相交线与平行线专题总结

1、相交线与平行线专题总结、知识点填空1. 两直线相交所成的四个角中， 有一条公共边， 它们的另一边互为反向延长线， 具有这种 关系的两个角，互为 .2. 对顶角的性质可概括为：3. 两直线相交所成的四个角中， 如果有一个角是直角， 那么就称这两条直线相互 .4. 垂线的性质：过一点 一条直线与已知直线垂直连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，5. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做6. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中 : 如果两个角 分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间， 并且分别在第三条直

2、线的两侧， 具有这 种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做 .7. 在同一平面内， 不相交的两条直线互相 . 同一平面内的两条直线的位置关系只有 与两种 .8. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么 .9. 平行线的判定： 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等， 那么这两条直线平行 . 简单说成： . 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行 . 简单说成： . 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 . 简单说成：10

3、. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 .11. 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单说成： 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 ， 内 错 角 相 等 . 简 单 说 成 ： . 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补.简单说成： .12. 判断一件事情的语句， 叫做.命题由 和两部分组成 .题设是已知事项，结论是 . 命题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么” 后接的部分是 . 如果题设成立，那么结论一定成立 .像这样的命题叫做 . 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫

4、做 . 定理都是真命题 .13. 把一个图形整体沿某一方向移动， 会得到一个新图形， 图形的这种移动， 叫做平移变换，1 / 12简称. 图形平移的方向不一定是水平的 .14. 平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全_. 新图形中的每一点， 都是由原图形中的某一点移动后得到的， 这两个点是对应点连接各组对应点的线段 二：典型题型训练15. 如图，BC AC,CB 8cm, AC 6cm, AB 10cm,那么点A到BC的距离是 ，点B到AC的距离是 ，点 A、B 两点的距离是 ，点 C到 AB的距离是 16. 设a 、b、c为平面上三条不同直线， 若a/b,b/c，

5、则 a与c的位置关系是 若 a b,b c ，则 a 与 c 的位置关系是；若 a/b，b c，则 a与 c 的位置关系是17.如图，已知 AB、CD、 EF相交于点 O，AB CD， OG平分 AOE， FOD 28，求 COE、AOE、 AOG的度数18. 如图， AOC与 BOC 是邻补角，OD、OE分别是 AOC与 BOC 的平分线，试判断 OD与 OE的位置关系，并说明理由19. 如图， ABDE，试问 B、 E、 BCE有什么关系解： B E BCE过点 C作 CFAB，则 B （ ）又 ABDE，ABCF，2 / 12( E ( ) B E 1 2即 B E BCE20. 如图，

6、已知 1 2 求证： ab直线 a/b ，求证： 1221. 阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知 ABCD， 12，试说明EPFQ证明： AB CD， MEBMFD(又 12， MEB1 MFD 2，即 MEPEP(22.已知 DB FG EC， A 是 FG上一点，ABD60ACE 36， AP平分 BAC，求： BAC的大小； PAG的大小 .23. 如图，已知 ABC ， AD BC于 D，E为 AB上一点，EF BC于 F， DG / BA交CA于 G. 求证 1 224. 已知：如图 1=2， C=D，问 A与F 相等吗？试说明理由3 / 12三：兴趣拓展平行线问题： 平行线是我

7、们日常生活中非常常见的图形 练习本每一页中的横线、 直尺的上 下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均 是互相平行的线段 正因为平行线在生活中的广泛应用， 因此有关它的基本知识及性质成为 中学几何的基本知识 正因为平行线在几何理论中的基础性， 平行线成为古往今来很多数学 家非常重视的研究对象历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何 （ 罗巴切 夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何） ，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何， 它是建立在这样一个公理基础之上的： “在 平面中，经过直线外一点，有且只有一条

8、直线与这条直线平行”在此基础上，我们学习了 两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些知识的应用例 1 如图 1 18，直线 ab，直线 AB交 a 与 b 于 A，B，CA平分1，CB平 分 2 ，求证： C=90求C例 2 如图 121所示，AA1BA2求A1=B1+A2例 3 如图 126所示AEBD，1=32，2=25，例 4 求证：三角形内角之和等于 180例 5 求证：四边形内角和等于 3604 / 12例 6 如图 129所示直线 l 的同侧有三点 A，B，C，且 ABl ，BCl 求证： A，B，C三点在同一条直线上例 7 如图 130所示 1=2， D=90，EF C

9、D求证： 3=B四，课后思考题1如图 131 所示已知 ABCD， B=100 和 DEG，EF平分 BEC，EG EF求 BEGAEC问：DEB4证明：五边形内角和等于 5402如图 132 所示CD是 ACB的平分线， ACB=40，B=70，DEBC求 EDC和 BDC的度数3如图 133 所示ABCD，BAE=30，DCE=60EF与 EG中有没有与 AB平行的直线，为什么？5如图 134 所示已知 CD平分 ACB，且 DEACCDEF5 / 12参考答案1.邻补角2. 对顶角，对顶角相等 3.垂直 有且只有垂线段最短 4.点到直线的距离 5.同位角 内错角同旁内角6.平行相交平行7

10、.平行 这两直线互相平行8.同位角相等 两直线平行； 内错角相等 两直线平行； 同旁内角互补线平行同旁内角互补.11.命题 题设结论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等 13.6cm 8cm 10cm4.8cm.14.平行平行 垂直15. 281185916. OD OE 理由略17. 1（两直线平行，内错角相等） DE CF（平行于同一直线的两条直线平行）2（两直线平行，内错角相等） .18.12，又 2 3（对顶角相等）， 1 3两直线平行 .9.平行10.两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直a b（同位角相等两直线平行） ab 1 3（两直线平

