此时的回正力矩侧偏角

2、特性的数值解并绘制曲线。解答第一个问题解答a）求轮胎印迹上的垂直力分布 由于轮胎印迹上的垂直力分布沿宽度分布为常数，可以把所给的载荷在印迹上的分布函数理 解为单位长度上的垂直力分布，如下由（ 11）（14）式可以得到由（ 13）（ 15）式联立求解得，02b1a14）15）F2l6F2 l lP a bx2,x22（11）由该分布规律可以求的总的垂直力l /2Fz Pdxl/2（12）将（ 11）式代入（ 1 2）式，可得，al b l 3 Fz（13）12考虑到实际情况下，则载荷在印迹上的分布为Fz 2 2Pz3 （3l2 12x2 ）（16）2l3b）求侧向力分布 设印迹上各点处沿轮胎的宽

3、度方向的侧向力的合力，在不超过该处的最大允许侧向力沿轮胎 的宽度方向的合力时，从轮胎的接地印迹前方到后方成线性分布，如图（1）中的直线 A 所示（ f y k（x l ） ）。x图 1. 侧向力分布模型图设直线 A 与抛物线 B（ fyyP ）交于 C点（此时 x x0），则l F 2 2k（x0 2）y 2lz3（3l2 12x02）17）Fz 3l 2 12x02y l 3 2x0 l由此假设可以得到下面的各点处沿轮胎的宽度方向的侧向力的合力公式，fy (x) min(k(x 2), yP)k(x 2)yP,lx0 x02l x x0218）则总的侧向力为将（ 16）（18）式代入（FFy

4、2ylF3 z 4x03已知有如下侧向力公式l/2Fy l /2 fydx 19)式，可得3l 2x0l 3kx02 lxl24FyyFz 1 eEy（19）110）111）式中，112）113）Ktg yFz 由（ 17）（111）代入（ 110）式可得，8x03 12lx02 6l2x0 l 3 1 8e Ey0从（ 112）（ 113）式可以求得x0 g( ), l /2 x0 l /2114）将（ 114）式代入（ 1 7）式，即可求得 k k（x0 ） 。c）求回正力矩通过上面的分析计算求得侧向力分布如下k（x l /2）, x0 yFz 2 2 y 3z （3l 2 12x2）,

5、2lx l /2l / 2 x x0115）由此可得回正力矩如下l/2f y xdxk（x l /2）xdxMzl/2l/2yF3z (3l 2 12 x2 )xdx2l3上式中，x0 如yFz 43 9 2M zy 3z (x04 10lx03l 2z 2l 300 2114)式所示。5l3x0 17l 4)2 0 16116）d）数值求解结果数值计算的算法步骤如下：（ 1） 给定题目中用到的常数和求解的侧偏角范围（0600）和步长；（2） 用非线性方程求解方法求解方程（ 1 13）式；（ 3） 计算回正力矩（ 116）式；（ 4） 输出计算结果（侧偏角，侧向力，回正力矩等） ；用 matl

6、ab 软件设计程序，计算结果如下图 2 4 所示。程序见附录 1。x0(n)图 2. 临界侧向滑移点的位置图 3. 侧向力随侧偏角的变化图 4. 回正力矩随侧偏角的变化第二个问题a) 求轮胎印迹上的垂直力分布轮胎的滚动阻力系数为 f 0.01，此时垂直压力沿印迹方向的分布为2xlP a bx2 csin则，和第一个问题同理，由下面的关系，l /2Fzl/2Pdxx l 02可得，P 2Flz3 (3l2 12x2) csin 由已知的滚动阻力特性可得，2xll /2M y fRFz Pxdx y zl /2将( 24)代入( 25)可求得2 fRFz cl 2 z将( 26)式代入( 2 4)

7、式可得Fz 2 2 2 fRFz 2 x Pz3 (3l 2 12x2)2 z sin2l 3l 2lb) 求侧向力分布利用和第一个问题相同的侧向力模型假设，可得fy (x) min(k(x 2), yP) 设直线 A 和曲线 B 交于点 C(此时 x x0 )，则可得下面的方程， lz3 (3l2 12 x02 ) 2 lfR2 Fz sink(x0 2)ysin2 x0l21)22)23)24)25)26)27)28)Fz2 2 2 fRFzz3 (3l2 12x02 )2 z sink(x0 l /2) 2l由于 c 0 ，结合图形分析，则( 28)式可以写成2 x0l29)总的侧向力为

