现代控制理论习题解答

1、现代控制理论第 1 章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答： 线性系统的状态空间模型为：x Ax Buy Cx Du 线性定常系统和线性时变系统的区别在于： 对于线性定常系统， 上述状态空间模型中的系数 矩阵 A，B，C 和 D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A，B，C 和D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答 : 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下 :传递函数模型（经典控制理论）状态空间模

2、型（现代控制理论）仅适用于线性定常系统适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答 : 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于阶传递函数G(s)bnn11snbn 2sn n 1 san 1sb1s b0 d ， a1s a0分别有 能控标准型：010001000000 a0 a1 b0 b10 a2 bn 2x1an 1bn 1 x du能观标准型：对角线标准型：式中的y0p10p2c2a0a1a2anpncn xb0b1bnbndup1,

3、 p2, , pn 和c1,c2n 1 n 2 bn 1sbn 2sG(s) n n 1 s an 1sc1, ,cn 可由下式给出， b1s b0 d a1s a0duc1s p1sc2p2cnds pn能控标准型的特点： 状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定， 特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是 其余全为 0。其余部分具有1 外，能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统， 状态变量的选择不是惟一的， 状态变量的不同选择导致不同的状态

4、空 间模型。1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项 于零，其参数如何确定？D 不等答: 当传递函数 G(s) 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项 于零。D 不等可得：转移项 D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 n n 1G(s) bnnsn bn 1nsn11 n n 1 s an 1sb1s b0a1s a0n1 cn 1sc1s c0G(s) n n 1 n 1 1 0 s an 1s由此得到的 d 就是状态空间实现中的直接转移项D。a01.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中， 问：若将图 1.

5、12 中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？采用了如图 1.12 的串联分解， 试答: 将图 1.12 中的两个环节调换后的系统方块图为：图中，b2s2b1s b0 。由于 s 3y相当于对 y作 3次积分，故 y m1a(s)可用如下的状态变量图表示：2m因为 s2b相当于对 b作 2 次微分，故 b(s)可用如下的状态变量图表示u因此，两个环节调换后的系统状态变量图为取 y x3， y x2， y x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为y 0 0 1x两个环节调换前的状态空间模型是：010x001xa0a1a200u100a0b010a1 xb1 u01a2b2y b0 b

6、1 b2 x显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。1.7 已知系统的传递函数Y(s)s6U (s)s2 5s 6试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。答： 系统的能控标准形为 :010x x u6 51y 6 1 x系统的能观标准形为 :x 10 65 x 16 u y 0 1 x1.8 考虑由下图描述的二阶水槽装置，u2该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：u1u2b2x2b1x1s a2s a1图 1.19 二阶水槽系统的方块图试确定其状态空间模型。x2y2a2x2 b2u2x1a1x1b1ux2yx1又因为 u u1 x2 ，所以x1a1x1b1x2b1u1x

7、2a2x2b2u2yx1进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：x1a1b1x1b10u1x20a2x20b2u2答： 图 1.19 中两个环节的状态空间模型分别为y10x1x21.9 考虑以下单输入单输出系统 :y 6y 11y 6y 6u 试求该系统状态空间模型的对角线标准形。答：由微分方程可得G(s)6s3 6s2 11s 66(s 1)(s 2)(s 3)c1c2c3其中，c1 lim 31 s 1 (s 2)(s 3)c2 lim662 s 2 (s1)(s3)c3 lim633 s 3 (s1)(s2)故该系统状态空间模型的对角线标准形为 :x11 00x11x2 0 20x21ux3

8、 0 03x31x1y 3 6 3x2x31.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为y(t) 4y(t) 3y(t)u(t)6u(t) 8u(t)试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。答 : （ 1）由微分方程可得2G(s) s2 s6s 82s 54s3s2 4s 3记2s 52s 5c1c2G 1(s) 21s2 4s3 (s1)(s3) s 1 s 3其中，2s 5 32s 5 1c1 lim ，c2lim1 s 1 s 3 2s 3 s 1 2从输入通道直接到输出通道上的放大系数d1 ，由此可得 :x11 0 x11ux

9、20 3 x21y22x2u101312） 由于 ABC， D 1 ，因此03122G(s)C(sIA)1BD131s 3 0 1(s1)(s2)2210 s 1 13 1 x11.50.511.11 已知系统的传递函数为1)2)G(s)2s 5(s 3)( s 5)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答:(1)将 G(s) 重新写成下述形式：G(s)1 2s 5s3s5每一个环节的状态空间模型分别为：x1 3x1u和x25x2u1y1 x1y 5x22u1又因为 y1 u1 ， 所以x13x1 ux2x