11、行，同位角相等 ）又 2 3（对顶角相等）12.19. 两直线平行，同位角相等 MFQFQ 同位角相等两直线平行 20. 96， 12 .21. AD BC,FE BC EFB ADB 90 EF/ AD 2 3DG / BA, 3 1 1 2.22. A F. 1 DGF （对顶角相等）又1 2 DGF 2DBEC（同位角相等，两直线平行） DBAC（两直线平行，同位角相等）又 CD DBA D DFAC（内错角相等，两直线平行） A F（两直线平行 ,内错角相等 ）.三 例 1 如图 1 18，直线 ab，直线 AB 与 b 于 A ，B，CA平分 1，CB平分 2，求C=90分析 由于

12、ab， 1， 2 是两个同侧内角，因 此1+2=6 / 12过C 点作直线 l ，使 l a（ 或 b） 即可通过平行线的性质实现等角转移证 过 C点作直线 l ，使 l a（图 119） 因为 ab，所以 bl ，所以 1+2=180（同侧内角互补 ）因为 AC平分 1，BC平分 2，所以又3=CAE，4=CBF（内错角 相等） ，所以 3+4=CAE+CBF说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线 a， b被直线 AB所截（如图 120所示） ，CA，CB分别是 BAE与 ABF的平分线，若 C=90，问直线 a 与直线 b 是否一定平行？”由于这个问题与上述问

13、题非常相似 （ 将条件与结论交换位置 ） ，因此，不妨模仿原 问题的解决方法来试解例2 如图 121所示，AA1BA2求A1-B1+A27 / 12分析 本题对 A1， A2， B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与 所给的三个角的大小无关也就是说，不管 A1， A2， B1 的大小如何，答案 应是确定的我们从图形直观， 有理由猜想答案大概是零， 即A1+A2=B1 猜想，常常受到直观的启发， 但猜想必须经过严格的证明 式给我们一种启发， 能不能将 B1一分为二使其每一部分分别等于 A1 与A2这就引发我们过 B1点 引 AA1（从而也是 BA2） 的平行线，它将 B1一分为二证 过

14、 B1引 B1EAA1，它将A1B1A2分成两个角： 1，2（如图 122所示）因为AA1BA2，所以 B1EBA2从而1=A1，2=A2（内错角相等 ） ，所以 B1=1+ 2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0说明 （1） 从证题的过程可以发现，问题的实质在于 AA1BA2，它与连接 A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图 123 所示连接 A1，A2之间的折线段增加到 4 条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有A1+A2+A3=B1+B2（ 即那些向右凸出的角的和 =向左凸的角的和 ） 即A1-B1+A2-B2+A3=0进一步可以推广为 A1-B1+A2-B2 -Bn-

15、1+An=08 / 12这时，连结 A1，An之间的折线段共有 n 段 A1B1，B1A2，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1 BAn) 推广是一种发展自己思考能力的方法， 有些简单的问题， 如果抓住了问题的本质， 那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况(2) 这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题问题 1 如图 124 所示 A1+A2=B1，问 AA1 与 BA2是否平行？问题 2 如图 125 所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1 ，问 AA1与 BAn是否平行？这两个问题请同学加以思考例 3 如图 126所示AEBD，1=32，2=25，9 / 12

16、求C分析 利用平行线的性质， 可以将角“转移”到新的位置，如 1= DFC或 AFB若 能将 1，2， C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过 F点作 BC 的平行线恰能实现这个目标解 过 F到 FGCB，交 AB于 G，则C=AFG（同位角相等 ） ，2=BFG（内错角相等 ） 因为 AEBD，所以 1=BFA（内错角相等 ） ，所以 C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50说明（1） 运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线 （平行线 ） 的常 用技巧 （2） 在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法： 1= DFC=C+2，即 C=1-2=2

17、2=50例 4 求证：三角形内角之和等于 180分析 平角为 180若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶 点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种证 如图 127 所示，在 ABC中，过 A引 l BC，则B=1，C=2（ 内错角相等 ）显然 1+BAC+2=平角， 所以 A+B+ C=180说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直 线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点 设在某一边内， 或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处， 不过， 解法将较为 麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例 5 求证：四

18、边形内角和等于 36010 / 12 分析 应用例 3 类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使 它们之和恰为一个周角 在添加平行线中， 尽可能利用原来的内角及边， 应能减 少推理过程证 如图 128 所示，四边形 ABCD中，过顶点 B 引 BEAD，BFCD，并延长 AB， CB到 H，G则有 A=2( 同位角相等 ) ，D=1(内错角相等 ) ，1=3(同位 角相等 ) C=4(同位角相等 ) ，又 ABC(即 B)= GBH对( 顶角相等 ) 由于 2+3+4+ GBH=360 ，所以A+B+C+D=360说明 (1) 同例 3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变 (2) 总结例 3、例 4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和 =180=(3-2)180，四边形内角和 =360=2180=(4-2) 180人们不禁会猜想：五边形内角和 =(5-2) 180=540， n 边形内角和 =(n-2) 180这个猜想是正确的， 它们的证明在学过三角形内角和之后， 证明将非常简单 (3) 在解题过程中， 将一些表面并不相同的问题， 从形式上加以适当变形， 找到它们 本质上的共同之处，