复合函数零点问题专题

1、a2复合函数零点问题例 1 ： 设 定 义 域 为r的 函 数f(x)=1x -1, x 1， 若 关 于 x 的 方 程1, x =1f2(x)+bf(x)+c=0由 3 个不同的解x , x , x ，则 x 2 +x 2 1 2 3 1 2+x23=_思路：先作出f (x)的图像如图：观察可发现对于任意的y0，满足y = f (x) 0的x的个数分别为 2 个（y 0, y 1 0 0）和 3 个（y =10），已知有 3 个解，从而可得f(x)=1必为f2(x)+bf(x)+c=0的根，而另一根为1或者是负数。所以f (x)=1 i，可解得：x =0, x =1, x =2 1 2 3

2、，所以x 21+x22+x23=5答案：5例 2：关于x的方程(x2-1)2-3 x2-1 +2 =0的不相同实根的个数是（ ）a. 3 b. 4 c. 5 d. 8思路：可将 x2-1视为一个整体，即 t(x)= x2-1，则方程变为 t2-3t +2 =0可解得：t =1或t =2，则只需作出 t (x)=x2-1的图像，然后统计与t =1与t =2的交点总数即可，共有 5 个答案：c例 3 ： 已 知 函 数1 1f ( x) =|x + | -| x - |x x， 关 于x的 方 程f2( x ) +a f ( x ) +b =0（a , b r）恰有 6 个不同实数解，则 的取值范

3、围是 思路：所解方程f 2 ( x) +a f ( x) +b =0可视为f (x)+a f (x)+b=0，故考虑作出1()()( )22()()12f (x)的图像：f x =2, x 1x2 x ,0 x 1 -2x , -1 x 0， 则 f (x)的图像如图，由图像可知，若有 6 2- , x -1 x个不同实数解，则必有f1(x)=2,0f (x)22，所以-a = f (x)+f(x)(2,4) 1 2，解得-4 a -2答案：-4 a 0时，2x -1 -1,0 2 2，则关于x的方程6 f (x)-f(x)-1=0的实数根个数为（ ）a.6b.7c.8d.9思路：已知方程6

4、f (x)-f(x)-1=0可解，得1 1 1 1 f x = , f x =- ，只需统计 y = , y =-2 3 2 3与y = f (x)的交点个数即可。由奇函数可先做出x 0 的图像， x 2 时， f (x)=12f (x-2)，则x (2,4的图像只需将x (0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可 得共有 7 个交点答案：b小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例 5 ：若函数f (x)=x3+ax2+bx +c有极值点x , x ，且 f (x1 2 1)=x1，则关于 x的方程3 (f

5、(x)2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是（ ）a3 b4 c5 d622222( )1 ,1e, ee思路：f(x)=3x2+2ax +b由极值点可得：x , x1 2为 3x2+2 ax +b =0的两根，观察到方程与3 (f(x)+2af (x)+b=0结构完全相同，所 以 可 得3 (f(x)+2af (x)+b=0的 两 根 为f (x)=x,f (x)=x 1 1 22，其中f (x)=x1 1 1，若x x = f2 1(x1)，所以y = f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f (x)有一个交点，共计3 个；若x x1 2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点

6、。且f (x)=xx = f (x)2 2 1 1，所以y = f (x)与f (x) 1有两个交点，而f (x)与f (x) 2有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：a例 6：已知函数 f (x)=x2-4 x +3，若方程f (x)+bf(x)+c=0恰有七个不相同的实根，则实数 b 的取值范围是（ ）a.(-2,0)b.(-2,-1)c.(0,1)d.(0,2)思路：考虑通过图像变换作出f (x)的图像（如图） ，因为f (x)+bf(x)+c=0最多只能解出 2 个f (x)，若要出七个根 ，则f (x)=1,f(x)(0,1) 1 2，所以-b = f (x)+

7、f(x)(1,2) 1 2答案：b，解得：b (-2,-1)例 7：已知函数f (x)=xe x，若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0恰有 4 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）a.,2 u 2, ee b.1 c.1,1 +1ed.1 3()()() 12 12 ()思路：f x =x, x 0e xx- , x 0 e x，分析f (x)的图像以便于作图，x 0 时， f(x)=(1-x)e-x，从而f (x)在(0,1)单调递增，在(1,+)单调递减，f (1)=1e，且当 x +,y 0，所以x正半轴为水平渐近线；当 x 0 m -1 0 ，则有 1 1 1g 0

8、2，则下列关于函数 y = f (f(x)+1的零点个数判断正确的是（ ）a. 当b. 当a 0a 0时，有 4 个零点；当时，有 3 个零点；当a 0a 0时，图4()()()21 像如图所示，先拆外层可得f12 1x =- 0, f x = ，而 f x a 2有两个对应的 x ，f (x)2也有两个对应的x，共计 4 个；当a 0+1, g (x)=2 ， 则 方 程-(x+3)2+1, x 0g f (x)-a=0（a为正实数）的实数根最多有_个思 路 ： 先 通 过 分 析f (x),g(x)的 性 质 以 便 于 作 图 ，f(x)=3x2-6 x =3 x (x-2)， 从 而f

9、 (x)在(-,0),(2,+)单 增 ， 在(0,2)单 减 ， 且f (0)=1,f(2)=-3，g(x)为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取f (x)能对应x较多的情况，由f (x)图像可得，当f (x)(-3,1)时，每个f (x)可对应 3 个 x 。只需判断 g f (x)=a中，f (x)能在(-3,1)取得的值的个数即可，观察g (x)图像可得，当 5 a 1, 4 时，可以有 2 个f (x)(-3,1)，从5而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个例 10：已知函数y = f (x)和y=g (x)在-2,2的图像如下，给出下列四

10、个命题：（1）方程 f g(x)=0 （2）方程 g f (x)=0有且只有 6 个根有且只有 3 个根（3）方程 f f(x)=0有且只有 5 个根（4）方程 g g(x)=0有且只有 4 个根则正确命题的个数是（ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 总数。x的（1）中可得g (x)(-2,-1),g 12(x)=0,g(x)(1,2)3，进而g (x)1有 2 个对应的 x ，g (x)2有 3 个，g (x)3有 2 个，总计 7 个，（1）错误；（2）中可得f1(x)(-2,-1),f(x)(0,1)2，进而f (x)1有 1 个对应的x，f (x)2有 3 个，总计 4 个，（2）错误；（3）中可得f1(x)(-2,-1),f(x)=0,f(x)(1