基本不等式及其应用专题训练

1、242x yaba b2 22 2a b a b基本不等式及其应用一、选择题1.下列不等式一定成立的是 ( )专题训练 1 1a.lgx lg x(x0) b.sin x 2(xk，kz) sin xc.x212|x|(xr) d.11(xr) x 12.若 2 2 1，则 xy 的取值范围是 ( ) a.0，2 b.2，0c.2，)d.(， 2 b 4a 3.若 a，b 都是正数，则1 1 的最小值为 ( ) a.7 b.8 c.9 d.10 4.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是 ( )1 1a. ab 4c. ab21 1b. 1d.a b 81 25.若实数 a，b 满

2、足 ab，则 ab 的最小值为 ( )a ba. 2 b.2 c.2 2d.46.若实数 x，y 满足 xy0，则 a.2 2c.42 2x 2y 的最大值为( ) xy x2yb.2 2d.42 27.若正数 x，y 满足 4x 9y 3xy30，则 xy 的最大值是 ( )4a.3b.53c.25d.41 1 1 28. 已知 a0，b0，ab ，则 的最小值为( )a.4二、填空题b.2 2 c.8 d.169.正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是 _.m n222zx y z2 2222a b1 110.已知实数 m，n 满足 m n0，mn1，则 的最大值为 _.1

3、1.若对于任意 x0，xa 恒成立，则 a 的取值范围是 _. x 3x112.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距 离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离 为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为 _千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 _万元 .xy 2 1 213.设正实数 x，y，z 满足 x 3xy4y z0，则当 取得最大值时， 的最大值为 ( )a.0 b.114.设 x，y 满足约束条件9c.43xy20， xy0，x 0，y 0，d.3若目标函数 zax2by(a0，b0)1

4、1的最大值为 1，则 的最小值为 _.a 4b15.点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x1) (y1) 8 上，则 ab 的最大值 为_.1 916.正数 a，b 满足 1，若不等式 abx 4x18m 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _.基本不等式及其应用专题训练答案24222242x yxy x yxyxy 2abab a ba ba b22 22a b ab ab一、选择题1.下列不等式一定成立的是 ( ) 1 1a.lgx lg x(x0) b.sin x 2(xk，kz) sin x1c.x 12|x|(xr) d. 1(xr)x 1解析1 1 1当 x0 时，

5、x 2 x x，所以 lgx lg x(x0)，故选项 a 不4 2 正确；运用基本不等式时需保证 “一正”“二定”“三相等”，而当 xk， kz 时，sin x 的正负不定，故选项 b 不正确；由基本不等式可知，选项 c 正确；当 x0 时，有11，故选项 d 不正确 . x 1答案c2.若 2 2 1，则 xy 的取值范围是 ( )a.0，2 b.2，0c.2，)d.(， 2解析答案12 2 2 2 1，所以 2 ，即 2 2 ，所以 xy2.4d b 4a3.若 a，b 都是正数，则 1 1 的最小值为( ) a.7 b.8 c.9 d.10解析 b 4a b 4aa，b 都是正数，1

6、1 5 52 b 4a 9，当且仅当 b2a0 时取等号.故选 c.答案c4.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是( )1 1a. ab 41 1b. 1c. ab2d.a2b81 1解析 4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4， ，ab 41 1 ab 4选项 a，c 不成立； 1，选项 b 不成立；a b (ab) 2ab 162ab8，选项 d 成立 .答案da ba baba ba b2222223222 22 2a b a ba b aba b1 25.若实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为 ( )a. 2 b.2 c.2 2 d.

7、4解析1 2依题意知 a0，b0，则 22 2 2 1 2 ，当且仅当 ，即 b ab1 2 2 22a 时，“”成立.因为 ab，所以 ab ，即 ab2 2，所以 ab 的ab最小值为 2 2，故选 c.答案c6.若实数 x，y 满足 xy0，则x 2y 的最大值为 ( ) xy x2ya.2 2c.42 2解 析b.2 2d.42 2x 2y x（x2y）2y（xy） x 4xy2y 1 xy x2y （xy）（x2y） x 3xy2yxy1 x 3xy2y时取等号 .故选 d. 答案d1 1 x 2y1 42 2，当且仅当 ，即 x x 2y 32 2 y xy x2y7.若正数 x，

8、y 满足 4x 9y 3xy30，则 xy 的最大值是 ( )4a.3b.53c.25d.4解析由 x0，y0，得 4x 9y 3xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立 )，12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2.答案c1 1 1 29. 已知 a0，b0，ab ，则 的最小值为( )a.4 b.2 2 c.8 d.16解析1 1 ab由 a0，b0，ab ，得 ab1，1 2则 212 1 2 2 2 2.当且仅当 ，即 a ，b 2时等号成立.故选 b. a b a b 2m nm nm nm nm nm n22xxx2 ，2xx 答案b二、填空题9.正

9、数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是 _.解析答案a，b 是正数，abab32 ab3，解得 ab3，即 ab9. 9， )1 110.已知实数 m，n 满足 m n0，mn1，则 的最大值为_.解析m n0，mn 1，m0，n0，b0)的1 1最大值为 1，则 的最小值为 _.a 4b解析2 不等式组所表示的平面区域是以 (0，0)， ，0，(1，1)为顶点的三角形 区域 (包括边界 )，观察可知，当直线 zax2by 过点 (1，1)时，z 有最大值，故1 1 1 1 1a2b1，故 12 2ab，故 ab ，故 8，当且仅当 a2b 时8 a 4b 21 1等号成立，故 的最小值为 8.a 4b答案815.点(a，b)为第一象限内的点，且在圆 (x1) (y1) 8 上，则 ab 的最大值 为_.解析由题意知 a0，b0，且(a1) (b1) 8，化简得 a b 2(ab)6，则 62ab4 ab(当且仅当 ab 时取等号 )，令 t ab(t0)，则 t 2t30， 解得 0t1，则 0ab1，所以 ab 的最大值为 1.a ba b22222答案11 916.正数 a，b 满足 1，若不等式 abx24x18m 对任意实数 x 恒成立，