分式知识点及典型例题

1、实用标准文档【知识网络】【主要公式】a2异分母加减法则:-aabe daac acbd bc3.分式的乘法与除法也？da c ac abe daaacc b/d a c0,c 0 ;bdac4. 同底数幕的加减运算法则：实际是合并同类项5. 同底数幕的乘法与除法；am an =am+n； am - an =am -n6. 积的乘方与幕的乘方：(ab)m= am bn , (am)n= amn17. 负指数幕：a-p= pa0=1ap8乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b2 ;(a b) 2= a2 2ab+b 2、考占、执占、J八、J 八、八、知识点一：

2、分式的定义A一般地，如果A, B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子 A叫做分式，A为分B子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件 分式有意义：分母不为0 （B 0） 分式无意义：分母为0 （B 0） 分式值为0 :分子为0且分母不为0 （ 口B 0A 0 A 0 分式值为正或大于0 :分子分母同号（c c或c C）B 0B 0 分式值为负或小于0:分子分母异号（八。或八）B 0B 0 分式值为1 :分子分母值相等（A=B） 分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不变。字母表示：A A-C，A，

3、其中A、B、C是整式，C 0。B B?C BBC拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B BB注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0这个限制条件和隐含条件B 0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数, 然后约去分子分母相同因式的最低次幕。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式

4、的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：I取各分母系数的最小公倍数；n单独出现的字母（或含有字母的式子）的幕的因式连同它的指数作为一个因式；川相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最大的。IV保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幕的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六分式的

5、四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：a?c曇b d b?d分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为a c a d a?db d b c b ?c 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子a n an 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为a b a bc c c异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为a c ad bcb d bd整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是 分母为1的分式，再通分。 分式的加、减

6、、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的， 也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要 随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点六整数指数幕 引入负整数、零指数幕后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幕的 法则对对负整数指数幕一样适用。即mnm n a a ammn aa ab n anbnam an amn （ a 0） a n an n 1（0） 不an（a 0）b ba a0 1（ a 0）（任

7、何不等于零的数的零次幕都等于 1）其中m , n均为整数。科学记数法若一个数x是Ovxvl的数，则可以表示为a 10n（ 1 a 10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。女口 0.000000125= 1.25 10-77个0若一个数x是x10的数则可以表示为a 10n（ 1 a 10，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000= 1.2 108 9个数字知识点七分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方

8、程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。知识点八列分式方程基本步骤 审一仔细审题，找出等量关系。 设一合理设未知数。 列一根据等量关系列出方程（组） 解一解出方程（组）。注意检验 答一答题。二、典型例题（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义，是分式的有:【例1】下列代数式中：-,x y, a b,J!题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义3xx2(3) J (4)x2

9、1|x| 3题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.(1)|x| 2x242x 2x 32x 5x 6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式名为正；8 x（2 ）当x为何值时，分式一5 x 2为负; 3 （x 1）2（3）当x为何值时，分式 工套为非负数.x 3练习:1 .当x取何值时，下列分式有意义:(1)16|x| 3(2)(x1)2 12. 当x为何值时，下列分式的值为零:(1)(2)25 x2x2 6x 53 .解下列不等式（1）阳 0（2）占 0（二）分式的基本性质及有关题型1. 分式的基本性质:2 .分式的变号法则:AA M

10、A MBB MBMa a a a b b b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数(1)12xy2 311xy3 4(2)0.2a0.03b0.04a b题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号（1）X y（2）ab（3）ax ya bb题型三：化简求值题【例3】已知：115，求2x 3xy 2y的值x yx 2xy y提示：整体代入，x y 3xy，转化出-x y【例4】已知：x，求 x2令的值.例 5 】若 |x y 1 | (2x 3)20，求七的值.练习:1 不改变分式的值，把下列分式

11、的分子、分母的系数化为整数0.03x 0.2y0.08x 0.5y(2)0.4a - b51a -1b4101 22 已知：x丄3，求4 X2 的值.XX4 X2 13 .已知:1丄3，求2a 3ab 2b的值. a bb ab a4 .若 a2 2a b2 6b 100，求設的值.5.如果1x 2，试化简害x 1 |x |x 1|x、（三）分式的运算1. 确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2 .确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; 取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通

12、分【例1】将下列各式分别通分.（1）_b；（ 2）；（） 2ab，3a2c，5b2c ；（）a b 2b 2a ；(3)1x2x2 x，1 2x x2，x2 x 2(4)2,题型二：约分22 22【例2】约分：（1）正扌；(2) ；(3)20 xym nx x 6题型三：分式的混合运算【例3】计算：2 2（1） （aJb）3 （土）2 （竺）4;c ab a(2)3 a (x3 (x2y2)m 2n n 2mn m m n n m2(5)1 x 1 x2x4x38x71 x21 x4(6)1(x 1)(x 1)1(x 1)(x 3)1(x 3)(x 5)题型四：化简求值题【例4】先化简后求值2

13、（1）已知：x 1，求分子1（- 4 1）（-丄）的值;x 4 4x2 x(2)已知:求 xy 2yz 3xz飞的值;z(3)已知:a2 3a 1 0，试求(a2評m的值.题型五：求待定字母的值例 5】若1 3xx2 1代，试求M，N的值.练习：1 计算(1 )2a 52(a 1)a 12(a 1)2a 32(a 1)2b2 2ab b a(3)abca 2b 3cb 2cabcb c acab2b2a b ；4ab(5) (a b Ra b4abr_b)；1 2 ；x 1 x2 ；(7)1(x 2)(x 3)2 1(x 1)(x 3) (x 1)(x 2)2 .先化简后求值(1)彳 2 .a