10、1 5x 2y2x1 5x2因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：x13 0 x11ux21 5 x 20y25x1x2y对应的状态变量图为：(2)将 G(s) 重新写成下述形式：0.52.5G(S)s3s5每一个环节的状态空间模型分别为：x13x10.5uy1x1x25x22.5uy2x2又由于x13x10.5ux25x22.5uyy1 y2x1 x2x13 0x1x20 5x2x1y 1 1x2对应的状态变量图为：因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：0.5u2.51.12 已知系统的状态空间模型为 x Ax Bu, y Cx ，写出该系统的特征多项式和传递 函数矩

11、阵。答: 系统的特征多项式为 det(sI A) ，1 传递函数为 G(s) C(sI A) 1B 。1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟 一？答 : 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。1.14 已知系统的状态空间模型为 x Ax Bu, y Cx ，写出其对偶状态空间模型。 答 : 其对偶状态空间模型为 :x AT x CTuy BT x1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？答 : 对于互为对偶的x Ax Bux AT x CTu与 T ，它们对应的特征多项式分别为 y Cx y

12、 BT xdet(sI A) 和 det(sIAT) 。由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两个状态空间模型具有相同的特征多项式。它们对应的传递函数分别为G1 (s) C(sI A) 1 B C(sI A) B1 det(sI A)T T 1 T BT (sI AT ) CTG2(s) BT (sI AT ) 1CTT2 det(sI AT )T T T T T由于 det(sI AT) det(sI A)， C(sI A) BBT(sI AT) CT ，故对偶状态空间模型之间的传递函数关系为 G1(s) G2(s)T ，即互为转置。1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统

13、 :0 10x x u6 51y 1 1x 试求其传递函数。答 : 由于G(s)C(sI(sIA)1A) 1B1s(s 5)C(sIs5A) 1B1故G(s)s(s 5) 6 1s25s 6(s1)s1s2 5s 6y答 : 系统的传递函数为 G(s)s10(sIA) 1 0 s 4311s2求系统的传递函数矩阵。因此，1G(s) C(sI A) 1B6s 11 s 233 s2 2s3ss 4 s 1 s2 4s1.17 给定系统的状态空间模型01000043x10 u11201100u0011C(sI A) 1B 。由于12s1s3 6s2 11s 31 1 0 s3 6s2 11s 3

14、0 02 s6s 11s2300023s2 2s3s101s1201s4s2 4s1 s 2 s3 6s2 11s 3 s 13s2 4s1.18 试用 MATLAB 软件求出下列传递函数的状态空间实现G(s)答 : 执行以下的 m-文件： num=0 10 47 160; den=1 14 56 160; A,B,C,D=tf2ss(num,den) 得到：1456160A100010由此可知：x1x2 x3y10s2 47s 160s3 14s2 56s 1601B 0 ， C 10 4701456160x11100x20u010x30x110 47 160 x2x3160 ， D 01.

15、19 试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数 :x1010x10x2110x21ux3100x30x1 y 1 0 0 x2x3答 : 执行以下 m-文件：A=0 1 0;-1 -1 0;1 0 0; B=0;1;0;C=1 0 0;D=0; num,den=ss2tf(A,B,C,D) 可得：num = 00 1.0000 0den = 1.0000 1.0000 1.0000 0 因此，系统的传递函数为G(s) 3 s2 s s s1.20 试用 MATLAB 软件求以下系统的传递函数2102010y 0答 : 执行以下的 m-文件：A=2 1 0;0 2 0;0 1 3;B=0 1

16、;1 0;0 1;C=0 0 1;D=0 0; num,den=ss2tf(A,B,C,D,1) num,den=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是Y(s)U1(s)Y(s)U2(s)1.21 已知系统的状态空间模型为 x 写出线性变换后的状态空间模型。 答: 把 x Px 代入 x Ax Bu, y0 x10 1u10 x21 0 1u23 x30 1 2x11 x2x3Px，s232s3 7s2 16s 12s2 4s 4s3 7s2 16s 12Ax Bu, y Cx ，取线性变换阵为 P，且 xCx ，得Px APx Buy CPxP 1APx P 1BuCPx

17、因此，线性变换后的等价状态空间模型为：1.22线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。答:假设系统的状态空间模型为x Ax Buy Cx Du经过线性变换 x Tx 后，系统的状态模型变为：x Ax Buy Cx Dux y其中，A TAT 1， B TB，C CT 1， D D由于det(sI A) det(sI TAT 1) det(sTT 1 TAT 1) 1det(T )det( sI A)det( T 1) det(sI A) 故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性 :y 3y 2y u（1） 选择状态变量 x1 y, x2 y ，写出系统的状态方程； （ 2） 根据（ 1）的结果，由以下的状态变换 :x1x1 x2x1, x2 的状态空间模型。答 : (1) 由 x1y,x2y 可得x1x2x23x22x1 uyx1写成矩阵向量形式，可得x101 x1 0ux223 x21x1y101x2(2) 由于 x1x1x2, x2x12x2，即x111 x1x