8、将( 210)式代入Fyfy (x)2yP,k(x ), x0 x l /2l /2 x x0l/2Fyy l /22 11)式，可得 yFz 2l3f ydx210)211)l242 x0Fz y fRl2 x00 (2x0 l)sin( l 04x03 3l2x0 l 3 k x02 lx0 0 20y fRFz212)l已知有如下侧向力公式1 cos l2l3式中，FyyFz1 eEy 3111)KtgyFz112)由( 111)(29)式代入( 212)式可得，3 2 2 28x03 12lx02 6l 2x0 8fRl 2 1 cos2 x0l213)4 fRl (2x0 l ) s

9、in( 2 x0) l 3 1 8e Ey0x0 g( )214)式中， g 为某一个确定的函数关系。将 x0代入( 2 9)式，即可求得 k k(x0) 。c) 求回正力矩通过上面的分析计算求得侧向力分布如下f yyFz 2 2 2 fR yFzy y 3z (3l 2 12x2)y z2l3 由此可得回正力矩如下k(x l/2), x0 x l /22xsin , l /2 x x0yl2215)l /2l/2x0Mz l/2 fyxdx x0 k(x l / 2)xdxl/2yF3z(3l2 12x2) 2 fR yFz2l3yl2sin2 x xdx lMz yF3z(x0410lx0

10、39l2x025l3x017 l4)2l 32216l l sin22x0 cos2 x0l216）y fFzR 2 22 x0y 2z （8x02 2lx0 l 2） sin（ 0 ）12l 20 0 l式中， x0 如（ 2 14）式所示。d） 数值求解结果数值计算的算法步骤如下：（ 1） 给定题目中用到的常数和求解的侧偏角范围（0600）和步长；（2） 用非线性方程求解方法求解方程（ 2 13）式；（ 3） 计算回正力矩（ 216）式；（ 4） 输出计算结果（侧偏角，侧向力，回正力矩等） ；用 matlab 设计程序，计算结果如下图 5 7 所示。程序见附录 2。x0(n)Fy(n)N(

11、y图 5. 临界侧向滑移点的位置图 6. 侧向力随侧偏角的变化图 7. 回正力矩随侧偏角的变化三. 附录1. 数值计算第一个问题的 matlab 程序a) 主程序clear all;format long;Fz=8000;uy=0.8;K=81000;Ey=0.1;R=0.36;L=0.3;alpha=0:0.1:60;a=3*Fz/(2*L);b=-6.*Fz/(L3);Q=K.*tan(alpha.*pi./180)./(uy*Fz);tmp,N=size(alpha);epslon=1.0e-6;x=zeros(N,3);for n=1:N x(n,1:3),G,flag=fminsea

12、rch(g,0,Q(n),Ey,uy,Fz,L);if(flag=1)do not converge.n,x(n,1:3)endendx0=zeros(1,N);x0=x0+L/2.0;for n=1:Nfor n1=1:3 if(x(n,n1)=-(L/2+epslon)&(x(n,n1)=-(L/2+epslon)&(x(n,n1)=(L/2+epslon) x0(n)=x(n,n1);endendend k=(-3*uy*Fz/(L3).*(2.*x0+L);Fy2=uy*Fz/(8*L3)*(8.*x0.3-12*L*x0.2+6*L2.*x0+7*L3)+uy*f*R*Fz/L.*(

13、1+cos(2*pi.* x0/L);Fy=uy*Fz.*(1-exp(-(Q+Ey.*Q.3); Mz=uy*Fz/(2.0*L3).*(x0.4-10*L.*x0.3-4.5*L2.*x0.2+2.5*L3.*x0+17.0/16*L4); Mz=Mz+uy*f*R*Fz/L.*(-L/2+L/2/pi.*sin(2*pi.*x0./L)+x0.*cos(2*pi.*x0/L); Mz=Mz-uy*pi*f*Fz*R/12/L2.*sin(2*pi.*x0/L).*(8*x0.2-2*L.*x0-L2);fid=fopen(prob-2.m,w);fprintf(fid, n alpha(n) x0(n) Fy(n) Mz(n)n); for n=1:Nfprintf(fid, %5d %15.7f %15.7f %15.7f %15.7f n,n,alpha(n),x0(n),Fy(n),Mz(n); endfclose(fid);clear allb) 子程序function G=h(x,Q,Ey,uy,f,R