14、 1 a 42a 2 a 2a 1门其中a满足322 2(2)已知 x:y 2:3，求(-仝)(x xyxy)(-Y)3的值.3 .已知:5x 4(x 1)(2x 1)吕，试求A、B的值4 .当a为何整数时，代数式399a805a 2的值是整数，并求出这个整数值（四八整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算【例 1 】计算：（1）（a 2） 3 （be 1）3(2)(3x3y2z1)(5xy2z3)(4)(x y)3 (x2 2y) (xy)题型二：化简求值题例 2】已知x x 15，求（1）x2x 2的值；（2）求x4x 4的值.题型三：科学记数法的计算例 3】计算：3223 22

15、3(1) (3 10 ) (8.2 10 ) ； (2) (4 10 )(2 10 ).练习：1 计算：（1）（31）（5）2111 0(0.25 ) 20074 2008(3)2 22 2(2ab ) (a b)3. 23、2(3a b ) (ab )132223(2) (3 m n ) (m n)2 2 2(4)4(x y) (x y) 2(x y) 1(x y) 22 .已知x25x 10，求(1 ) x x 1 , (2) x2x 2的值.第二讲分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程(1)(2)x2提示易出错点：分子不添括号漏乘整数项；约去相同

16、因式至使漏根；忘记验根 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程(1)4x 44 ；x9x10x6x8x9x5提示：（1）换元法，设 十 y ；（ 2 ）裂项法,x 1【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于x的分式方程三1 有增根，求m的值.【例5】若分式方程2x ax 21的解是正数，求a的取值范围.提示:题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x的方程一手（c d 0）b x d提示：（1） a,b,Gd是已知数；（2） c d 0.题型五：列分式方程解应用题练习：1 解下列方程:(1)2x1 2x(2)(3)2xx 2x2 x(5)5x 42x42x 513x22

17、(6)(7)x22 .解关于x的方程:(1)2/c、b(b2a); (2)3 .如果解关于x的方程代2会产生增根,求k的值.4 .当k为何值时关于x的方程汁丄）1的解为非负数.5 已知关于x的分式方程务a无解，试求a的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验, 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1 解方程：丄三x x 2、化归法例2 解方程:2x21三、左边通分法例3 :解方程：8x 77 x四、分子对等法1 a 1 b例4 .解方程：（a b）a x b x五、观察比较法例5 .

18、解方程:4x5x 2175x 24x4六、分离常数法例6 .解方程:七、分组通分法例7 解方程：1111x 2 x 5 x 3 x 4（三）分式方程求待定字母值的方法若分式方程M-无解,x求m的值若关于x的方程k2x21=不会产生增根，求k的值例3 若关于x分式方程丄 宀23有增根，求k的值x 4例4 若关于x的方程亠占卫x x x x”有增根x 1, 求k的值三、课后练习一、分式x分式的个数有（）1、分式概念1 1 1 11. 各式中，一 x+ y, 4xy3 2 xy 5 aa b2 .在，2x 3 5x ab12 一中，是分式的有a()xJabA、1个B、2个C、3个D、4个3、下列各式

19、:a bx 35y32 , a,x 1 ,4ab1(x my）中，是分式的共有（)2xbA、1个 B、2个 C、3个 D、4个A、1个B、2个C、3个D、4个2、分式有意义(1) 当XM时，分式2x有意义;-x 2(2) 当x 时，分式-有意义；x 12x 1(3 )分式中，当x时，分式没有意义，当 x时，分式的值为零;2 x 4(4)当x 时，分式有意义。x 1x 2(5 )当x时，分式无意义；3x 8x 3(6)当x时，分式无意义.x 3(7 )当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是()A.2B.x1C.xD 1x 32 2x21(8).能使分式2x x x2 1的值为零的所有x的值是(

20、)Ax 0B x1Cx 0 或 x1D x0或x1(9)已知当x2时,分式无意义，x ax4时,此分式的值为0,则a b的值等于()A.-6B.-2C.6D .24、分式的基本性质1. 如果把代中的x和y都扩大5倍那么分式的值()A扩大5倍 B不变C缩小5倍 D扩大4倍2、若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(3x2yB、3x2y23x2c、2y3x32y23.填空：xya aby6x( y Z 3( y z)2 y z3a5xy时（a ）a 21a242y2 y2x =x 3 x2 3x0 5x 0 24 不改变分式的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是0.3

21、y 15、下列各式中，正确的是（）A a mac a b cB=0b mbLJ a bab1b1C.ac1c15、约分1、把下列各式分解因式（12分）2 2(1 ) ab+b2a -2ab-x 2+9322a -8a+8a(1 )12xy9x2b2x2 6x 92 a2 ab2ab3、约分(1)x2 6x 92x 4(2)2x2 8x 8 =4、A、6、1 .2、8、1 .2 .3、9、1.最简公分母在解分式方程：x 11三+ 2 - 2的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是x 4x 2x2小m 3m9 m2的结果是mB、mC mm 3m 3m 3化简)分式 丄，亠，的最简公分母为2x 2y2 5xy通分1已知x 0，x1A、2x2x等于3x16x122化简的结果是m 9 m 3B、11计算的正确结果是x 11 x2x1 x2分式的混合运算（11分）先化简，再求值:x 1x2156x21 x2，其中x=2 .11D、6x2m 92 -m 92x212.（本题6分）先化简，再求值:x，其中X=- 2x 1 x 亠 13、（8 分）先化简，再求值:x21其中:/、 I x= 2。10、负指数幕与科学记数法(2)2 31 直接写出计算结果：（1）（ -3）